由m≠0所以x1=ax2=b 9.用 Cramer法则解方程组 5x1+4x2=11 (1) 6x1+5x2=20 解:D=65/25-24=1≠0则方程组有唯一解。 =55-80=-25D2 =100-66=34由克莱姆法则 620 x, t (2)x1+5x2+6x3=0 +5x3=0 56056-30 解: o15010 1-19 〔5×(-19)-(-30)×1)=65≠0方程组有唯一解。 160 D4=1056/。/5 =25-6=19D2=106 5 005 56 150-1011由家则x2 10.已知22,407,185,三个数都可以被37整除,不求行列式的值,证明: 407也可以被37整除。 证:2237×6,407=37×11,185=37×5,将该行列式的第1,2列依次乘100,10加到 第3列,并提取第3列的公因子37,得 226 407|=40407=374011 185 18185
由行列式的定义可知。元素都是整数的行列式的值还是整数故401|是整 2 数从而行列式407可以被37整除。 185 11.计算行列式。 D 解:依次将D的第2,3,4,5列加到第1列得 D 1x+1-11 x+1x-11 11 =(x+1)1-1x+1-11 100 0 001 =(x+1)10x00=(-1)2(x+1)00x01=(x+1)x 1x100 000x1 12.证明:若x1+x2+x+x4=1,则
x 1 *2 * x4 =(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)(x2-x)(x-x)(x-x) f 42*N x4 证法 +(-x xI 22 3 x2-x *3-x x2 xI 22 I3 24 0-x对-xx =|好-xx-xx-x=(x2-x1)(x-x)(x,-x) x x4 x4-x x4+ (x2+x1)(x2+x)(x+x)(x+x)(x+x)(x+x) C3+(-1)c )(x3-x1)(x4-x) x2+x1)2+x)(x3-x2H(x+2++x+1码+耳z)(x-x2川x+耳2+动+x+耳+耳12) )( )( )(x4-x3)( 由已知 (x1-x2)(x1-x)(x1-x)(x2-x4)(x2-x)( 证法二: 令∫(x)=x好xx(1) xxx xax xix 将f(x)的行列式按第5列展开,知f(x)为4次多项式。f(x)的首项系数及x3的系 数分别为
x-x)及 : #i x4 因f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=0,所以 (x)=(x-x1)(x-x)(x-x)(x一x)(x-x)(2) 比较(1)与(2)的x3的系数得 ti x2 x3 x4 =(x1+2+x+x),Ⅱ(x-x) l≤i<j≤4 xi 22 x3 4 =(x1-x)(x1-x3)(x1-x)(x-x)(x2-x)(x-x) 13.证明 10 0 x 00 (1)Dn= x1+a2x-2 0:0 10 000 等式左端 00
∴+( 000 (x2-1)r 00 f(x)00 00 (-1)f(x) f(x) -1)阶 其中∫(x)=a1xˉ1+…+a1x+a 210 00 00 012 00 (2)D= n+1 0 0 证:1°n=1 =2=1+1 n=2时,D2= =4-1=3=2+1结论成立 2假设当n≤k时结论成立,当n=k+1时, 将D,按第一行展开得 D,=∵.∵.∵.|=2D4-D4-1=2(k+1)-(k-1+1)=(k+1)+1 由数学归纳法对一切自然数n结论成立。 (3)D a1(1 ),a4≠0,i=1,2 13