复旦大学：《离散数学》课程教学讲义（集合论）集合论习题解析——经典习题与考研习题

(4)(B)e4O= 今(14-B)-(4(C(4((4B)= (1Bc(4O并且(4O=(B 今(4B=(4C

• （4） (A-B)(A-C)=  ((A-B)-(A-C))  ((A-C)-(A-B)) =   (A-B)(A-C) 并且 (A-C)(A-B)  (A-B)=(A-C)

1.3幂集 7设A,B是任意2个集合,证明: (1)AB=P≌P(B (2)P(4cPB)→A∈B (3)P(4)=PB)<=B

1.3 幂集 • 7 设A, B是任意2个集合，证明： • （1） ABP(A)P(B) • （2） P(A)P(B)  A B • （3） P(A)=P(B) A=B

/利用基本法证明集合的包含关系* °证明: (1)对任意的x∈P(4,有xc4又因为cB,所 以xCB,即x∈PB);所以P(A)≌P(B)。 (2)/*证明方法同);* 对任意的x∈1,则x}∈P4,又因为P4≌P(B, 所以{x}∈PB),即x∈B;所以AcB。 (3)由(1)和(②的证明导出

• /*利用基本法证明集合的包含关系*/ • 证明： • (1)对任意的xP(A), 有xA, 又因为AB，所 以xB, 即xP(B) ；所以P(A)P(B) 。 • (2)/*证明方法同(1)；*/ 对任意的xA, 则{x}P(A)，又因为P(A)P(B)， 所以{x} P(B)，即xB；所以A B。 • (3)由(1)和(2)的证明导出

二、二元关系 1设R是集合A上的关系 (1)R是自反的,则R°R是自反的; (2)R是对称的,则R°R是对称的 (3)R是反自反和传递的,则R是反对称的;

二、二元关系 • 1 设 R是集合 A上的关系 • （ 1 ） R是自反的，则 R  R是自反的； • （ 2 ） R是对称的，则 R  R是对称的； • （ 3 ） R是反自反和传递的，则 R是反对称的；

/米证明思想:根据定义给出的性质证的 证明: (1)证明思想与(2)和(3)相同 (2)设(a,b)∈R°R,则存在c,(a,c)∈R,( b)∈R;因为R是对称的,所以(,c)∈R,(c a)∈R;所以(b,a∈R°R。则RR是对称的 (3)假设(a,b)∈R,(,a)∈R。因为R是传递 的,所以(a,a)∈R,(b,b)∈R;因为R是反自 反的,所以导致矛盾

• /*证明思想：根据定义给出的性质证明*/ • 证明： • （1）证明思想与（2）和（3）相同 • （2）设(a, b)RR, 则存在c, (a, c)R, (c, b)R; 因为R是对称的，所以(b, c)R, (c, a)R; 所以(b, a)RR。则RR是对称的。 • （3）假设(a, b)R, (b, a)R。因为R是传递 的，所以(a, a)R，(b, b)R；因为R是反自 反的，所以导致矛盾