首先建立>0电路的微分方程如下： +最=log》） t≥0 (10-7) dt 对应齐次微分方程的通解uc()为 uch (t)=Kex Ke RC 微分方程特解4c,④的形式与电流源相同，为同一频率 的正弦时间函数，即 ucp(t)=Ucm cos(at+)
首先建立t>0电路的微分方程如下: cos( ) 0 (10 7) 1 d d C Sm i C u I t t t R u C 对应齐次微分方程的通解uCh(t)为 RC t st uCh (t) Ke Ke 微分方程特解uCp(t)的形式与电流源相同，为同一频率 的正弦时间函数，即 ) u u (t) U cos( t Cp Cm
ucp(t)=Ucm cos(at+) 为了确定Ucm和y,可以将上式代入微分方程中 c出+.=lca@+) t20 (10-7) -CVe+g.)+R.csa+g.）=人nosa+vy)） 求解得到 UcmCR) (10-8) Ψu.=y,-arctan(oCR) (10-9)
为了确定UCm和ψu，可以将上式代入微分方程中 求解得到 arctan( ) (10 9) (10 8) (1/ ) u i 2 2 2 Sm Cm CR C R I U cos( ) 0 (10 7) 1 d d C Sm i C u I t t t R u C cos( ) ( ) 1 sin( ) Cm u Cm u Sm i U t I t R CU t cos ) u u (t) U cos( t Cp Cm
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的 波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当 RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。 uc(t) Uemcos(@t+) Ucmcosp。 -Ucmcos! UemcostψneRc 图10-10
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的 波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当 RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。 图 10-10
微分方程的完全解为 uc(t)=Ke rc +Ucm cos(@t+y) (t≥0) (10-10) 可以求得 K=uc(0)-Ucm cosVu 最后得到电容电压u(t)的全响应为 uc(t)=[uc(0)-Ucm cosy]-e Rc +Ucm cos(@t+)(tz0) 暂态响应 正弦稳态响应 (10-11)
微分方程的完全解为 (10 10) ( ) e cos( ( 0) C C m u t K U t t RC t ) u 可以求得 C Cm u K u (0)U cos 最后得到电容电压uC (t)的全响应为 (10 11) ( ) [ (0) cos ] e cos( ( 0) C C C m C m u t u U U t t RC t 暂态响应 正弦稳态响应 ) u u
二、 用相量法求微分方程的特解 求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的 特解。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系 数微分方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算 工具。现将这种相量法介绍如下： is(t)=Ism cos(@t+)=Re(ismei) ucp(t)=Ucm cos(@t+)=ReUcmei@) 代入微分方程 CRe)Re)
二、 用相量法求微分方程的特解 ( ) cos( ) Re( e ) ( ) cos( ) Re( e ) j C p C m C m j S Sm Sm t t u t U t U i t I t I u i 求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的 特解。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系 数微分方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算 工具。现将这种相量法介绍如下： 代入微分方程 Re( e ) Re( e ) R 1 [Re( e )] d d j Sm j Cm j Cm t t t U U I t C