《矩阵分析》课程教学资源（PPT课件）第六章 矩阵函数

0 332 86 0-5 求f(A)。 解:首先求出矩阵的A的 Jordan标准形J 及其相似变换矩阵P

3 0 8 3 1 6 2 0 5 A     = −       − − 求 。 解：首先求出矩阵的 的Jordan标准形 及其相似变换矩阵 f A( ) A J P

100 00 041 0 P=130P-1=00 22 0-20 102 那么有

1 0 0 0 1 1 0 0 1 J   −   = −       − 0 4 1 1 3 0 0 2 0 P     =       − 1 3 0 1 2 0 0 1 2 1 0 2 P −     =  −          那么有

f(a)=pf()P 041f(-1) =1300f(-1)f(-1)00-1 0-200 0f(-1)102 f(-1)+4f(-1)0 8f(-1) 3f(-1)f(-1)6f(-1) 2f(-1) 0f(-1)-4f(-1)

1 ' ' ' ' ' ' ' ( ) ( ) 3 0 1 0 4 1 ( 1) 0 0 2 1 3 0 0 ( 1) ( 1) 0 0 1 2 0 2 0 0 0 ( 1) 1 0 2 ( 1) 4 ( 1) 0 8 ( 1) 3 ( 1) ( 1) 6 ( 1) 2 ( 1) 0 ( 1) 4 ( 1) f A Pf J P f f f f f f f f f f f f f − =       −   = − −     −        − −         − + − −   = − − − − − − − −  

350-72 271-54 18037 定义:已知A∈C和关于变量x的多 项式 f(x=anx"+amx"+.+a,x+a 如果f(x)满足f(A)=On,那么称f(x) 为矩阵A的一个零化多项式

35 0 72 27 1 54 18 0 37   − −   = − −       定义：已知 和关于变量 的多 项式 如果 满足 ，那么称 为矩阵 的一个零化多项式。 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − n n A C   x f x( ) ( ) n n f A O=  f x( ) A

定理:已知A∈C,f(4)为其特征多项式 则有 f(A=O 我们称此定理为 Hamilton- Cayley定理。 定义:已知A∈Cm,在A的零化多项式中 次数最低且首项系数为1的零化多项式称为x 的最小多项式,通常记为m(4) 最小多项式的性质:已知A∈Cn",那么 (1)矩阵A的最小多项式是唯一的。 (2)矩阵的任何一个零化多项式均能被m()

定理：已知 ， 为其特征多项式 ，则有 我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。 定义：已知 ，在 的零化多项式中， 次数最低且首项系数为1的零化多项式称为 的最小多项式，通常记为 。 最小多项式的性质：已知 ，那么 （1）矩阵 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 n n A C   f ( )  ( ) n n f A O=  A A m( )  n n A C   n n A C   A m( ) 