秦 为了保持对称性，在选主元时必须对行列进行同样的置换，即选取置换矩阵P, 使得 PAPT LDLT. (2.4) 通常称(2.4④)为对称矩阵的LDLT分解. 不幸的是，这样的置换矩阵可能不一定存在，即分解(2.④)不一定存在. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 11/42
为了保持对称性, 在选主元时必须对行列进行同样的置换, 即选取置换矩阵 P, 使得 P AP⊺ = LDL⊺ . (2.4) 通常称 (2.4) 为对称矩阵的 LDLT 分解. 不幸的是, 这样的置换矩阵可能不一定存在, 即分解 (2.4) 不一定存在. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 11/42
秦 例设对称矩阵 011 A= 101 110 由于A的对角线元素都是O,对任意置换矩阵P,矩阵PAPT的对角线元素仍 然都是0.因此，矩阵A不存在LDLT分解。 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 12/42
例 设对称矩阵 A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 . 由于 A 的对角线元素都是 0, 对任意置换矩阵 P, 矩阵 P AP⊺ 的对角线元素仍 然都是 0. 因此, 矩阵 A 不存在 LDLT 分解. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 12/42
秦 方法一：Aasen算法 1971年，Aasen提出了下面的分解 PAPT LTLT 其中P为置换矩阵，工为单位下三角矩阵，T为对称三对角矩阵 该分解本质上与部分选主元LU分解是一样的， : 思考：该分解怎么实现？ http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 13/42
方法一：Aasen 算法 1971 年, Aasen 提出了下面的分解 P AP⊺ = LT L⊺ , 其中 P 为置换矩阵, L 为单位下三角矩阵, T 为对称三对角矩阵 . 该分解本质上与部分选主元 LU 分解是一样的, 思考：该分解怎么实现？ http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 13/42
秦 方法二：块LDLT分解 设A对称非奇异，则存在置换矩阵P使得 PAPT= E C B∈R或B∈R2x2,且非奇异 :思考：如何实现？ 单国相能面面证■面面商重细版推面后能有面能量细指推细的每前国面能商面量细面面的面国短带面制面面能量细面信销调能到■能国证■细面国度面能能推带能的布 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 14/42
方法二：块 LDLT 分解 设 A 对称非奇异, 则存在置换矩阵 P 使得 P AP⊺ = B E⊺ E C , B ∈ R 或 B ∈ R 2×2 , 且非奇异. 思考：如何实现？ http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 14/42