二、变元的指派和项解释 定理191:设U为P(Y)的一个解释域,q为 X→U的映射,则q可唯一扩张为I→U的 同态映射φ,使得φ(c;)=c;o这里c为U中 的元素 φ为I→U的同态映射,对任意的f∈T和 t∈I,有 φ(fn(t1,…,tn)=fn(φ(t1),…,g(t1)), 这里f为U中第个m元运算。 定义199X→U的映射q称为个体变元的 指派,IU的同态映射φ称为项解释
二、变元的指派和项解释 定理19.1:设U为P(Y)的一个解释域，0为 X→U的映射，则0可唯一扩张为I→U的 同态映射，使得(ci )=c'i。这里c'i为U中 的元素 为I→U的同态映射，对任意的fn iTn和 t1 ,,tnI，有 (fn i (t1 ,,tn ))= f'n i ((t1 ),,(tn )), 这里f'n i为U中第i个n元运算。 定义19.9:X→U的映射0称为个体变元的 指派，I→U的同态映射称为项解释
例:P(Y)中的个体常元集C=,函数词集合为 {f1,2,f2},谓词集合R={R2},P(Y)的解释域定义为: n,…};q2(f1)=f1,使得 1(n)=n+1 (2)=f2;使得'2(i)=计+j,这里∈U;φ2(2)= 使得f2(i)=×j,i∈U;q3R2)=R2,使得R'2表示 “相等”关系。 pR2(2(x1,x2),f2(x3,f1(x4) 变元指派为φo:X→U,使得φo(x1)=5,q0(x2)=6 q(x3)=70(x4)=8,则p解释为“5+6-7×(8+1)” 是假命题。 把变元指派修改为φ:X→U,使得 q'0(x1)=6,90(x2)=8,0(x3)=7,qpo(x4=1 则p就解释为“6+8=7×(1+1)” 是真命题
例 ： P(Y) 中 的 个 体 常 元 集 C=， 函 数 词 集 合 为 {f1 1 ,f2 1 ,f2 2}，谓词集合R={R2 1}，P(Y)的解释域定义为： U={0,1,2,…,n,…}；2 (f1 1 )=f'1 1 ， 使 得 f'1 1 (n)=n+1； 2 (f2 1 )=f'2 1；使得f'2 1 (i,j)=i+j，这里i,jU；2 (f2 2 )=f'2 2 ， 使得f'2 2 (i,j)=i×j，i,jU; 3 (R2 1 )=R'2 1 ，使得R'2 1表示 “相等”关系。 p=R2 1 (f2 1 (x1 ,x2 ),f2 2 (x3 ,f1 1 (x4 )))， 变元指派为 0 : X→U， 使 得 0 ( x1 )=5, 0 (x2 )=6, 0 (x3 )=7,0 (x4 )=8，则p解释为“5+6=7×(8+1)” ， 是假命题。 把变元指派修改为‘ 0 :X→U,使得 ' 0 (x1 )=6, ' 0 (x2 )=8,' 0 (x3 )=7,' 0 (x4 )=1， 则p就解释为“6+8=7×(1+1)”， 是真命题