lim f(x)=A台lim /(x)=A且lim f(x)=A. 7一+ 4 例4.设函数fx)= x x20 -x X<0讨论x→0时，函数概限的存在性 解：由于 mf-()-0 Imf(x)=limx=0 因此，mf=0. [x-1 x50 例5.函数fx)■ 0 x■0当+0时的极限不存在 x+1x>0 这是因为，mf八x)=m(x-)=-l, 即闭+-1， lim f(x)e lim f(x). 【设计意图】这个结论后面会用得到，正反例的对比能让学生印象更深 三、函数极限的性质 定理1（函数授限的一性出如果极限m八）存在，那么这极限唯一， 注：根据前而存在极限的例子，显然极限是唯一的. 定理2（函数极限的局郁有界桂）如果代功+A(黑+》，那么存在常数 60和成使得当0<r五<6时，有|气励s 生：例如函数fx)= :,妈国-1，我钓结合动的图像
0 0 lim (x) lim (x) x x x x f A f A → → + = = 且 0 lim (x) x x f A → − = . 例 4. 设函数 0 (x) 0 x x f x x = − ，讨论 x →0 时，函数极限的存在性. 解：由于 lim ( ) lim ( ) 0 0 0 = − = → − → − f x x x x lim ( ) lim 0 0 0 = = → + → + f x x x x ， 因此， 0 lim (x) 0 x f → = . 例 5．函数 + = − = 1 0 0 0 1 0 ( ) x x x x x f x 当 x→0 时的极限不存在 这是因为 lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = − = − → − → − f x x x x lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = + = → + → + f x x x x lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x → − → + 【设计意图】这个结论后面会用得到，正反例的对比能让学生印象更深. 三、函数极限的性质 定理 1(函数极限的唯一性) 如果极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在 那么这极限唯一 注：根据前面存在极限的例子，显然极限是唯一的. 定理 2(函数极限的局部有界性) 如果 f(x)→A(x→x0) 那么存在常数 M0 和 使得当 0|x−x0| 时 有|f(x)|M 注：例如函数 2 1 (x) 1 x x f x x = ，lim ( ) 1 1 = → f x x ，我们结合 f(x)的图像
可知氏)在x1的某个去心邻域内有乳. 定理3函数极限的局部保号性)如果代→4(x→)，而且b0(或k0), 那么存在常数0，使当0<米<6时，有代d>0(成fc0). [x2x<1 注：例如函数fx)= ·m(x)=1>0,我们结合代的图像， [xx>1 可知代)在x=1的某个去心邻域内有f八0 定理4（纯通定）设在点a的某一去心领城内，有gx)≤f几x)≤h(x), 且limg(x)=limx)=A,则有lmlx)=A. 这一性质不相可以用于判别极限的存在性，面且可以用来求极限. -1x<0 例6。函数八= 0 =0当→0时的极限不存在 x+1>0 这是因为， m=红-=-l, im f(x)=lm (x+l)=1, I+ 州0” )) 例7.证明：当0<a<1时，lim a"=0. 正！设■为不超过x的最大整数。则 月≤X<H+1 agd≤a 由于x→o时有n→+o,且lima=0,1imd=0.由夹通定理知
可知 f(x)在 x=1 的某个去心邻域内有界. 定理3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)→A(x→x0) 而且A0(或A0) 那么存在常数 0 使当 0|x−x0| 时 有 f(x)0(或 f(x)0) 注：例如函数 2 1 (x) 1 x x f x x = ，lim ( ) 1 0 1 = → f x x ，我们结合 f(x)的图像， 可知 f(x)在 x=1 的某个去心邻域内有 f(x)0. 定理 4(夹逼定理) 设在点 a 的某一去心领域内，有 g(x) f(x) h(x) ， 且 lim (x) limh(x) A x a x a g → → = = ，则有 limf(x) A x a → = . 这一性质不但可以用于判别极限的存在性，而且可以用来求极限. 例 6．函数 + = − = 1 0 0 0 1 0 ( ) x x x x x f x 当 x→0 时的极限不存在 这是因为 lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = − =− → − → − f x x x x lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = + = → + → + f x x x x lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x → − → + 例 7. 证明：当 0 1 a 时， lim 0 x x a →+ = . 证：设 n 为不超过 x 的最大整数，则 n x n +1 n x n 1 a a a + 由于 x → + 时有 n → + ，且 1 lim 0 n n a + →+ = ， lim 0 n n a →+ = .由夹逼定理知
md=0. 钢象求烟品 【议计意图】学生会发现根难用夹通定理求出极限，设置难度，引出极限的四 则运算法则， ★计算能力模块 一、定理5（板限的四则运算法则） 知果1inf(d=A1ing(=成那么 (1)1im[f(±d】=1imr(dhim&(d=A±B: (2)11mf(0(0=1imf(0·1i国g(0=4B: 需品需 推论1如果1inf(存在，面c为常数.则 lin [c f (]uclin f (x). 推论2如果1imf()存在，而n是正整数，测 lin [f (]'=lin f ()]' 定理6（复合函数的授限运算法0设函数=(】是由函数=八d 与函数=（复合面成。爪g(]在点。的某去心忽域内有定义，若 回小属·国u-A,且在名的某去心忽城内g(n则 m几ghm=A, 例9.求m2r-) 解：1m(2x-1)=im2x-m1=2mx-1=21-1=1. - 讨论：若代=民+ax-++a,+风，则m代=
lim 0 x x a →+ = . 例 8 求 5 3 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 【设计意图】学生会发现很难用夹逼定理求出极限，设置难度，引出极限的四 则运算法则. ★ 计算能力模块 一、定理 5(极限的四则运算法则) 如果 lim f (x)=A lim g (x)=B 那么 (1) lim [f (x)g(x)] = lim f (x) lim g (x) =A B (2) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g (x) =AB (3) B A g x f x g x f x = = lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim (B0) 推论 1 如果 lim f (x)存在 而 c 为常数 则 lim [c f (x)]=c lim f (x) 推论 2 如果 lim f (x)存在 而 n 是正整数 则 lim [f (x)]n =[lim f (x)]n 定理 6 (复合函数的极限运算法则) 设函数 y=f[g(x)]是由函数 y=f(u) 与函数 u=g(x)复合 而成 f[g(x)]在点 x0 的某 去心邻域 内有定义 若 0 lim ( ) 0 g x u x x = → f u A u u = → lim ( ) 0 且在 x0 的某去心邻域内 g(x)u 0 则 f g x f u A x x u u = = → → lim [ ( )] lim ( ) 0 0 例 9 求 lim (2 1) 1 − → x x 解 lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − = − = → → → → x x x x x x x 讨论 若 n n P(x)=a0 x n +a1 x n−1+ +a −1 x+a 则 lim ( ) ? 0 = → P x x x
提示：m代na,+ma,*+回a+回 =do lim (x)+a lim (x*-)+...+a.-1 lim x+lim a. =属(m+4(m++)=4无+4属+，+-P风》， 若代x-r+4++a,则回)- 2-1 解例及求盟5中 xi-1 m(3-0 解：m- 图-5+3m-5r+到 +2 “ imx-lml Gmx炉-1 2 +2+2 讨论：有理分式函数的极限m。? +4 提示 当C%,)*0时，m. +40)Q) 提问学生：如果分母不变，但分子在x产口时趋于无穷，结果是什么？如 果分子不变，但分母在X十口时趋于无穷，结果是什么？ 【设计意图】情况发生了变化，不旋再用例才的方法，引入需注意的点 应用极限运算法测时应注意：参加运算的函数是有限的，并且它们的极限 都存在，求商的极限时要求分母的极限不逢为零，当条件不满足时，不能应用 这感法测求极限。 那么如果分母不变，但分子在x→2时趋于无穷，结果则是函数趋于无穷： 如果分子不变，但分母在X+2时趋于无穷，结果则是函数趋于零，即极限为 罗，这两种情况都不陵用法则求，只能从直观上理解 例10、求归器 【设计意图】引出一型来定式极限的求法
提示 n x x n x x n x x n x x x x P x a x a x a x a 0 0 0 0 0 lim ( ) lim ( 0 ) lim ( 1 1) lim ( 1 ) lim → − → − → → → = + + + + n x x x x n n x x n x x a x a x a x a 0 0 0 0 0 lim ( ) 1 lim ( 1) 1 lim lim → → − − → → = + + + + (lim ) (lim ) ) 1 0 1 0 0 n n x x n x x =a x +a x − + +a → → =a0x0 n +a1x0 n−1 + +an=P(x0) 若 n P(x)=a0 x n +a1 x n−1+ +a 则 lim ( ) ( )0 0 P x P x x x = → 解例 8 求 5 3 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 解 lim( 5 3) lim( 1) 5 3 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 − + − = − + − → → → x x x x x x x x x lim 5lim lim 3 lim lim1 2 2 2 2 2 3 2 → → → → → − + − = x x x x x x x x (lim ) 5 2 3 (lim ) 1 2 2 3 2 − + − = → → x x x x 3 7 2 10 3 2 1 2 3 =− − + − = 讨论 有理分式函数的极限 ? ( ) ( ) lim 0 = → Q x P x x x 提示 当 Q(x0 ) 0 时 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 Q x P x Q x P x x x = → 提问学生：如果分母不变，但分子在 x a → 时趋于无穷，结果是什么？如 果分子不变，但分母在 x a → 时趋于无穷，结果是什么？ 【设计意图】情况发生了变化，不能再用刚才的方法，引入需注意的点. 应用极限运算法则时应注意：参加运算的函数是有限的，并且它们的极限 都存在；求商的极限时要求分母的极限不能为零；当条件不满足时，不能应用 这些法则求极限。 那么如果分母不变，但分子在 x →2 时趋于无穷，结果则是函数趋于无穷； 如果分子不变，但分母在 x →2 时趋于无穷，结果则是函数趋于零，即极限为 零，这两种情况都不能用法则求，只能从直观上理解. 例 10. 求 9 3 lim 2 3 − − → x x x 【设计意图】引出 0 0 型未定式极限的求法
解例10.求m3, r-9 m11 解高是丹市片 -3 x2+2x 例11.求im ,3x2+x-10 解： lim x2+2x-=m +2=m、-2 3x2+x-10(3x-5x+2)3球-51i 例12.求lim +-1 解：lim -1=lim (+-1++ x(x+1+) lim- 例13.求lm 3r3+4x3+2 1+7x+52-3 【设计意图】引出巴型来定式极膜的求法 0 解例13.求m3r+4r+2 +w7x+52-3 解： 先用去除分子及分得，然后取极限 3+4+2 im 3r3+4r2+2 ■m 3 7x3+5c3-37+5 3x2-2x-1 例14.求血二导5 解：先用去分子及分母，然后取极限
解例 10. 求 9 3 lim 2 3 − − → x x x 解 3 1 lim ( 3)( 3) 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 + = − + − = − − → → x x → x x x x x x x 6 1 lim ( 3) lim 1 3 3 = + = → → x x x 例 11. 求 3 10 2 lim 2 2 2 + − + →− x x x x x . 解： 11 2 3 5 lim (3 5)( 2) ( 2) lim 3 10 2 lim 2 2 2 2 2 = − = − + + = + − + →− →− →− x x x x x x x x x x x x x . 例 12. 求 0 1 1 lim x x → x + − . 解： 0 0 1 1 ( 1 1)( 1 1) lim lim ( 1 1) x x x x x → → x x x + − + − + + = + + 0 0 1 1 lim lim x x ( 1 1) 1 1 2 x → → x x x = = = + + + + . 例 13. 求 7 5 3 3 4 2 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x 【设计意图】引出 型未定式极限的求法. 解例 13. 求 7 5 3 3 4 2 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x 解 先用 x 3 去除分子及分母 然后取极限 7 3 5 3 7 4 2 3 lim 7 5 3 3 4 2 lim 3 3 3 2 3 2 = + − + + = + − + + → → x x x x x x x x x x 例 14. 求 2 5 3 2 1 lim 3 2 2 − + − − → x x x x x 解 先用 x 3 去除分子及分母 然后取极限