《矩阵分析》课程教学资源（PPT课件）第六章 矩阵函数

(3)C= 111 20 634 4 D 3000 300 0030 0005

1 2 6 (3) 1 0 3 1 1 4 3 1 0 0 0 3 0 0 (4) 0 0 3 0 0 0 0 5 C D   − −   = −      − −     =        

解:(1)首先求出其 Jordan标准形为 100 00 0-1 所以其最小多项式为(+1 (2)此矩阵的 Jorda标准形为

1 0 0 0 1 1 0 0 1 J   −   = −       − 解： （1）首先求出其Jordan标准形为 所以其最小多项式为 。 （2）此矩阵的Jordan标准形为 2 ( 1)  +

100 J=031 003 从而其最小多项式为(-1)(-3)。 (3)该矩阵的 Jordan标准形为 100 J=011 001

1 0 0 0 3 1 0 0 3 J     =       从而其最小多项式为 。 （3）该矩阵的Jordan标准形为 2 ( 1)( 3)   − − 1 0 0 0 1 1 0 0 1 J     =      

故其最小多项式为(-1)2 (4)此矩阵本身就是一个 Jordan标准形 所以其最小多项式(-5)(-3)2。 矩阵函数及其计算 数在矩阵谱上的值与矩阵函数 定义:设A∈Cm,A,2,…,为A的 个互不相同的特征值,m(4)为其最小多项 式且有 m()=(-41)(-42)2…(-4)4

故其最小多项式为 。 （4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形， 所以其最小多项式 。 矩阵函数及其计算 函数在矩阵谱上的值与矩阵函数 定义：设 ， 为 的 个互不相同的特征值， 为其最小多项 式且有 2 ( 1)  − 2 ( 5)( 3)   − − n n A C   1 2 , , ,   r r m( )  A 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) d d dr m        = − − − r

其中 d≥1(i=1,2…),∑a=m 如果函数f(x)具有足够高阶的导数并且下 列m个值 f(2),f(2),…,f-(A),i=1,2,…,r 存在,则称函数f(x)在矩阵A的谱上有定 义例 设 f(x)=- (x-3)(x-4)

其中 如果函数 具有足够高阶的导数并且下 列 个值 存在，则称函数 在矩阵 的谱上有定 义。 例：设 1 1( 1, 2 , ), r i i i d i r d m =  = =  f x( ) ' ( 1) ( ), ( ), , ( ), 1, 2, , di i i i f f f i r    − = f x( ) A m 1 ( ) ( 3)( 4) f x x x = − −