初等函数的连续性 四则运算的连续性 定理1若函数f(x),g(x)在点x处连续 则f(x)±g(x),f(x)·g(x), f(r) (g(x0)≠0) 在点x处也连续 例如,sinx,c0sx在(-∞,4∞)内连续, 故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续
初等函数的连续性 一、四则运算的连续性 定理1 . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) , 0 0 0 在 点 处也连续 则 若函数 在 点 处连续 x g x g x f x f x g x f x g x f x g x x 例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续
二、反函数与复合函数的连续性 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数 例如,y=sinx在-2,l单调增加且连续, 故y= arcsinx在-1,1上也是单调增加且连续 同理p= arccos在-1,1上单调减少且连续 y= arctan,y= arccot x在-∞,+l上单调且连续 反三角函数在其定义域内皆连续
二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续 y = x − 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续
定理3若limq(x)=u,函数f()在点连续, x→. 则有 lim flo(x)=f(a)=/mox) 证∵∫(n)在点u=a连续, VE>0,彐m>0,使当u-a<m时, 恒有f(n)-f(a)<c成立 又imq(x)=a 对于n>0,彐δ>0,使当0<x-xn<δ时
定理3 lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) , 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x = = = → → → 则 有 若 函 数 在 点 连 续 证 f (u)在点u = a连续, ( ) ( ) . 0, 0, , 恒有 成立 使当 时 − − f u f a u a lim ( ) , 0 x a x x = → 又 0, 0, 0 , 对于 使当 x − x0 时
恒有g(x)-a=u-a<m成立 将上两步合起来 Y>0,38>0,使当0<x-x<δ时, f(u)-f(a)=/(x)-f(a)<E成立 im∫[φ(x)=∫(a)=[imqp(x) x→>x0 x→>x0 意义1在定理的条件下,极限符号可以与函数符 号互换,即极限号可以穿过外层函数符号直 接取在内层, 2变量代换u=q(x)的理论依据
恒有(x) − a = u − a 成立. 将上两步合起来: 0, 0, 0 , 使当 x − x0 时 f (u) − f (a) = f[(x)]− f (a) 成立. lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x = → [lim ( )]. 0 x x x → = 意义 1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符 号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直 接取在内层， 2.变量代换(u = (x))的理论依据
注 1定理的条件:内层函数有极限,外层函数 在极限值点处连续 2将x→>x换成x→∞可得类似的定理 例1求mm In(1+x) x→>0 解原式= limIn(1+x) In(lim(1+xl=ne=1 →0
注 1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续 2.将x → x0换成x → 可得类似的定理 例1 . ln(1 ) lim 0 x x x + 求 → 解 x x x 1 0 = limln(1+ ) 原式 → ln[lim(1 ) ] 1 0 x x = + x → = lne = 1