第二十二讲 上次课: 波导:场方程-003 k2 E0:(x,y) =0,只需计算率纵向场量 B0:(x,y) Eox=k(cko, Bo: +k, Eo: 2(cB1-k,E2) 横向场量均可以由纵向场量导出 (koa, Eo: -ck a, Bo: B (Koa, Eo: +ck a, Bo 模式:TE波(E2=0),TM波(B=2=0) 波导壁满足PEC边界条件:n×E=0,n·B=0 §92矩形波导 矩形波导是指横截面为矩形的波导,结构如图9.1所示。设波导管壁为理想导体, 分别考虑TE和TM两种极化方式的波的传输行为。 图9.1 (1)TE波 由上节的讨论可知,首先要求出轴向分量B。在现在的情况下方程为: (92.1)
1 第 二 十 二 讲 上次课： z 波导：场方程 - 2 2 2 0 2 2 0 (, ) 0 (, ) z c z E xy k x y B xy ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ++ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ， 只需计算率纵向场量， 横向场量均可以由纵向场量导出 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 00 0 2 0 00 0 2 0 00 0 2 0 00 0 2 x y z gx z c y x z gy z c x y z gx z c y x z gy z c i E ck B k E k i E ck B k E k i B k E ck B ck i B k E ck B ck ⎧ = ∂ +∂ ⎪ ⎪ ⎪ =− ∂ − ∂ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =− ∂ − ∂ ⎪ ⎪ ⎪ = ∂ +∂ ⎪ ⎩ z 模式： TE 波（ 0 0 E z = ），TM 波（ 0 0 B z = ） z 波导壁满足 PEC 边界条件：n E ,n B × = ⋅= 0 0 r r r r § 9.2 矩 形 波 导 矩形波导是指横截面为矩形的波导，结构如图 9.1 所示。设波导管壁为理想导体， 分别考虑 TE 和 TM 两种极化方式的波的传输行为。 （1） TE 波 由上节的讨论可知，首先要求出轴向分量 B0z 。在现在的情况下方程为 ： 2 2 2 2 2 0 0 c z k B x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + + = ⎝ ⎠ ∂ ∂ （9.2.1）
波场满足的条件为理想导体边界条件(9.1.1),亦即 Bor Bo Eo (92.2) yly=0, b 根据(9.18),在TE波的条件下有 Eor =i cka, Bo:, Eoy ke ckoa, Bo2, Bo k2 kO,B2,By=方k0,B02(9.1.8”) 因此(922)式可转化成对B=的如下边界条件 B0 (92.3) 根据分离变量法,(921)的通解为B2=B( sink, x, cork, x)(smky, cock x), 其中k2+k2=k2。再根据边条(92.3),不难证明,满足上述方程和边界条件的 解为: M7 Bo:=Bo cos X cos (9.24) n 式中m、n为正整数或零。(924)式说明(921)式中不是所有的k2都可以给 出符合边界条件的解,只有某些特定的值才被允许。进一步考虑k2的定义可知 这说明波导管内电磁波频率给定后,波矢k必须取特定值。频率与波矢之间的 关系称为色散关系,为 O k (92.5) 其中 (926) 当ω<O时,k为纯虚数,波导类似一个等离子体,电磁波不能够传播,这种模 式称为衰逝波, Evanescent mode:当o>O时,k为实数,波导类似一个常规电 介质,电磁波可以传播,称为传播模式( Propagating Mode)。给出了电磁波 能够传播的最低频率,因此称为截止频率(Cut- Off Frequency)。m、n取不
2 波场满足的条件为理想导体边界条件（9.1.1），亦即 0 000 0 0 0 0 0 x yxy x ,a y ,b y ,b x ,a B BEE = = = = = === （9.2.2） 根据（9.1.8），在 TE 波的条件下有 0 00 0 00 0 0 0 0 2 2 22 , , , x y z y x z x gx z y gy z c c cc i i ii E ck B E ck B B k B B k B k k kk = ∂ =− ∂ = ∂ = ∂ （9.1.8’） 因此（9.2.2）式可转化成对 B0z 的如下边界条件： 0 0 0 0 0, 0 z z x y x a y b B B x y = = = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ （9.2.3） 根据分离变量法，（9.2.1）的通解为 B0 0 z xx y y = ⋅ B k x, k x k y, k x (sin cos sin cos ) ( ) ， 其中 22 2 x y c kk k + = 。再根据边条（9.2.3），不难证明，满足上述方程和边界条件的 解为： 0 0 2 2 2 2 2 2 cos cos , , z c m n B Bxy a b m n k a b π π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （9.2.4） 式中m 、n 为正整数或零。（9.2.4）式说明（9.2.1）式中不是所有的 2 c k 都可以给 出符合边界条件的解，只有某些特定的值才被允许。进一步考虑 2 c k 的定义可知， 这说明波导管内电磁波频率给定后，波矢 g k 必须取特定值。频率与波矢之间的 关系称为色散关系，为 2 2 2 2 0 1 1 c c g c ck k kk c c ω ω ω ω ω ⎛ ⎞ ⎛⎞ = −= − = − ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ (9.2.5) 其中 c c ω = ck （9.2.6） 当ω <ωc 时， g k 为纯虚数，波导类似一个等离子体，电磁波不能够传播，这种模 式称为衰逝波，Evanescent mode；当ω >ωc 时， g k 为实数，波导类似一个常规电 介质，电磁波可以传播，称为传播模式（Propagating Mode）。ωc 给出了电磁波 能够传播的最低频率，因此称为截止频率（Cut-Off Frequency）。m 、n 取不
同的数值就对应了波的不同的模式。通常 人们根据ω的大小来标记模式的高低,因此 最低阶模式为H1(a<b)或是 H1。(a>b)。在两个模式的介质频率之间 波只能以一种模式存在(如图所示)。 把(924)代入(9.1.8)式得到E、B的全部分量为 ZX Bo ntli(kg=-e b mzx E B. sin cOS nyla(kg=-ot E.=0 TE波 (9.27 B Bo sin Bo SIn B= Bo nty loi(kg 作为一个例子,考察最简单的也是最常用的波型H波的场分布。由(927)式得 erick Sin/ rx i(k=-on k B sin Arik (9.28) B=Bcos 电场只有y方向分量,则在 y=0,b两个边界自动满足边条 为了使得在x=0,a出亦满足边条, 则Ey的大小沿a边正弦变化 中间强两边弱,形成了一个波长 为2a的驻波。可以象,射于高阶模式, 无非是一两个界面为点,形成有更多节点的驻波而已
3 同的数值就对应了波的不同的模式。通常 人们根据ωc 的大小来标记模式的高低，因此 最低阶模式为H0,1（a b < ）或是 H1,0（a b > ）。.在两个模式的介质频率之间， 波只能以一种模式存在（如图所示）。 把(9.2.4) 代入(9.1.8’)式得到 E r 、 B r 的 全部分量为 ( ) 0 2 0 ( ) 0 2 0 ( ) 2 0 2 0 cos sin sin cos 0 sin cos cos sin g g g ikz t x c ikz t y c z g ikz t x c g y c n mx ny ck Ei B e bk a b m mx ny ck Ei B e ak a b E TE m mx ny k Bi B e ak a b n mx ny k Bi B bk a b ω ω ω π ππ π ππ π ππ π ππ − − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 波 ( ) ( ) 0 cos cos g g ikz t ikz t z e mx ny BB e a b ω π π ω − − ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎩ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (9.2.7) 作为一个例子，考察最简单的也是最常用的波型 H10 波的场分布。由(9.2.7)式得 ( ) 0 2 0 ( ) 2 0 ( ) 0 sin sin cos g g g ikz t y c g ikz t x c ikz t z ck x Ei B e ak a k x Bi B e ak a x BB e a ω ω ω π π π π π − − − ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎨ = − ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ = ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝ ⎠ (9.2.8) 电场只有 y 方向分量，则在 y=0,b 两个边界自动满足边条； 为了使得在 x=0,a 出亦满足边条， 则 Ey 的大小沿a 边正弦变化， 中间强两边弱，形成了一个波长 为 2a 的驻波。可以想象，对于高阶模式， 无非是一两个界面为节点，形成有更多节点的驻波而已。 a b E y x y z ωc 2 k ω ω c 1 Single-mode Forbidden Allowed
对于波导中的模式,事实上我们有另一种很有启发性的看法:每一个模式都可以 展开成几个对称的平面波的线性叠加。如对TE。模式,其波场(928)完全等价 于一支波矢为k=k文+k的平面波和另一支波矢为k=一k+k的平面波的叠 加,即 )=E Eo (929) 其中 k =丌/a (92.10) 我们前面讲过在波导管中常规的平面电磁波(横波)不能传播,因为其不满足波 导管中横向约束得边条。然而将它们进行合适的线性叠加之后的波就可以满足波 导管的边界条件故可以传播,这种波当然不是常规意义下的横波。 (2)TM波 下面来研究波导中的另一个极化状态-TM波。首先要求出轴向分量E,其 方程为(9.1.9)式,对应的边界条件(92.2)式现在可写成 因此,满足上述边界的本征值问题的解为 E0==E0 X sin b (9.2.11) 把(92.11)式代入(9.18)则可得横向分量。综合起来,TM波场为 mrx Eo nn) Er nYla(kg= b zx nzy li( TM 「波 E:=E0 b (9.2.12) mix B Eo nty= B: mT ko- E cosl messin nzy(A=-ex) B
4 对于波导中的模式，事实上我们有另一种很有启发性的看法：每一个模式都可以 展开成几个对称的平面波的线性叠加。如对TE10模式，其波场（9.2.8）完全等价 于一支波矢为 x g k kx kz = +ˆ ˆ r 的平面波和另一支波矢为 x g k kx kz =− +ˆ ˆ r 的平面波的叠 加，即 ( ) (- ) 0 0 ( ) xg xg ikx k z t i kx k z t E r ,t E e E e + − +− +− ω ω = + r r r r （9.2.9） 其中 x k /a = π （9.2.10） 我们前面讲过在波导管中常规的平面电磁波（横波）不能传播，因为其不满足波 导管中横向约束得边条。然而将它们进行合适的线性叠加之后的波就可以满足波 导管的边界条件故可以传播，这种波当然不是常规意义下的横波。 （2）TM 波 下面来研究波导中的另一个极化状态 - TM 波。首先要求出轴向分量 E0z ,其 方程为(9.1.9)式，对应的边界条件(9.2.2)式现在可写成 0 0 0 0 x y 0, 0 z z xa yb E E = = = = = = 因此，满足上述边界的本征值问题的解为 0 0 2 2 2 2 2 2 sin sin , , z c m n EE x y a b m n k a b π π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (9.2.11) 把(9.2.11)式代入(9.1.8)则可得横向分量。综合起来，TM 波场为 ( ) 2 0 ( ) 2 0 ( ) 0 ( ) 0 2 0 cos sin sin cos sin sin sin cos g g g g g ikz t x c g ikz t y c ikz t z ikz t x c y m mx ny k Ei E e ak a b n mx ny k Ei E e bk a b mx ny EE e TM a b n mx ny k Bi E e b ck a b B i ω ω ω ω π ππ π ππ π π π ππ − − − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = 波 ( ) 0 2 0 cos sin 0 g ikz t c z m mx ny k E e a ck a b B π ππ −ω ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎪ ⎩ = (9.2.12)
我们作如下的讨论 (1)TM波的色散关系、截止频率都与TE波类似。甚至任何一个TM波模式也都 可以分成几支平面波的叠加,只是平面波的偏振状态与TE有所不同而已。 (2)不同的是对TM波,mn均不能为0,否则E≡0;因此对TM波基模是TM1 (用录像展示截止频率的物理意义,以及TE/TM波下的波形) §93谐振腔 低频电磁波是利用LC电路组成的振荡器激发的,当频率很高时(例如微波范 围),这种振荡回路有强烈的焦耳热损耗。因此,必须用另一种振荡器——一谐振 腔来激发高频电磁波。 我们首先研究由理想导体所围成的封闭的腔体——一谐振腔内的电磁场。显然 腔中单色场满足如下方程 V·E=0.V.B=0 (93.1) ⅴxE=ioB.ⅴxB=-2E (93.2) 在边界上,出于假定腔体是理想导体,所以有 en×E=0,En·B=0 从根本上来说,我们是在边界条件(9,33)式下求解方程(931)和(932)式的 谐振腔最简单的形状是空腔波导两端加上端面,端面与波导长度方向的轴线 垂直。对于这种谐振腔,我们可以从波导的解出发,利用波的反射定律来解得谐 振腔中的模式。由于端面的存在,波导内的场现在由两部分叠加而成:一是沿着 z方向传播的前进波;二是沿着-方向的反射波,这两列波如何线性叠加,取 决于两端面的材料(即边界条件)。若两端面同样是理想导体,则其边界条件为 e×E 0,En·B (934) 其中z=0、d是两端面的位置坐标。 「例2]求矩形波导两端加端面构成的谐振腔内的场
5 我们作如下的讨论： (1) TM 波的色散关系、截止频率都与 TE 波类似。甚至任何一个 TM 波模式也都 可以分成几支平面波的叠加，只是平面波的偏振状态与 TE 有所不同而已。 (2) 不同的是对 TM 波，m,n 均不能为 0，否则 0 0 E z ≡ ；因此对 TM 波，基模是TM11 模式。 （用录像展示截止频率的物理意义，以及 TE/TM 波下的波形） § 9.3 谐 振 腔 低频电磁波是利用 LC 电路组成的振荡器激发的，当频率很高时(例如微波范 围)，这种振荡回路有强烈的焦耳热损耗。因此，必须用另一种振荡器——谐振 腔来激发高频电磁波。 我们首先研究由理想导体所围成的封闭的腔体——谐振腔内的电磁场。显然 腔中单色场满足如下方程： ∇⋅ = ∇⋅ = E B 0, 0 r r (9.3.1) ` 2 E iB B i E , c ω ∇× = ∇× = − ω r rr r （9.3.2） 在边界上，出于假定腔体是理想导体，所以有 0, 0 n n e E eB × = ⋅= r r r r (9.3.3) 从根本上来说，我们是在边界条件(9.3.3)式下求解方程(9.3.1)和(9.3.2)式的。 谐振腔最简单的形状是空腔波导两端加上端面，端面与波导长度方向的轴线 垂直。对于这种谐振腔，我们可以从波导的解出发，利用波的反射定律来解得谐 振腔中的模式。由于端面的存在，波导内的场现在由两部分叠加而成：一是沿着 z 方向传播的前进波；二是沿着−z 方向的反射波，这两列波如何线性叠加，取 决于两端面的材料(即边界条件)。若两端面同样是理想导体，则其边界条件为 0, 0, 0, 0 n n zd zd e E eB = = × =⋅ = r r r r (9.3.4) 其中 z d = 0、 是两端面的位置坐标。 [例 2] 求矩形波导两端加端面构成的谐振腔内的场