例3.求极限im州 解：因为 0<=-na-l<1 又m。=0,所以由夹遥准则。有1n星 1 =0 导用 包括上述的重要极限在内，列出一些常用的数列的极限： -7-00.m0-0(4<1).mg-0(aeR) B+8分 m6-1(a0.m所-l,mg=0 【设计意图】为后面的课酸好铺经. ★课堂旅习 ★教学小结 本次课重点： 理解数列极限的通俗定文，数列极限的性质。 本次课难点： 理解数列的收敛准则。 ★教学后记
1 lim 1 1 n n→ n + = . 例 3. 求极限 ! lim n n n → n . 解：因为 ! (n 1) 1 1 0 n n n n n n n n − = 又 1 lim 0 n→ n = ，所以由夹逼准则，有 ! lim 0 n n n → n = . 包括上述的重要极限在内，列出一些常用的数列的极限： 1 lim 0 k n→ n = （k>0）， lim 0 n n a → = （ a 1 ）， lim 0 ! n n a → n = （ a R ） lim 1 n n a → = （a>0）， lim 1 n n n → = ， lim 0 ! n n a → n = 【设计意图】为后面的课做好铺垫. ★ 课堂练习 ★ 教学小结 本次课重点： 理解数列极限的通俗定义、数列极限的性质。 本次课难点: 理解数列的收敛准则。 ★ 教学后记
★作业布置 第二次课(2课时) 教学课时分配： 1.基础颅块：函数的极限(1课时)： 2计算能力模块：求极限(1课时). 教学具体内容： ★旧课复习 复习目的：帮助学生们对上节课内容加深印象 复习方式：提月法
★ 作业布置 第二次课（2 课时） 教学课时分配: 1.基础模块：函数的极限（1 课时）； 2.计算能力模块：求极限（1 课时）。 教学具体内容： ★ 旧课复习 复习目的:帮助学生们对上节课内容加深印象 复习方式：提问法
复习内容：数列的极限 ★新课教授 ★基础棋块 二、函数的极限 1,函数极限的定文 由于数列是特殊的函数，所以可将数列极限的内容推广到一元函数 两者的不同之处在干自变量取值的方式不同，前者是具取正整数且无限增 大，后者是在区间上取着所有的点 函数极限的一般概之：定义在区间上的两数∫(x),如果当自变量x在区间上 连续地变化时，函数∫(x)无限接近某一常数A,则称当自变量x在区间上违 续地变化时，f(x)以A为极限。 【设计意图】让学生理解数列极限和函数极限之间的联系，从第一次课靓 自然地过渡到第二次课. 根据自变量取值方式的不同，函数极限主要讨论两类间题：一是自变 量x趋于无穷大时函数的极限，二是白变量x趋于有限值时函数的授限， 1.1白变量趋于无穷大时函数的极限 自变量x趋于无穷大，包括三种情况： x取正值且其值无限增大：→+0， x取负值且绝对值无限增大→ x既可取正值也可取负值且绝对值|x无限增大：现 ()x→+0时，函数极限的定义 遵俗定义：设y=fx)是区间[a,+四)上的函数。A是一常数，如果当自变量 x→+o时，函数f（x)无限接近A,则称当白变量x→0时，八以A为 极限.记作 m国)=A或代d+M(当x→+o)
复习内容：数列的极限 ★ 新课教授 ★ 基础模块 二、函数的极限 1.函数极限的定义 由于数列是特殊的函数，所以可将数列极限的内容推广到一元函数. 两者的不同之处在于自变量取值的方式不同，前者是只取正整数且无限增 大，后者是在区间上取遍所有的点. 函数极限的一般概念：定义在区间上的函数 f x( ) ，如果当自变量 x 在区间上 连续地变化时，函数 f x( ) 无限接近某一常数 A，则称当自变量 x 在区间上连 续地变化时 f x( ) 以 A 为极限 【设计意图】让学生理解数列极限和函数极限之间的联系，从第一次课很 自然地过渡到第二次课. 根据自变量取值方式的不同，函数极限主要讨论两类问题：一是自变 量 x 趋于无穷大时函数的极限，二是自变量 x 趋于有限值时函数的极限. 1.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量 x 趋于无穷大，包括三种情况： x 取正值且其值无限增大 x→+， x 取负值且绝对值|x|无限增大 x→− x 既可取正值也可取负值且绝对值|x|无限增大 x→. ⑴ x → + 时，函数极限的定义 通俗定义：设 y f = (x) 是区间 a,+) 上的函数，A 是一常数.如果当自变量 x → + 时，函数 f x( ) 无限接近 A，则称当自变量 x → + 时，f(x)以 A 为 极限 记作 lim (x) x f A →+ = 或 f(x)→A(当 x → + )
例如，m上-0ime-0 大 +金 (☒X→0时，函数极限的定义 通俗定义：设y=f(x)是区间（一0，@可上的函数。A是一常数，知果当自变量 x→0时，函量f(x)无限接近A,则称当白变量x0时，八以A为 极限，记作 limf(x)=A或fd→◆（当x→-o), 1 例如，1im二=0ime'=0 但是当X→-四时，趋于无穷，极限不存在. (窗x0时，函数极限的定义 通俗定义：设y=fx)是区间(-功，d小Ub∞)(a之0，b>0)上的函数。A 是一常数，如果当自变量x→0时。函数f(x无限按近A,则称当白变量 x→0时，八)以A为极限.记作 limf(x)=A暖八0+4当x→o). 实际上，X→心时函数的极限可理解为是将X→十心和X→力时函数的极 限结合在一起 例如，lim二=0lime'=0 但是对于e,当x→-0时，e趋于无穷，极限不存在，而lim=0, 对于，当x→o时，心趋于无穷，极限不存在，而，m心=0 所以当X→四时，e'和极限都不存在 根帮上述分析，不难得出：imf)=A一imfx)=A且imf(x)=A
例如， 1 lim 0 x→+ x = ， lim 0 x x e − →+ = . ⑵ x → − 时，函数极限的定义 通俗定义：设 y f = (x) 是区间 (−,a 上的函数，A 是一常数.如果当自变量 x → − 时，函数 f x( ) 无限接近 A，则称当自变量 x → − 时，f(x)以 A 为 极限 记作 lim (x) x f A →− = 或 f(x)→A(当 x → − ) 例如， 1 lim 0 x→− x = ， lim 0 x x e →− = . 但是当 x → − 时， x e − 趋于无穷，极限不存在. ⑶ x → 时，函数极限的定义 通俗定义：设 y f = (x) 是区间 (− + , , a b ) （ a b 0, 0 ）上的函数，A 是一常数.如果当自变量 x → 时，函数 f x( ) 无限接近 A，则称当自变量 x → 时，f(x)以 A 为极限 记作 lim (x) x f A → = 或 f(x)→A(当 x → ) 实际上， x → 时函数的极限可理解为是将 x → + 和 x → − 时函数的极 限结合在一起. 例如， 1 lim 0 x→ x = ， lim 0 x x e →− = . 但是对于 x e − ，当 x → − 时， x e − 趋于无穷，极限不存在，而 lim 0 x x e − →+ = . 对于 x e ，当 x → + 时， x e 趋于无穷，极限不存在，而 lim 0 x x e →− = . 所以当 x → 时， x e − 和 x e 极限都不存在. 根据上述分析，不难得出： lim (x) lim (x) x x f A f A → →+ = = 且 lim (x) x f A →− =
【设计意图】这个结论后面会用得到，正反例的对比能让学生印象更深 1.2白变量热于有限值时函数的极限 1)通俗定义： 设函数y=(x)在点a的某去心领城内有定义，A是常数，知果当x无限 接近于时，函数f(x)的值无限接近于常数A则称当→。时，(x)以A 为极限.记作 mù4或f)→4（当1. 前面白变量x趋于无穷大封函数的极限就白变量x的变化趋势分为x→+@时 函数的极限和x)一©时函数的极限，从坐标系看就是自变量x向右和向左违 续、无限地变化而现在的自变量x同样有两种变化趋势：向右和向左.不同之 处在于：趋干无穷大时，x是发散的：趋于有限值时，x是收敛、集中的， 从坐标系看前者是x向左右两边扩张，后者是x从左右两边向4点靠近， 【设计意图】通过解释这两者的联系，自燃过渡到左、右极限，让学生容易接 受和理解 份单侧极限： 自变量x的变化趋势，包括两种情况： x从五的左侧（即小于）无限接近卷：→ x从五的右侧（即大于）无限接近局：+ 左极限的通俗定义：若当→时，八功无限接近于某常数A则常数A叫做函 数风动当x→时的左极限，记为mfx)-A或风x,）4. 右极限的通俗定义：若当→%时，》无限接近于某常数A则常数A叫做函 数当x◆时的右极限，记为mx=A或f具x). 左极限与右极限统称为函数的单侧极限，它与函数极限的美系如下：
【设计意图】这个结论后面会用得到，正反例的对比能让学生印象更深. 1.2 自变量趋于有限值时函数的极限 ⑴通俗定义 设函数 y f = (x) 在点 a 的某去心领域内有定义，A 是常数.如果当 x 无限 接近于 x0 时 函数 f x( ) 的值无限接近于常数 A 则称当 x→ 0 x 时 f x( ) 以 A 为极限 记作 0 lim x→x f(x) A 或 f x( ) →A(当 x→ 0 x ) 前面自变量 x 趋于无穷大时函数的极限就自变量 x 的变化趋势分为 x → + 时 函数的极限和 x →− 时函数的极限，从坐标系看就是自变量 x 向右和向左连 续、无限地变化.而现在的自变量 x 同样有两种变化趋势：向右和向左.不同之 处在于：趋于无穷大时，x 是发散的；趋于有限值 a 时，x 是收敛、集中的， 从坐标系看前者是 x 向左右两边扩张，后者是 x 从左右两边向 a 点靠近. 【设计意图】通过解释这两者的联系，自然过渡到左、右极限，让学生容易接 受和理解. ⑵单侧极限 自变量 x 的变化趋势，包括两种情况： x 从 x0 的左侧(即小于 x0)无限接近 x0 x→x0 − x 从 x0 的右侧(即大于 x0)无限接近 x0 x→x0 + 左极限的通俗定义：若当 x→x0 − 时 f(x)无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函 数 f(x)当 x→x0 时的左极限 记为 f x A x x = → − lim ( ) 0 或 f( 0 x −)→A . 右极限的通俗定义：若当 x→x0 + 时 f(x)无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函 数 f(x)当 x→x0 时的右极限 记为 f x A x x = → + lim ( ) 0 或 f( 0 x +)→A 左极限与右极限统称为函数的单侧极限，它与函数极限的关系如下：