科技导报2016,34(18) 电磁超材料研究进展 梅中磊'，张黎，崔铁军2 1.兰州大学信息科学与工程学院，兰州73000 2.东南大学信息科学工程学院，毫米波国家重点实验室，南京210096 精要简介了电磁超材料的定义、性质和分类，综述了电磁超材料研究的常用等效媒质理论、电磁参数提取方法、电磁超材料的 具体实现方式、二维电磁表面及其机理、电磁超材料的典型应用等研究进展，展望了电磁超材料的发展趋势。 关输司电磁超材料：电磁超表面：石墨烯：等效媒质理论：广义斯奈尔定律 1超材料的相关概念 导案为无穷大的材料同。按照实理方式的不同可以将招材 1.1定义 料分为传输线型超材料、波导型超材料，石墨烯型超材料， 电磁超材料(m enal),也称为新型人工电磁材料 新型人工电磁媒质，特异媒质，是通过人工方式加工或合成 作在 的、具有周期或准周期结构以及特异电磁性质的复合材料 较 ,损 也较大 :后者远离语 兴起于21世纪初。超材料具有3个重婴特征：具有特殊人工 结构、具有超常的物理性质、电磁性质往往不主要决定于构 照工作频段，参数是否可控，空间维数、各向同性/异性等进 成材料的本征性质而取决于其中的人工结构。 其他分类。 狭义上讲，最初的电磁超材料指只有负折射率(negativ 随着研究工作的深入，超材料的范闱已经远远超出了左 rfaciveindex)的所谓左手材料(lef-handed material)。由 手材料或者负折射率的范围。目前研究者所“泛认同的新 于申磁波在其中传据时，电场，磁场以及波矢旱左手关系而 型电磁材料，已经涵盖所有由人工周期/准周期单元结构组成 得名，也称为后向波材料(backward wa e)双负材料 的、只有新异电磁特性的人工功能复合材料，如梯度折射率 签最早由Vm系统提出 材料、极限参数电磁材料（如：nsilon near zero,N以：mun .N等)左手右手复合传给线材料.申碳特性可控 料等等。从这个意义上来讲，超材料实际上也包含了人们正 效应等。后面的研究 经广泛研究的光子品体材料（ al PC).由 现，左手材料还具有其 的新异特性，如逆Gos-Hanchen位 ，EBG)、率选择表面（ 移网，倏逝波放大州，完美透镜效应等。 1.2分类 超材料的分类众多，根据等效媒质电磁特性的不同.可 2超材料研究中的等效媒质理论 以按照介电常数，磁导率取值的大小，将材料分为普通材料 在电磁超材料的研究中，等效媒质的理论是基瑞，无论 左手材料（且有负的介电常数和负的磁导装.从而且右负的 是人工电磁材料的设计分析，还是电磁参数的提取等都基于 折射率)四，零折射率材料（具有零介电常数或者磁导率，从而 此。在简单的情况下，人工电磁材料的电磁参数可以用解析 且有零折射率)零介电常数材料、，甚大介电常数材料、零磁 的方法进行分析，但通常无法获得解析形式，需要通过全被 子率材料、甚大磁导奉材料、甚大折射率材料，渐变折射率材 仿真或实验测量来研究人工电磁材料。 料等 。理想导体和理想导磁体，可以分别看做介电常数，磁 救格日期：2015-12-31：修回日期：2016-04-16 基项日：国家白然科学基全项日(61571117,61171024,61171026.61138001,61302018,61401089,61522106)：高等学学补新机智计刻项日(111-2- 作者简分：梅中 k07.ZBkY-2014-4 不通信作者，找校，研完方向为新型人工电材、计算电硅学 引用格式：梅中.疾，搜铁.电猫起材科研究进晨科技手报，3016.341827-39：dt10.3981n1000-7857.2016.18.02 27■ 994-018 China Academie Joural Electronie Publishing House.All rights reserved. http://www.enki.ne
收稿日期：2015-12-31；修回日期：2016-04-16 基金项目：国家自然科学基金项目（61571117，61171024，61171026，61138001，61302018，61401089，61522106）；高等学校学科创新机智计划项目（111-2- 05）；中央高校基本科研业务费项目（LZUJBKY-2015-k07, LZUJBKY-2014-43） 作者简介：梅中磊，教授，研究方向为新型人工电磁材料，电子信箱：meizl@lzu.edu.cn；崔铁军(通信作者)，教授，研究方向为新型人工电磁材料、计算电磁学， 电子信箱：tjcui@seu.edu.cn 引用格式：梅中磊，张黎，崔铁军.电磁超材料研究进展[J].科技导报，2016, 34(18): 27-39；doi: 10.3981/j.issn.1000-7857.2016.18.002 电磁超材料研究进展 梅中磊1 ，张黎1 ，崔铁军2 1. 兰州大学信息科学与工程学院，兰州 730000 2. 东南大学信息科学工程学院，毫米波国家重点实验室，南京 210096 摘要 简介了电磁超材料的定义、性质和分类，综述了电磁超材料研究的常用等效媒质理论、电磁参数提取方法、电磁超材料的 具体实现方式、二维电磁表面及其机理、电磁超材料的典型应用等研究进展，展望了电磁超材料的发展趋势。 关键词 电磁超材料；电磁超表面；石墨烯；等效媒质理论；广义斯奈尔定律 1 超材料的相关概念 1.1 定义 电磁超材料（metamaterial），也称为新型人工电磁材料、 新型人工电磁媒质、特异媒质，是通过人工方式加工或合成 的、具有周期或准周期结构以及特异电磁性质的复合材料， 兴起于21世纪初。超材料具有3个重要特征：具有特殊人工 结构、具有超常的物理性质、电磁性质往往不主要决定于构 成材料的本征性质而取决于其中的人工结构。 狭义上讲，最初的电磁超材料指具有负折射率（negative refractive index）的所谓左手材料（left-handed material）。由 于电磁波在其中传播时，电场、磁场以及波矢呈左手关系而 得名，也称为后向波材料（backward wave material）、双负材料 （double negative material）等，最早由 Veselago 系统提出[1] 。 Veselago 预言了该种材料所具有的不同寻常的电磁特性，如： 负折射现象（2001 年被首次实验验证[2 ）、] 逆 Cherenkov 辐射 （2009 年被实验验证[3,4 ）、] 逆Doppler效应等。后面的研究发 现，左手材料还具有其他的新异特性，如逆Goos-Hanchen 位 移[5] ，倏逝波放大[6] ，完美透镜效应等[7] 。 1.2 分类 超材料的分类众多，根据等效媒质电磁特性的不同，可 以按照介电常数、磁导率取值的大小，将材料分为普通材料、 左手材料（具有负的介电常数和负的磁导率，从而具有负的 折射率）[1] 、零折射率材料（具有零介电常数或者磁导率，从而 具有零折射率）、零介电常数材料、甚大介电常数材料、零磁 导率材料、甚大磁导率材料、甚大折射率材料、渐变折射率材 料等。理想导体和理想导磁体，可以分别看做介电常数、磁 导率为无穷大的材料[8] 。按照实现方式的不同，可以将超材 料分为传输线型超材料、波导型超材料、石墨烯型超材料、块 状超材料等。按照工作方式不同，可以分为谐振型与非谐振 型超材料。前者工作在谐振区域附近，电磁参数变化范围较 大，但频带较窄，损耗也较大[8,9] ；后者远离谐振区域，有较宽 的频带，损耗较小，但参数变化范围也小[10] 。此外，还可以按 照工作频段、参数是否可控、空间维数、各向同性/异性等进行 其他分类。 随着研究工作的深入，超材料的范围已经远远超出了左 手材料或者负折射率的范围。目前研究者所广泛认同的新 型电磁材料，已经涵盖所有由人工周期/非周期单元结构组成 的、具有新异电磁特性的人工功能复合材料，如梯度折射率 材料、极限参数电磁材料（如: epsilon near zero，ENZ；mu near zero，MNZ 等）、左手/右手复合传输线材料、电磁特性可控材 料等等。从这个意义上来讲，超材料实际上也包含了人们已 经广泛研究的光子晶体材料（photonic crystal，PC）、电磁带隙 材料（electromagnetic band gap，EBG）、频率选择表面（fre⁃ quency selective surface，FSS）等。 2 超材料研究中的等效媒质理论 在电磁超材料的研究中，等效媒质的理论是基础，无论 是人工电磁材料的设计分析，还是电磁参数的提取等都基于 此。在简单的情况下，人工电磁材料的电磁参数可以用解析 的方法进行分析，但通常无法获得解析形式，需要通过全波 仿真或实验测量来研究人工电磁材料。 科技导报2016，34（18） 27
科技导报2016,34(18) 2.1等效媒质的几个解析公式 213Bnua0aman公t 人工由磁材料的核广思相是利用人工单元结粉模拟典 在等效媒质理论领域，另外一个非常若名的公式即Bug 通材料中的分子或者原子.在外界电磁场的作用下，该单 gema 公式 的由偶 子，出现类似材料 极化或者磁化现象 只要景材料中的长远远大于填 -0。+2++2=0 (6】 物（金属，介质）的尺度（一般大于10倍左右），则都可以使月 将此公式整理，便可以得到关于等效介电常数的公式 等效媒质理论进行分析。此时，这种人工实现的特殊“材料 8w=13/e-8+2e,-8+ 从去观上也可以用等效的电磁参数，即介电常数和磁导率来 (7) 1-3/g2+22+9f-9e8+3f-2g1 表示。对于人工电蓝材料的分析，往往采用类似于固体物理 该公式之所以被称之为对称形式的，是因为将背景材料 的研究方法，先分析单元（分子，原子）的极化或者酸化特性 和填充材料对换之后可以得到相同的结果。 再由此推导材料宏现的电藏参数」 2.1.1 Clausius-Moss 八式 当混合物有多种材料填充而成时，对应的Bruggeman扩 i公式反映的是原子的电极化度(pori 展公式为 b)与材料宏观介电常数之间的关系叫，具体为 ∑2=0.i12 (8) +2 (1) 2.1.4推广的Maxwell-Gamnett公式 其中，n表示单位体积内的原子数目，a为原子对应的电极化 在等效媒质条件成立的情况下，当背景媒质中填充有多 度。 公式可以得到 当它应用到光学领域时，又被称为Lorentz-Lorentz方 电磁参数。假设每种 电常数 程。经过简单的代数推导，该公式还可以表示为 ,背景介电常数为6，各颗粒的体积占比为，则等效介电 =1+ma (2 常数为 只要得到了电极化度，则根据上式即可得到材料的介电 .+Na( 常数 电磁材料设计中 (9) 利用解析的方法进行分析，得到该单元对应的电极化度， 1-3∑e,-e+N- 而得到等效媒质的电参数 其中，M是颗粒的去极化因子，=1,23分别表示xy3个方 2.1.2 Maxwell-Gamett公式 设有半径为的球形颗粒.介电常数为g,以立方品格结 比如，对于长度为，直径为d的柱状颗粒，其底面内的2 构排列构成一个等效材料，则有 个去极化因子为 2,轴向的去极化因子为N。=d 化d:对于球体而言，其3 去极化因子相等，都为1/3：对于 球体，设其3个半轴的长度分别为.：，则有 代入式(2)，有 N=, (10) 品] (s+a,、s+a,s+a,s+a, (3) 其中，s为定义的积分变量 1-f+2 2.15 Polder-van santen公式 其中，是真空中的介电常数，&表示材料的有效介电常数， van Santen公式覆盖范围较广，公式表达为 84+28.+ea-Ef8.+28.+e。-8可 (11） amet公式u。 当周围环境 当=0时式(11)即为x-:meH八式.当=2时式(11) 电常数为8，时，式(3)还可以推广为 即为Bruggeman公式：当=3时，式(11)即为所谓的相干势近 3 基于射参量的数提取方 PA)的结果 Ea- (4) 1-f6+2 8-R 2.2 通常很难采用解析的方法获得人工电磁材料的电磁参 也可以表示为 数表达式，因此，利用数值仿真或者实验测量来间接获得等 84-8 效参数的方法则较为常用。基于散射参数测量的方法是提 (5 十2E 取人工电磁材料参数的有效途径。在数值仿直中，该方 当采用在背景材料中填充介质球或者金属球的方法来 法模拟均匀平面电磁波垂直入射到一块无限大、沿波的传播 加工人工电磁材料时，这个公式具有重要的参考意义。 方向有一定厚度的人工电磁材料平板上（根据对称性，实际 1004 http//www enki ne
2.1 等效媒质的几个解析公式 人工电磁材料的核心思想是利用人工单元结构模拟普 通材料中的分子或者原子，在外界电磁场的作用下，该单元 产生一个等效的电偶极子或者磁偶极子，出现类似材料中的 极化或者磁化现象。只要背景材料中的波长远远大于填充 物（金属、介质）的尺度（一般大于10倍左右），则都可以使用 等效媒质理论进行分析。此时，这种人工实现的特殊“材料” 从宏观上也可以用等效的电磁参数，即介电常数和磁导率来 表示。对于人工电磁材料的分析，往往采用类似于固体物理 的研究方法，先分析单元（分子、原子）的极化或者磁化特性， 再由此推导材料宏观的电磁参数。 2.1.1 Clausius-Mossotti公式 Clausius-Mossotti公式反映的是原子的电极化度（polariz⁃ ability）与材料宏观介电常数之间的关系[11] ，具体为 ε - 1 ε + 2 = nα 3 （1） 其中，n表示单位体积内的原子数目，α为原子对应的电极化 度。 当它应用到光学领域时，又被称为 Lorentz-Lorentz 方 程。经过简单的代数推导，该公式还可以表示为 ε = 1 + nα 1 - nα/3 （2） 只要得到了电极化度，则根据上式即可得到材料的介电 常数。在人工电磁材料设计中，对于规则的单元结构，可以 利用解析的方法进行分析，得到该单元对应的电极化度，从 而得到等效媒质的电参数[12] 。 2.1.2 Maxwell-Garnett公式 设有半径为r的球形颗粒，介电常数为ε，以立方晶格结 构排列构成一个等效材料，则有 α = 3ε0V ε - ε0 ε + 2ε0 , V = 4πr 3 3 [13] 代入式（2），有 εeff = ε0 é ë ê ê êê ê ê ù û ú ú úú ú ú 1 + 3f ε - ε0 ε + 2ε0 1 - f ε - ε0 ε + 2ε0 （3） 其中，ε0是真空中的介电常数，εeff表示材料的有效介电常数， f=nV表示材料的体积比。 这就是著名的Maxwell-Garnett公式[11,14] 。当周围环境介 电常数为εb时，式（3）还可以推广为 εeff = εb é ë ê ê êê ê ê ù û ú ú úú ú ú 1 + 3f ε - εb ε + 2εb 1 - f ε - εb ε + 2εb （4） 也可以表示为 εeff - εb εeff + 2εb = f ε - ε0 ε + 2ε0 （5） 当采用在背景材料中填充介质球或者金属球的方法来 加工人工电磁材料时，这个公式具有重要的参考意义。 2.1.3 Bruggeman公式 在等效媒质理论领域，另外一个非常著名的公式即Brug⁃ geman公式[11] ： (1 - f ) εb - εeff εb + 2εeff + f ε - εeff ε + 2εeff = 0 （6） 将此公式整理，便可以得到关于等效介电常数的公式 εeff = 1 4 [3f (ε - εb)+ 2εb - ε + (1 - 3f ) 2 ε2 + 2(2 + 9f - 9f 2 )ε εb +(3f - 2) 2 ε2 b ] （7） 该公式之所以被称之为对称形式的，是因为将背景材料 和填充材料对换之后，可以得到相同的结果。 当混合物有多种材料填充而成时，对应的Bruggeman 扩 展公式为 ∑i fi εi - εeff εi + 2εeff = 0, i = 1,2,⋯ （8） 2.1.4 推广的Maxwell-Garnett公式 在等效媒质条件成立的情况下，当背景媒质中填充有多 种亚波长颗粒时，利用推广的Maxwell-Garnett公式可以得到 混合后媒质的等效电磁参数。假设每种颗粒的介电常数为 εi ，背景介电常数为 εb ，各颗粒的体积占比为 fi ，则等效介电 常数[14] 为 εeff = εb + 1 3 ∑i = 1 n fi (εi - εb) ∑k = 1 3 εb εb + Nik(εi - εb) 1 - 1 3 ∑i = 1 n fi (εi - εb) ∑k = 1 3 Nik εb + Nik(εi - εb) （9） 其中，Nik是颗粒的去极化因子，k=1,2,3分别表示x,y,z 3个方 向。 比如，对于长度为l，直径为d的柱状颗粒，其底面内的2 个去极化因子为 Ni1,2=1/2，轴向的去极化因子为 Ni3=(d/l) 2 ln (l/d)；对于球体而言，其3个去极化因子相等，都为1/3；对于椭 球体，设其3个半轴的长度分别为a1,a2,a3，则有[15] Nk = a1a2 a3 2 ∫0 ∞ ds (s + ak 2 ) (s + a1 2 )(s + a2 2 )(s + a3 2 ) （10） 其中，s为定义的积分变量。 2.1.5 Polder-van Santen公式 Polder-van Santen公式覆盖范围较广,公式表达为 εeff - εb εeff + 2εb + v(εeff - εb) = f εi - εb εi + 2εb + v(εeff - εb) （11） 当v=0时，式（11）即为Maxwell-Garnett公式；当v=2时，式（11） 即为Bruggeman公式；当v=3时，式（11）即为所谓的相干势近 似（coherent potential approximation, CPA）的结果。 2.2 基于散射参量的参数提取方法 通常很难采用解析的方法获得人工电磁材料的电磁参 数表达式，因此，利用数值仿真或者实验测量来间接获得等 效参数的方法则较为常用。基于散射参数测量的方法是提 取人工电磁材料参数的有效途径[16~20] 。在数值仿真中，该方 法模拟均匀平面电磁波垂直入射到一块无限大、沿波的传播 方向有一定厚度的人工电磁材料平板上（根据对称性，实际 科技导报2016，34（18） 28
科技导报2016.34(18j 描 仿直时口需要对一个单元结构讲行考虑，在单元结构的四固 设介质片放在，=0位置处厚度为一三d.窗。高为知 ,相对量分 此获得电磁被的反射和透射系数 别为 矢量网络分析仪上的一对收发天线，测量得到介于这2个天 的反射系数及透射系数分别为 线之间的人工电磁材料平板对电磁波的反射、透射系数。 jsin(Bdyp2-） 者的理论基础，都是电磁波穿过无限大平板时的反射与透射 Tin(R aXpc( (16) 理论。 L= 当均匀平面电磁被垂直人射到厚度为d的一块无限大介 质板时，很容易得到其对应的反射、透射系数陶： 其中 cos(nkd)()sin(nkd)e p=u.B/B (17) i-)sintnld) (12) B=-a@为空气段波导内的相移常数：k,=2、6山 为真空中的波数：a为TE模式的藏止波数：而 其中，=rpd为透射系数，r为反射系数，分别对应于5= B'=、R2-π/a (18) 及ua 为介质填充段内的相移常数： 根据式(12).容易得到 k=kn=2时 fcos(nkd)=(12r (19) 为介质内的波数。 (13) 根据式(16).可以得到 cos(B'd)=(1-r+1M21)=A (20) 于是有 tma)-zm soW-(-rr) (21) (14) 根据式(20).(21)可得 2 B'=±areeos(A=±Re(arceos A)±ilm(areeosA)+2rmVd(22) 从而有 式(13).(14)中正负号的选择是：折射率n的虚部为正： 相对波阻抗：的实部为正：m是一个整数，一般取0（所以要求 (23) 样品的厚度不能太厚，另外需要测量多个厚度的结果并进行 其中，P的实部大于零，B的虚部为负值。 比对)。得到了n与：之后，根据c=n,u=即可获得等效媒 实际应用时，为了解决复数的多值间颗，d的取值拔小越 质的电磁参数 好。此外，为了保证多值函数取值正确，测量样品的厚度罗 2.3 基于波导测量的参数提取方法 变化儿次，然后再核准结果是否 利用式(21).(23)得 F散射 提取等效媒质电磁参数的方法利用广污 到p以及B,通过(17).(18).(19)可以得到，。 以此为基础，还提出了基于波导的等效参数提取理论叫。介 质加载矩形波导纵剂面和横截面的示意图见图1。基本原理 3 典型超材料的加工及实现 如下： 3.1基于PCB工艺的电磁超材料 当工作频率为w=2可时，对应的波导波长为 基于CB工艺的电磁超材料的实现，是通过打印或电镀 ,=2=B=v(-E） 等方法，在介质基板上覆盖金属结构，形成的复合结构能够 (15) 在特定电磁环境下表现出特异的电磁性能。其中最为典型 其中，A=2a,A=30听，长度单位为cm,频率f单位为GHzo 的就是开口谐振环( R)和金届线结 ,由于在相应工作频 的有效介电常数和 争率会出现负值的情况， 经提出便被广泛推， 应用，而 于SRR的超材料设计更是层出不穷。这里选择开口谐振环 金属线(SRR-Wie)的组合结构进行介绍，该结构分别在FR4 基板的两面对应覆上铜质sSRR和金属线（图2(a),在X波 段能够得到同为负值的有效磁导率和介电常数，具体结果如 (a)纵剖面 (b)横截面 图2(b)所示四。 图1介质加载矩形波导的示意 图2(a)中，sRR-Wie单元结构的具体尺寸为：a=2.5 Fig.1 Schematics of dielectric loaded waveguide e015m =016 mm.c mm,f=0.15 29■ 1994-2018 China Academie Joural Electronic Publishing House All rights reserved. http://www.cnki.ne
仿真时只需要对一个单元结构进行考虑，在单元结构的四周 分别设置电壁、磁壁，而沿波的传播方向设置波端口），并据 此获得电磁波的反射和透射系数。在实验测量中，通过接在 矢量网络分析仪上的一对收发天线，测量得到介于这2个天 线之间的人工电磁材料平板对电磁波的反射、透射系数。二 者的理论基础，都是电磁波穿过无限大平板时的反射与透射 理论。 当均匀平面电磁波垂直入射到厚度为d的一块无限大介 质板时，很容易得到其对应的反射、透射系数[16] ： ì í î ï ï t -1 = é ë ù û cos(nkd)- i 2 (z + 1 z )sin(nkd) e ikd r t′ = - 1 2 i(z - 1 z )sin(nkd) （12） 其中，t'=exp(ikd)t为透射系数，r为反射系数，分别对应于s12=s21 及s11。 根据式（12），容易得到 ì í î ïï ïï cos(nkd)= [1 -(r 2 - t' 2 )] 2t′ z = ± (1 + r) 2 - t' 2 (1 - r) 2 - t' 2 （13） 于是有 ì í î ï ï ï ï Im(n)= ±Imæ è çç ö ø ÷÷ cos -1 ([1 -(r 2 - t′ 2 )] 2t′) kd Re(n)= ±Re æ è çç ö ø ÷÷ cos -1 ([1 -(r 2 - t′ 2 )] 2t′) kd + 2πm kd （14） 式（13）、（14）中正负号的选择是：折射率n的虚部为正； 相对波阻抗z的实部为正；m是一个整数，一般取0（所以要求 样品的厚度不能太厚，另外需要测量多个厚度的结果并进行 比对）。得到了n与z之后，根据ε=n/z, μ=nz即可获得等效媒 质的电磁参数[16] 。 2.3 基于波导测量的参数提取方法 基于散射参数提取等效媒质电磁参数的方法利用广泛， 以此为基础，还提出了基于波导的等效参数提取理论[21] 。介 质加载矩形波导纵剖面和横截面的示意图见图1。基本原理 如下： 当工作频率为ω=2πf时，对应的波导波长为 λg = 2π/β = 1/ æ è ö ø 1 λ 2 - æ è ç ö ø ÷ 1 λc 2 （15） 其中，λc=2a，λ=30/f，长度单位为cm，频率f单位为GHz。 设介质片放在z0=0位置处，厚度为z1-z0=d，宽a、高b为矩 形波导的内尺寸，对应的介电常数为ε，磁导率为μ，相对量分 别为εr、μr。则根据模式匹配的理论，可以得到TE10模式对应 的反射系数及透射系数分别为 ì í î ï ï ï ï rc = jsin(β′ d)(p 2 - 1) jsin(β′ d)(p 2 + 1)+ 2p cos(β′ d) = S11 tc = 2p jsin(β′ d)(p 2 + 1)+ 2p cos(β′ d) = S12 （16） 其中， p = μr β/β′ （17） β = k0 2 -(π/a) 2 为空气段波导内的相移常数；k0 = 2πf ε0 μ0 为真空中的波数；π/a为TE10模式的截止波数；而 β′= k2 -(π/a) 2 （18） 为介质填充段内的相移常数； k = k0 n = 2πf εμ （19） 为介质内的波数。 根据式（16），可以得到 cos(β′d)=(1 - rc 2 + tc 2 )/(2tc)= A （20） p = ± (rc + 1) 2 - tc 2 (rc - 1) 2 - tc 2 （21） 根据式（20）、（21）可得 β′=[±arccos(A)= ±Re(arccos A)± i Im(arccos A)+ 2πm]/d （22） 从而有 {Re(β′)=[±Re(arccos A)+ 2πm]/d Im(β′)= ±Im(arccos A)/d （23） 其中，p的实部大于零，β的虚部为负值。 实际应用时，为了解决复数的多值问题，d的取值越小越 好。此外，为了保证多值函数取值正确，测量样品的厚度要 变化几次，然后再核准结果是否一致。利用式（21）、（23）得 到p以及β，通过（17）、（18）、（19）可以得到ε, μ。 3 典型超材料的加工及实现 3.1 基于PCB工艺的电磁超材料 基于PCB工艺的电磁超材料的实现，是通过打印或电镀 等方法，在介质基板上覆盖金属结构，形成的复合结构能够 在特定电磁环境下表现出特异的电磁性能。其中最为典型 的就是开口谐振环（split-ring resonator，SRR）和金属线结 构[22] ，由于在相应工作频率下，这种结构的有效介电常数和磁 导率会出现负值的情况，一经提出便被广泛推广应用，而基 于SRR的超材料设计更是层出不穷。这里选择开口谐振环- 金属线（SRR-Wire）的组合结构进行介绍，该结构分别在FR4 基板的两面对应覆上铜质SRR和金属线[23（] 图2（a）），在X波 段能够得到同为负值的有效磁导率和介电常数，具体结果如 图2（b）所示[23] 。 图 2（a）中，SRR-Wire 单元结构的具体尺寸为：a=2.5 mm，b=0.2 mm，c=1.01 mm，d=0.15 mm，e=0.16 mm，f =0.15 图1 介质加载矩形波导的示意 Fig. 1 Schematics of dielectric loaded waveguide （a）纵剖面 （b）横截面 科技导报2016，34（18） 29
科技导报2016,3418) mm,g=0.16mm,h=2.3mm。研究表明，通过政变单元结构尺 寸，能够调整对应的有效电磁参数，也就是说，可以通过对单 元结构的具体设计得到指定频率范围内所需的材料参数 图3 石墨烯结构模型及参数调控 Fig.3 Structural model and parameters'manipulation (a)SRR-Mre单元结构 of graphene 的因此基干该原理堂理等效由导率材料是另一种非常灵 图2基于PCB工艺的超材料单元和对应参数 Fig.2 PCB-based metamaterial unit and the 活、实用的新方法 corresponding parameters 如图4所示，对于一个薄板导电材料，在柱坐标系下，用 32基于石墨烯的电磁超材料 极坐标网格将各向异性导电材料分割成细小的结构单元，而 对于每 结构单元，用近似图4(b)的电阻来等效实现。于 9. )是从石墨材料中离出来、由碳原子 是，一块各向异性导电材料的向题被转换成了求解径向电阻 组成的只有 二维晶体，具有非同寻常的导电 和切向电阻的间题。 性能，因而被广泛应用于电磁领域。研究表明.零掺杂石 烯的电导率是独立于任何材料参数的.仅是精细结构常数 函数，但是一经摻杂，则有者完全不同的表现，其电导率发 生了非常大的变化，可由Ko公式描述： .='l-io"=.+g. 其中 o和d 分别代表由带内电子-光子的散射和带 间电子迁移过程对应的电导率 (a)材料的离散化 (b)等效电阻 -o=t+2k,Tin(e+ (25 图4导电材料与电阻网络的等效关系 (26 resistor netv 设其中任意一块结构单元对应的弧度为p,极径为，厚 「是阻尼系数。 变 则对于每 个微小的结构单元而言，从径向看，长 假定石墨烯层相对于激发波长有一个非常薄的厚度。 △p.宽d=pAg,横截面积s=p△ph,代人电阻公式R=六 (在具体分析过程中，令ǒ为零即可得到实际结果)，则体电导 很容易得到径向电阻的近似计算公式： 率和表面电导率之间的关系可表示为 =B (29 由支克新市打程可到件电高数的公式。 (27) 同理，可以求出切向电阻的近似计算公式： Evc(w)=1+j@MSaw) (28 (30) 容易看出，石墨烯的体介电常数是由多参数决定的，在 工作频率和温度固定的情况下，可以通过化学势和阻尼系数 从上述推导可以看出，在直流电作用下，可以通过对电 等参数对它进行活当调控，如图3所示。 阻网络的合理设计，实现等同于非均匀各向异性导电材料的 3.3直流电型电磁超材料 导电性能。值得注意的是，对于导热材料，根据类似的原理， 超材料的种类较名实理方式各异比较营的是单 同样可以借助此方法进行分析设计。 振和材料 在直流情况下，材料的电导率起重要作 3.4传输线型超材料 用。就导电性能而言，导电材料和电阻网络是可以等效互挨 由于传输线能够引导电磁波沿着一定方向传播，其传插 oo30oic Publishing House.All rights reserve http//www enki ne
mm，g=0.16 mm，h=2.3 mm。研究表明，通过改变单元结构尺 寸，能够调整对应的有效电磁参数，也就是说，可以通过对单 元结构的具体设计得到指定频率范围内所需的材料参数。 3.2 基于石墨烯的电磁超材料 石墨烯（graphene）是从石墨材料中剥离出来、由碳原子 组成的只有一层原子厚度的二维晶体，具有非同寻常的导电 性能，因而被广泛应用于电磁领域。研究表明，零掺杂石墨 烯的电导率是独立于任何材料参数的，仅是精细结构常数的 函数[24] ，但是一经掺杂，则有着完全不同的表现，其电导率发 生了非常大的变化，可由Kubo公式描述[25] ： σS,G(ω)= σ′S,G(ω)- jσ″S,G(ω)= σin tr a(ω)+ σinter(ω) （24） 其中，σintra(ω)和σinter(ω)分别代表由带内电子-光子的散射和带 间电子迁移过程对应的电导率。 σintra(ω)= j q 2 πℏ(ℏω + jΓc) [ μc + 2kBT ln(e ] -μc/(kBT) + 1) （25） σinter(ω)= j q 2 4πℏ lné ë ê ù û ú 2|μc| -(ℏω + jΓc) 2|μc| +(ℏω + jΓc) （26） 其中，ω是工作频率，q是电子的电量，ℏ 是约化普朗克常数， kB是玻尔兹曼常数，T表示温度，μc是指掺杂石墨烯的化学势， Γc是阻尼系数。 假定石墨烯层相对于激发波长有一个非常薄的厚度 δ （在具体分析过程中，令δ为零即可得到实际结果），则体电导 率和表面电导率之间的关系可表示为 σV,G = σS,G /δ （27） 由麦克斯韦方程可得到体介电常数的公式： εV,G(ω)= 1 + jσV,G(ω)/(ε0ω) （28） 容易看出，石墨烯的体介电常数是由多参数决定的，在 工作频率和温度固定的情况下，可以通过化学势和阻尼系数 等参数对它进行适当调控，如图3所示。 3.3 直流电型电磁超材料 超材料的种类较多，实现方式各异，比较常见的是单元 谐振和材料掺杂。在直流情况下，材料的电导率起重要作 用。就导电性能而言，导电材料和电阻网络是可以等效互换 的，因此，基于该原理实现等效电导率材料是另一种非常灵 活、实用的新方法。 如图4所示，对于一个薄板导电材料，在柱坐标系下，用 极坐标网格将各向异性导电材料分割成细小的结构单元，而 对于每一个结构单元，用近似图4（b）的电阻来等效实现。于 是，一块各向异性导电材料的问题被转换成了求解径向电阻 和切向电阻的问题。 设其中任意一块结构单元对应的弧度为φ，极径为ρ，厚 度为h。则对于每一个微小的结构单元而言，从径向看，长l= Δ ρ，宽 d = ρΔφ ，横截面积 s = ρΔφh ，代入电阻公式 R = L σS ， 很容易得到径向电阻的近似计算公式： Rρ ≈ Δρ σρ ρΔφh （29） 同理，可以求出切向电阻的近似计算公式： Rφ ≈ ρΔφ σφΔρh （30） 从上述推导可以看出，在直流电作用下，可以通过对电 阻网络的合理设计，实现等同于非均匀各向异性导电材料的 导电性能。值得注意的是，对于导热材料，根据类似的原理， 同样可以借助此方法进行分析设计。 3.4 传输线型超材料 由于传输线能够引导电磁波沿着一定方向传播，其传播 图3 石墨烯结构模型及参数调控 Fig. 3 Structural model and parameters' manipulation of graphene 图4 导电材料与电阻网络的等效关系 Fig. 4 Equivalent of conductive material and resistor network （a）材料的离散化 （b）等效电阻 图2 基于PCB工艺的超材料单元和对应参数 Fig. 2 PCB-based metamaterial unit and the corresponding parameters （b）从仿真结果中提取的 磁导率和介电常数 （a）SRR-Wire单元结构 科技导报2016，34（18） 30
科技导报2016.34(18j 描 时程类州干自由空间中的导波堪质所以可以用由压由流 垂省干网络表面)的模拟且右重要用涂。需要注意的是在 波在传输线上的传插来等效模拟电磁波在媒质中的传播 的传播常数B和特 正阻抗乙，分别与质中的 播常数和波阻抗相对应。当传输的电压波频率提高后 下作过多叙还。 传输线将出现分布电感，分布电容效应（忽略损耗，如图5所 示)，将均匀传输线用电路进行等效，假设其串联阻抗为乙，并 联导纳为Y,则由传输线理论，该传输线对应的相移常数和特 征阻抗分别为 (31) 其中，LC分别表示单位长度的电感和电答 考虑到均匀平面波在无限大介质中的传插特性。 k=u6μ，1=4E (32 时比公式(31)，(32).显然有=C.=L.即：L.C可以等效 图6二维传输网络单元 为材料的磁导率和介电常数。 Fig.6 2D transmission network element 向以周期做敢化处 3.5 利用全介质振实现人工电磁材料 中联电感业和并联电容6：（如图5(b)所示），因此有 8a=号，4n= 采用心B加工技术，并利用亚波长金属单元获得的人工 (33 电磁材料，尽管得到了广泛的应用，但是这种方法也有其局 其中，下标R表示右手材料即材料的申酸参数均为正数 限性，比如：金属固有的损耗、加工的难度、较窄的工作频段 当然在且体实现的时候.也可以在长府为△的传输线 以及电磁各向异性等。这些因素在光波段显得更为突出，因 集中加串联电容和并联电 4(如图5(d)所示)，此时有 此，提出了所谓的全介质人工电磁材料的设想。它的基 Z-l/joC-jo(-IloC).Y=I/joL.-jo(-I/oL). 对比式(33)，则 本原理是：在背景材料里面嵌入亚波长的介质微粒，其介电 数一船远大干周围环培的介电背数。当申磁被入射到议 =-l&=-c.& (34) 其中，下标L表示左手材料，即材料的电磁参数均为负数。 向外 3.M 位的是磁偶极子利和由 偶极子模式，可以忽略其他高级偶极模式。这样看来，掺 L酒 介质微粒的材料会在微粒的附近产 个等效的电偶极 或者磁偶极子，众多的“偶极子"对电磁波的响应，可以用等 cTO c. 效的块状媒质来考虑，也就是等效的介电常数或者磁导率。 理论上，可以利用Me散射理论获得介质微粒的散射场分布， (a)右手单元电路图 (b)右手单元的实现 通过与标准的偶极子场作对照，即可张得等效的电极化强度 或者磁极化强度矢量，并借此得到电、酸极化率，最后根据 ss-s:八式即可获得等效的电磁参数 由于全介质人工电磁材料具有损耗小，颜带宽、易 特 (c左手单元电路图 {d)左手单元的实切 ,能够向光被段扩展的特点。因针对 个重要课题。需要指出的是，当背景材料里面掺入的不 图5传输线基本单元 是介质颗粒而是金属颗粒时.这种方法依然适用四 Fig.5 Transmission line units 3.6利用分层各向同性材料组合各向异性人工电磁材料 在人工电磁材料中，各向异性的材料是由分层均匀的各 由公式(34)可以看出，利用传输线结构，可以非常便 向同性材料的组合而形成叫，如图7所示。 的实现左手、右手等效材料，从而给某些物理现象的实验验 由于各层材料在x0x平面无限大，因此，该平面内的材料 证提供了可能。 是各向同性的。根据等效媒质的理论（电容的串并理论），设 当采用二维传输线网铬时（图6），还可以实现等效的各 两种材料的占比分别为人，且什=1，则 向异性的材料参数四，即 .=.=6+5 (36 4=24=-2e.-)z(35, 沿：轴方向，材料的电磁参数显然不同，同样的道理有 由于传输线的局限性，上述方法对于TE电磁模式（电场 (37) 31■ 94-2018 China Academic Joural Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.ne
过程类似于自由空间中的导波媒质，所以可以用电压、电流 波在传输线上的传播来等效模拟电磁波在媒质中的传播情 况。传输线的传播常数β和特征阻抗Zc，分别与媒质中的传 播常数k和波阻抗η相对应。当传输的电压波频率提高后， 传输线将出现分布电感、分布电容效应（忽略损耗，如图5所 示），将均匀传输线用电路进行等效，假设其串联阻抗为Z，并 联导纳为Y，则由传输线理论，该传输线对应的相移常数和特 征阻抗分别为 β = ω LC, Zc = L C （31） 其中，L, C分别表示单位长度的电感和电容。 考虑到均匀平面波在无限大介质中的传播特性： k = ω εμ ,η = μ ε （32） 对比公式（31）、（32），显然有ε=C, μ=L，即：L，C可以等效 为材料的磁导率和介电常数。具体实现的时候，沿传输线方 向以周期 Δ 做离散化处理，即，长度为 Δ 的传输线集中加载 串联电感μR和并联电容ε（R 如图5（b）所示），因此有 εR = CR Δ , μR = LR Δ （33） 其中，下标R表示右手材料，即材料的电磁参数均为正数。 当然在具体实现的时候，也可以在长度为 Δ 的传输线上 集中加载串联电容εL和并联电感μ（L 如图5（d）所示），此时有 Z=1/jωC=jω(-1/ω2 C)，Y=1/jωL=jω(-1/ω2 L)，对比式（33），则有 εL = - 1 ω2 LLΔ, μL = - 1 ω2 CLΔ （34） 其中，下标L表示左手材料，即材料的电磁参数均为负数。 由公式（34）可以看出，利用传输线结构，可以非常便利 的实现左手、右手等效材料，从而给某些物理现象的实验验 证提供了可能。 当采用二维传输线网络时（图6），还可以实现等效的各 向异性的材料参数[26] ，即 μxe = -j æ è ö ø 1 ωd Zy, μye = -j æ è ö ø 1 ωd Zx, εze = -j æ è ö ø 1 ωd 1 Zg （35） 由于传输线的局限性，上述方法对于TE电磁模式（电场 垂直于网络表面）的模拟具有重要用途。需要注意的是，在 使用传输线等效电路网络模拟媒质时，需要进行阻抗匹配[27] 以模拟均匀无限大的背景材料空间，过程比较繁杂，在此就 不作过多叙述。 3.5 利用全介质谐振实现人工电磁材料 采用PCB加工技术，并利用亚波长金属单元获得的人工 电磁材料，尽管得到了广泛的应用，但是这种方法也有其局 限性，比如：金属固有的损耗、加工的难度、较窄的工作频段 以及电磁各向异性等。这些因素在光波段显得更为突出，因 此，提出了所谓的全介质人工电磁材料的设想[28~31] 。它的基 本原理是：在背景材料里面嵌入亚波长的介质微粒，其介电 常数一般远大于周围环境的介电常数。当电磁波入射到这 些微粒上时，会激发各种电磁模式，并以散射电磁场的方式 向外辐射。在这些模式中，处于主导地位的是磁偶极子和电 偶极子模式，可以忽略其他高级偶极模式。这样看来，掺入 介质微粒的材料会在微粒的附近产生一个等效的电偶极子 或者磁偶极子，众多的“偶极子”对电磁波的响应，可以用等 效的块状媒质来考虑，也就是等效的介电常数或者磁导率。 理论上，可以利用Mie散射理论获得介质微粒的散射场分布， 通过与标准的偶极子场作对照，即可获得等效的电极化强度 或者磁极化强度矢量，并借此得到电、磁极化率，最后根据 Clausius-Mossotti公式即可获得等效的电磁参数。 由于全介质人工电磁材料具有损耗小、频带宽、易于加 工、能够向光波段扩展的特点，因此针对该特点的研究也成 为一个重要课题。需要指出的是，当背景材料里面掺入的不 是介质颗粒而是金属颗粒时，这种方法依然适用[32] 。 3.6 利用分层各向同性材料组合各向异性人工电磁材料 在人工电磁材料中，各向异性的材料是由分层均匀的各 向同性材料的组合而形成[33] ，如图7所示。 由于各层材料在xoy平面无限大，因此，该平面内的材料 是各向同性的。根据等效媒质的理论（电容的串并理论），设 两种材料的占比分别为f1, f2，且f1+ f2=1，则 εxx = εyy = f1ε1 + f2ε2 （36） 沿z轴方向，材料的电磁参数显然不同，同样的道理，有 1 εzz = f1 ε1 + f2 ε2 （37） 图6 二维传输网络单元 Fig. 6 2D transmission network element 图5 传输线基本单元 Fig. 5 Transmission line units （c）左手单元电路图 （d）左手单元的实现 （a）右手单元电路图 （b）右手单元的实现 科技导报2016，34（18） 31