g2.2.Lebesgue积分理论7证明请参考[7]。以下出现的集合E默认均为Rn上的可测集定理2.2.1(Levi单调收敛定理)设[fn)是E上的非负可测单调递增(减)函数列，且VaEE，limfn(a)=fn(r)dr=f(a)drf(r)，则lim定理2.2.2(Fatou引理)设(fn)是E上的非负可测函数列，则liminffn(r)da≤liminffe(a)de定理2.2.3(控制收敛定理)设fnEL(E)，limfn(a)=f(a)a.e.EE.如果存在FEL(E)，使得lfn(r)l< F(a) a.e. reE (Vn e N*), 则 lim /_ fn(a)dr =/ f(r)dar.【注】实际上，定理2.2.3的几乎处处收敛改成依测度收敛，结论依旧成立，此外，关于Lebesgue积分还有几个比较重要的定理.定理2.2.4（积分的绝对连续性)若fEL(E)，则Ve>0，35>0，使得VFCE，m(F)<8，有/. f(a)da| ≤ / f(a)]dr<e.【证明】不妨f非负：由于非负可测函数可被简单函数从下方逼近，因此存在为简单函数，使[ (f(r) -0(r)da<设(r)≤M，取=则当FCE且m(F)<时，2M'(f(r)da ≤ / (f(a) -(r)dar+()da<e.许多关于Lebesgue积分结论的证明，都是类似于上述方法，先考虑非负可测简单函数，再考虑逼近一般情况.同学们可以尝试着证明下面的定理定理2.2.5(平移定理)设f E L(R")，则Vy E Rn，f(a+y)e L(R")，且[f(a+y)da =f(r)da下面给出Lebesgue可积函数与连续函数的关系.定理2.2.6若f eL(E)，则Ve>0,3g(r)Co(R")，使得If(a)-g(r)da<e.【注】它的证明是依靠非负可测简单函数逼近非负可积函数的同时又能被紧支连续函数逼近(Lusin定理)完成的.下面的定理是它的推论定理2.2.7（积分的平移连续性)设feL(IR")，则limIf(r + h) - f(r)[dr = 0.【证明】Ve>0，取分解：f()=fi(c)+f2(c)，使得fiECo(Rn)，1f2(n)]da<由于fi紧支且一致连续，故38>0，使得当h<8时，/[ 1fi(r + h) - f(r)Idar<(. 1(+)- (a)da≤+ / (+h)dr+ /1(a)dr=+2 / ()da 6. 下面给出两个在交换积分次序时常用的定理
§2.2. Lebesgue积分理论 7 证明请参考[7]. 以下出现的集合E默认均为R n上的可测集. 定理2.2.1 (Levi单调收敛定理)设{fn}是E上的非负可测单调递增(减)函数列，且∀x ∈ E， limn→∞ fn(x) = f(x)，则 limn→∞ ˆ E fn(x)dx = ˆ E f(x)dx. 定理2.2.2 (Fatou引理)设{fn}是E上的非负可测函数列，则 ˆ E lim inf n→∞ fn(x)dx 6 lim inf n→∞ ˆ E fk(x)dx. 定理2.2.3 (控制收敛定理)设fn ∈ L(E)， limn→∞ fn(x) = f(x) a.e. x ∈ E. 如果存在F ∈ L(E)，使 得|fn(x)| 6 F(x) a.e. x ∈ E (∀n ∈ N ∗ )，则 limn→∞ ˆ E fn(x)dx = ˆ E f(x)dx. 【注】实际上，定理2.2.3的几乎处处收敛改成依测度收敛，结论依旧成立. 此外，关于Lebesgue积分还有几个比较重要的定理. 定理2.2.4 (积分的绝对连续性)若f ∈ L(E)，则∀ε > 0，∃δ > 0，使得∀F ⊂ E，m(F) < δ，有 ˆ F f(x)dx 6 ˆ F |f(x)|dx < ε. 【证明】不妨f非负. 由于非负可测函数可被简单函数从下方逼近，因此存在ϕ为简单函数，使 ˆ E f(x) − ϕ(x) dx < ε 2 . 设ϕ(x) 6 M，取δ = ε 2M ，则当F ⊂ E且m(F) < δ时， ˆ F f(x)dx 6 ˆ E f(x) − ϕ(x) dx + ˆ F ϕ(x)dx < ε. 许多关于Lebesgue积分结论的证明，都是类似于上述方法，先考虑非负可测简单函数，再考虑 逼近一般情况. 同学们可以尝试着证明下面的定理. 定理2.2.5 (平移定理)设f ∈ L(R n )，则∀y ∈ R n，f(x+y) ∈ L(R n )，且 ˆ Rn f(x+y)dx = ˆ Rn f(x)dx. 下面给出Lebesgue可积函数与连续函数的关系. 定理2.2.6 若f ∈ L(E)，则∀ε > 0，∃g(x) ∈ C0(R n )，使得 ˆ E |f(x) − g(x)|dx < ε. 【注】它的证明是依靠非负可测简单函数逼近非负可积函数的同时又能被紧支连续函数逼 近(Lusin定理)完成的. 下面的定理是它的推论. 定理2.2.7 (积分的平移连续性)设f ∈ L(R n )，则lim h→0 ˆ Rn |f(x + h) − f(x)|dx = 0. 【证明】∀ε > 0，取分解：f(x) = f1(x) + f2(x)，使得f1 ∈ C0(R n )， ˆ Rn |f2(x)|dx < ε 4 . 由于f1紧支且一致连续，故∃δ > 0，使得当|h| < δ时， ˆ Rn |f1(x + h) − f(x)|dx < ε 2 . ∴ ˆ Rn |f(x + h) − f(x)|dx 6 ε 2 + ˆ Rn |f(x + h)|dx + ˆ Rn |f(x)|dx = ε 2 + 2 ˆ Rn |f(x)|dx < ε. 下面给出两个在交换积分次序时常用的定理
82.测度理论与Lebesgue积分定理2.2.8(Fubini定理)若fEL(Rn)，(,y)ERn=RP×R4，则(1)对于几乎处处的ERP，f(r,y)是R上的可积函数.(2)积分/f(a,y)dy是RP上的可积函数(3) /f(r,y)drdy = [ dr /f(r,g)dy =f(a,y)dr定理2.2.9（Tonelli定理）若f是Rn=RP×R4上的非负可测函数，则(1)对于几乎处处的ERP，f(,y)是R上非负可测函数(2)积分/f(a,y)dy是Rp上的非负可测函数.(3) / f(r,)drdy = [ da / (r,y)dy = f(r,y)dr例2.2我们定义fEL(E)的分布函数：f(a)=m((αEE：If(c)I>^))，入>0.求证：对任意p≥1,有/if(a)Pda=p>P-1f()d.【证明】记F(入,z)=XI(n)>(,z)，即在|f(a)>入时，F(>,a)=1，其余的时候为0.If(a)Pda = / da /+ pAP-1dx / F(A, a)dar= p+ pP-1F(A,z)d=p-1 f()d g2.3Lebesgue微分定理在数学分析中，大家学习过微积分基本定理，而它表明了微分与积分运算的可逆关系，而在上一节，我们定义了Lebesgue积分，因此我们也需要研究更一般的微分理论.而下面的Lebesgue微分定理探讨的是先积分再微分的问题，定理2.3.1(Lebesgue微分定理)设feLloc(Rn)，则limf(y)dy=f(）a.e.r，其中B是球m(B)-0/BrEB+If(y)-f()ldy=0.的点为f的Lebesgue点。我们有如下更强的结论。我们定义满足limm(B)→0 JBTEB推论2.3.2(Lebesgue点的稠密性)fELloc(Rn)，则Rn中几乎处处都为f的Lebesgue点【证明】VrEQ，定义E,=（r：limIf(y)-rdyIf(a)-rl)，定义E=UErm(B)-→0/rEQrER由定理2.3.1，每个E是零测集，Q是可数集，因此E是零测集，取E，Ve>0，3rQ，使得If()-rl<e，因此IF(g) -f()Idy ≤f If() -rldy + [() -rl口令m(B)→0,有：limsupIf(y)-f()ldy≤ 2e.m(B)-→0JBrEB
8 2. 测度理论与Lebesgue积分 定理2.2.8 (Fubini定理)若f ∈ L(R n )，(x, y) ∈ R n = R p × R q，则 (1)对于几乎处处的x ∈ R p，f(x, y)是R q上的可积函数. (2)积分 ˆ Rq f(x, y)dy是R p上的可积函数. (3)ˆ Rn f(x, y)dxdy = ˆ Rp dx ˆ Rq f(x, y)dy = ˆ Rq dy ˆ Rp f(x, y)dx. 定理2.2.9 (Tonelli定理)若f是R n = R p × R q上的非负可测函数，则 (1)对于几乎处处的x ∈ R p，f(x, y)是R q上非负可测函数. (2)积分 ˆ Rq f(x, y)dy是R p上的非负可测函数. (3)ˆ Rn f(x, y)dxdy = ˆ Rp dx ˆ Rq f(x, y)dy = ˆ Rq dy ˆ Rp f(x, y)dx. 例2.2 我们定义f ∈ L(E)的分布函数：f∗(λ) = m({x ∈ E : |f(x)| > λ})，λ > 0. 求证：对任 意p > 1，有 ˆ E |f(x)| pdx = p ˆ +∞ 0 λ p−1 f∗(λ)dλ. 【证明】记F(λ, x) = χ|f(x)|>λ(λ, x)，即在|f(x)| > λ时，F(λ, x) = 1，其余的时候为0. ˆ E |f(x)| pdx = ˆ E dx ˆ +∞ 0 pλp−1F(λ, x)dλ = ˆ +∞ 0 pλp−1dλ ˆ E F(λ, x)dx = p ˆ +∞ 0 λ p−1 f∗(λ)dλ. §2.3 Lebesgue微分定理 在数学分析中，大家学习过微积分基本定理，而它表明了微分与积分运算的可逆关系. 而在上 一节，我们定义了Lebesgue积分，因此我们也需要研究更一般的微分理论. 而下面的Lebesgue微分 定理探讨的是先积分再微分的问题. 定理2.3.1 (Lebesgue微分定理)设f ∈ L 1 loc(R n )，则 lim m(B)→0 x∈B B f(y)dy = f(x) a.e. x，其中B是球. 我们定义满足 lim m(B)→0 x∈B B |f(y) − f(x)|dy = 0.的点x为f的Lebesgue点. 我们有如下更强的结论. 推论2.3.2 (Lebesgue点的稠密性)f ∈ L 1 loc(R n )，则R n中几乎处处都为f的Lebesgue点. 【证明】∀r ∈ Q，定义Er = {x : lim m(B)→0 x∈B B |f(y) − r|dy 6= |f(x) − r|}，定义E = [ r∈Q Er. 由定理2.3.1，每个Er是零测集，Q是可数集，因此E是零测集. 取x /∈ E，∀ε > 0，∃r ∈ Q，使得|f(x) − r| < ε，因此 B |f(y) − f(x)|dy 6 B |f(y) − r|dy + |f(x) − r| 令m(B) → 0，有：lim sup m(B)→0 x∈B B |f(y) − f(x)|dy 6 2ε
982.3.Lebesgue微分定理N我们称f是[a,b]上的有界变差函数，如果它的总变差supIf(ts)-f(ts-1)/<+，其中sup是k=1对任意一种[a,b]的分割：a=to<.…<t=b来取，一般记作fEBV[a,b].我们容易知道：单调函数、导数有界的函数以顶是有界变差函数。不仅如此，我们还有如下定理。定理2.3.3(Jordan分解定理)fEBV[a.bl当且仅当f=g-h，其中g和h均为[a.bl上的递增函数事实上，有界变差函数一定是几乎处处可微的，但是并不能保证导数的可积性.称f是a,b上的N绝对连续函数，如果Ve>0，38>0，使得当(bkak）<8时，If(bk）-f(ak)<e，其中要求(ak,bk)之间两两不交，一般记作fEAC[a,b].有了绝对连续函数的概念，我们可以研究先微分再积分的问题定理2.3.4如果f是单调递增的连续函数，则f'几乎处处存在，且f'是非负可测函数，满足f'(α)da≤f(b) -f(a)定理2.3.5fEAC[a,b]，则f'几乎处处存在且可积，且VaE[a,b]，满足f(a)-f(a)=f'(t)dt
§2.3. Lebesgue微分定理 9 我们称f是[a, b]上的有界变差函数， 如果它的总变差supX N k=1 |f(tk)−f(tk−1)| < +∞，其中sup是 对任意一种[a, b]的分割：a = t0 < · · · < tN = b来取，一般记作f ∈ BV[a, b]. 我们容易知道：单调函 数、导数有界的函数以顶是有界变差函数. 不仅如此，我们还有如下定理. 定理2.3.3 (Jordan分解定理)f ∈ BV[a, b]当且仅当f = g − h，其中g和h均为[a, b]上的递增函数. 事实上，有界变差函数一定是几乎处处可微的，但是并不能保证导数的可积性. 称f是[a, b]上的 绝对连续函数，如果∀ε > 0，∃δ > 0，使得当X N k=1 (bk − ak) < δ时， X N k=1 |f(bk) − f(ak)| < ε，其中要 求(ak, bk)之间两两不交，一般记作f ∈ AC[a, b]. 有了绝对连续函数的概念，我们可以研究先微分再 积分的问题. 定理2.3.4 如果f是单调递增的连续函数，则f 0几乎处处存在，且f 0是非负可测函数，满足 ˆ b a f 0 (x)dx 6 f(b) − f(a). 定理2.3.5 f ∈ AC[a, b]，则f 0几乎处处存在且可积，且∀x ∈ [a, b]，满足f(x) − f(a) = ˆ x a f 0 (t)dt