奥彻题剖 第六章气体动理论 .基本思路 气体动理论的习题与力学习题相比,数字计算较繁,这就要求读者对常态下气体分子的有关物 理量的级比较熟悉,以便对计算结果进行检验.另外,这一章的习题涉及单位制较多,在计算时, 名量单位制必须统一,应采用国际单位制(SI 1)应用理想气体状态方程解题的步聚 (1)根据题目所给条件并考虑到便于计算,选取研究对象即某种理想气体系统 (2)确该系统所处的平衡态,确定宏观准确宏观状态参量子力学p,V,T的值并统一单位制 (3)列方程,代人已知数据,求解 2)关于压强公式与温度公式的应用 公式中涉及的各物理量,有宏观量,有微观量,宏观量描述系统整体状态,微观量描述单个分 子的运动状态.对题目所给条件,应分清哪些是宏观量,哪些是微观量,选用适当公式将二者联系 起来 3运用平衡态下气体分子速率分布律解题 关键是明确各种函数表现形式的物理意义,首先是速率分布函数f(v)的严格定义 由速率分布律得出的气体分子热运动的三种特征速率,它们的应用场合是不同的:在讨论理想 气体的速率分布时,要用到最概然速率v;在计算分子运动走过的平均路程时,要用平均速率p 例如平均自由程;在计算分子的平均平动动能时,就应该用方均根速率 542例题剖析 例1一容器内储有氧气,其压强p=101×103Pa,温度t=27°c.求: (1)单位体积内的分子数;
典型例题剖析 第六章 气体动理论 1．基本思路 气体动理论的习题与力学习题相比，数字计算较繁，这就要求读者对常态下气体分子的有关物 理量的级比较熟悉，以便对计算结果进行检验．另外，这一章的习题涉及单位制较多，在计算时， 名量单位制必须统一，应采用国际单位制(SI)． 1)应用理想气体状态方程解题的步聚 (1)根据题目所给条件并考虑到便于计算，选取研究对象即某种理想气体系统． (2)确该系统所处的平衡态，确定宏观准确宏观状态参量子力学 p，V，T 的值并统一单位制． (3)列方程，代人已知数据，求解． 2)关于压强公式与温度公式的应用 公式中涉及的各物理量，有宏观量，有微观量，宏观量描述系统整体状态，微观量描述单个分 子的运动状态．对题目所给条件，应分清哪些是宏观量，哪些是微观量，选用适当公式将二者联系 起来． 3)运用平衡态下气体分子速率分布律解题 关键是明确各种函数表现形式的物理意义，首先是速率分布函数 f (v) 的严格定义． 由速率分布律得出的气体分子热运动的三种特征速率，它们的应用场合是不同的：在讨论理想 气体的速率分布时，要用到最概然速率 p v ；在计算分子运动走过的平均路程时，要用平均速率 v ， 例如平均自由程；在计算分子的平均平动动能时，就应该用方均根速率． 5.4.2 例题剖析 例 1 一容器内储有氧气，其压强 p Pa 5 1.0110 ，温度 t 27c ．求： （1）单位体积内的分子数；
(2)氧气的密度; (3)分子间的平均距离 分析应用理想气体的状态方程 解(1)由理想气体的状态方程p=nkT,可得 P 10l×10 M-3≈24×1023M kT1.38×10-23×300 (2)p=m:n,m为一个氧分子的质量, 3.2×10 10×2.4×102kg/m3≈1.28kg/m3 (3)n个分子占据1m3体积空间,所以每个分子平均占据的立方空间,因此分子间的平均距 离=-≈347×10 例2质量为0.kg,温度为27℃的氮气,装在容积为001m3的容器中,容器以v=100ms的速 度作匀速直线运动,若容器突然停下来,定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能,则平衡后 氮气的温度和压强各增加多少? 分析容器作匀速直线运动突然停下,容器内气体分子定向运动的动能将通过碰撞转化为分子 热运动的动能,使气体温度升高.应用能量均分定理计算内能变化. 解常温下,氮气可视为刚性双原子分子,则氮气的内能 E M RT 内能增量 R·△T, △E=M2=×0.1×1002=500), 47=2△E·2×500×28×10-3 ≈67(K) 5MR 5×0.1×8.3
（2）氧气的密度； （3）分子间的平均距离． 分析 应用理想气体的状态方程． 解 （1）由理想气体的状态方程 p nkT ，可得 3 2 5 3 2 3 5 2.4 10 1.38 10 300 1.01 10 M M kT p n ． （2） mn， m 为一个氧分子的质量， 2 5 3 3 2 2 2 2.4 10 / 1.28 / 6.02 10 3.2 10 n kg m kg m NA ． （3）n 个分子占据 1m3体积空间，所以每个分子平均占据 n 1 的立方空间，因此分子间的平均距 离= m n 9 3 3.47 10 1 ． 例 2 质量为 0.1kg，温度为 27℃的氮气，装在容积为 0.01m3的容器中，容器以 v=100m/s 的速 度作匀速直线运动，若容器突然停下来，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，则平衡后 氮气的温度和压强各增加多少？ 分析 容器作匀速直线运动突然停下，容器内气体分子定向运动的动能将通过碰撞转化为分子 热运动的动能，使气体温度升高．应用能量均分定理计算内能变化． 解 常温下，氮气可视为刚性双原子分子，则氮气的内能 RT M E 2 5 ． 内能增量 R T M E 2 5 ， 0.1 100 500( ) 2 1 2 1 2 2 E Mv J ， 6.7( ) 5 0.1 8.31 2 500 28 10 5 2 3 K MR E T ．
容器内的气体作等容变化最后达到平衡态,应用理想气体状态方程 M·R 0.1×8.31 ×6.7 例3容器内某理想气体的温度T=273K,压强p=101.3Pa,密度为1,25g/m3,求: (1)气体的摩尔质量,是何种气体? (2)气体分子运动的均方根速率? (3)气体分子的平均平动动能和转动动能? (4)单位体积内气体分子的总平动动能? (5)0.3mol该气体的内能? 分析应用理想气体状态方程,求出摩尔质量,判断是何种气体;应用温度公式求√v2:应用 能量均分定理,求解平动动能、转动动能、内能. M 解(1)由p RT 得 =7=125×10×831×273024g1m) P 因此判定该气体是N2或CO 3RT 3P (2) 3×101.3 V125×10 93(m/s) (3) 273≈565×10-21() (刚性双原子分子有3个平动自由度,两个转动自由度)
容器内的气体作等容变化最后达到平衡态，应用理想气体状态方程 6.7 28 10 10 10 0.1 8.31 3 3 T V M R p ， p Pa 4 2.010 例 3 容器内某理想气体的温度 T 273K ，压强 p 101.3Pa ，密度为 3 1.25g / m ，求： (1)气体的摩尔质量，是何种气体？ (2)气体分子运动的均方根速率？ (3)气体分子的平均平动动能和转动动能？ (4)单位体积内气体分子的总平动动能？ (5) 0.3mo1 该气体的内能？ 分析 应用理想气体状态方程，求出摩尔质量，判断是何种气体；应用温度公式求 2 v ；应用 能量均分定理，求解平动动能、转动动能、内能． 解 （1）由 RT M pV ， V M 得 0.028( / 1) 101.3 1.25 10 8.31 273 3 kg mo p RT ． 因此判定该气体是 N2 或 CO ． （2） RT P v 2 3 3 493( / ) 1.25 10 3 101.3 3 2 v m s ． （3） 1.38 10 273 5.65 10 ( ) 2 3 2 3 2 3 2 1 kT J t 1.38 10 273 5.65 10 ( ) 23 21 kT J r ． （刚性双原子分子有 3 个平动自由度，两个转动自由度）
(4)E,=n8t, n= P 101.3 E 1.38×10-23×273 ≈1.52×102(J/m3) (5)EsMi RT=0.3××831×273≈1.70×103(J 例4设氢气的温度为300℃,求速率在1500ms1510ms之间的分子数△N1;速率在 2170ms-2180m/s之间的分子数△2;速率在300m-3010ms之间的分子数△N3之比△N1:△N2 3 分析速率在v1~v2之间的分子数的概率为 △N f(v)·dhv f(v)为麦克斯韦速率分布函数.本题中,因速率间隔v2与v1之差Av很小,可以近似地认为在 △p这个速率区间内分布函数的值不变,所以上式的计算可简化为 △N =f()Av=4(m-)2 T 4r( 式中,=2.02×103kg/mol,R=8.31J/mol 解由分析知,分子速率在1500m/s~1510m/s的分子数占总分子数的概率 N 2.02×10 4r( 312×e2831×715×15002×10 2丌×8.31×573.15 =308×10-3 分子速率在2170ms~2180m/s的分子数占总分子数的概率
（4） t Et n ， kT p n 1.52 10 ( / ) 5.65 10 1.38 10 23 273 101.3 2 3 2 1 J m kT P E t t ． （5） 8.31 273 1.70 10 ( ) 2 5 0.3 2 3 RT J M i E ． 例 4 设氢气的温度为 300℃，求速率在 1500m/s~1510m/s 之间的分子数 N1 ；速率在 2170m/s~2180m/s 之间的分子数 N2 ；速率在 3000m/s~3010m/s 之间的分子数 N3 之比 N1 : N2 : N3 ． 分析 速率在 1 ~ 2 v v 之间的分子数的概率为 2 1 ( ) v v f v dv N N f (v) 为麦克斯韦速率分布函数．本题中，因速率间隔 2 v 与 1 v 之差 v 很小，可以近似地认为在 v 这个速率区间内分布函数的值不变，所以上式的计算可简化为 e v v RT e v v kT m f v v N N R T v kT m v 3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 2 2 ) 2 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ， 式中， 2.02 10 / 1 3 kg mo ， R 8.31J / mo1． 解 由分析知，分子速率在 1500m/s~1510m/s 的分子数占总分子数的概率 3 2 1 1 3 2.02 10 1500 3/ 2 2 2 8.31 573.15 3 ( ) 2.02 10 4 ( ) 1500 10 2 8.31 573.15 3.08 10 N f v v N e 分子速率在 2170m/s~2180m/s 的分子数占总分子数的概率
A2=f(n2) 2.02×10-3 =4x×( 21702×10 2丌×8.31×573.15 ≈3.8×10-3 分子速率在3000ms~-3010ms的分子数占总分子数的概率 =f(v3)△v 2.02×10-3×30002 =4丌x()32xe2831x15×30×10 2丌×8.31×573.15 2.9×10 △N1:△N2:△N3=3.08:38:29 从计算结果发现,分子数分布在2170m/s-2180m/s区间的比率要比另两个区间的要大.这是为 什么呢?让我们计算一下氢气在300℃时的最概然速率便知 =1414R7 V=1414×/831×573.15 ≈217lm/s V2.02×10 分子的最概然速率分布在2170m/s-2180m/s区间内,从最概然速率的物理意义可知,在桢的速 率区间内,包含最概然速率的区间分子数比例最大 例5导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动(故称电子气)。设导体中共有N个 自由电子,温度为0K时,电子的最大速率为vp(称为费米速率);而电子在速率v~v+dh之间的 概率为 4丌A Nn2d,W≥v>0,为常数) 0, (v>vE) (1)画出分布函数图 (2)用N,vF定出常数A (3)证明电子气中电子的平均动能3 其中EF-2 分析根据题意给函数关系,可求出分布函数f(v);由归一化条件定出常数A:再由分布函数
3 2 2 2 3 2.02 10 2170 3/ 2 2 2 8.31 573.15 3 ( ) 2.02 10 4 ( ) 2170 10 2 8.31 573.15 3.8 10 N f v v N e ． 分子速率在 3000m/s~3010m/s 的分子数占总分子数的概率 3 2 3 3 3 2.02 10 3000 3/ 2 2 2 8.31 573.15 3 ( ) 2.02 10 4 ( ) 3000 10 2 8.31 573.15 2.9 10 N f v v N e ． N1 : N2 : N3 3.08 : 3.8 : 2.9 ． 从计算结果发现，分子数分布在 2170m/s~2180m/s 区间的比率要比另两个区间的要大．这是为 什么呢？让我们计算一下氢气在 300℃时的最概然速率便知． m s RT vp 2171 / 2.02 10 8.31 573.15 1.414 1.414 3 ， 分子的最概然速率分布在 2170m/s~2180m/s 区间内，从最概然速率的物理意义可知，在桢的速 率区间内，包含最概然速率的区间分子数比例最大． 例 5 导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动（故称电子气）。设导体中共有 N 个 自由电子，温度为 0K 时，电子的最大速率为 F v （称为费米速率）；而电子在速率 v v dv 之间的 概率为 4 2 ( 0, ) 0 ( ) F F A dN v dv v v A N N v v ， 为常数 ； ， （1）画出分布函数图． （2）用 N，vF定出常数 A． （3）证明电子气中电子的平均动能 F 5 3 ，其中 2 2 1 F M F ． 分析 根据题意给函数关系，可求出分布函数 f (v) ；由归一化条件定出常数 A；再由分布函数