整除。 (3)相似矩阵有相同的最小多项式。 如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考 虑 Jordan标准形矩阵的最小多项式。 例1:已知一个 Jordan块
整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。 如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考 虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。 例 1 ：已知一个Jordan块 1 1 i i i i i i d d J =
求其最小多项式。 解:注意到其特征多项式为f(4)=(4-4)4 ,则由上面的定理可知其最小多项式m(2) 定具有如下形状 m()=(2-4) 其中1≤k≤ 但是当k<d2时
求其最小多项式。 解：注意到其特征多项式为 ，则由上面的定理可知其最小多项式 一定具有如下形状 其中 。但是当 时 ( ) ( )di i f = −m( ) ( ) ( )k m = − i 1 i k d i k d
m(J7)=(J1-2 00 0 00 0 ≠O 0 00 0
( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 i i k i i i d d m J J I O = − =
因此有 m()=(-4) 例2:已知对角块矩阵 A=diag(A,A2,…,A,) ,m1(),m2(x),…,m,()分别为子块 A的最小多项式,则A的最小 多项式为 [mn4(),m2(),…,m1(4 即为m1(),m2(4)…,m()的最小公倍 数
因此有 例 2 ：已知对角块矩阵 ， 分别为子块 的最小多项式，则 的最小 多项式为 即为 的最小公倍 数。 ( ) ( )di m = − i A A A A = diag( , , , ) 1 2 r 1 2 ( ), ( ), , ( ) m m m r 1 2 , , , A A Ar A 1 2 [ ( ), ( ), , ( )] m m m r 1 2 ( ), ( ), , ( ) m m m r
例3:求下列矩阵的最小多项式 308 (1)A=3-16 20-5 232 (2)B=18 2-14 23
例 3 ：求下列矩阵的最小多项式 3 0 8 (1) 3 1 6 2 0 5 2 3 2 (2) 1 8 2 2 14 3 A B = − − − = − − −