延安大学：《大学物理》课程教学资源_复习指南（典型例题讲解）第十章 恒定电流和真空中恒定磁场

奥婴彻题剖 第十章恒定电流和真空中恒定磁场 基本思路 本章主要计算涉及恒定电流以及电流的磁场、磁场对电流的作用。在电流的磁场计算中分为两 种方法。一是用积分法或叠加法求电流的磁场,要学会由毕奥萨伐尔定律通过积分法求任意形状载 流导线的磁场,同时更应注意到利用已有的电流磁场的结论,如长直载流导线、圆形电流(包括圆 弧电流)等的磁场,通过叠加法或积分求出复杂载流导体的磁场。另一类是用安培环路定律求磁场 这类题有一定的要求,即磁场必须具有某些对称性,解此类题关键是找 到易于将B的环流展开计算的安培积分环路。在磁场对电流作用的计算 方面一类是磁场对载流导线的作用,其中又分磁场是均匀还是非均匀的, 均匀磁场对直导线作用力的计算较容易,而弯导线一般采用把两端连接 成直导线等效,非均匀磁场对载流导线作用的计算一般要用积分法。另 一类计算是求均匀磁场对载流线圈的力矩,可直接用公式求解。再一类 是磁场对运动电荷的作用力—洛仑兹力 2.例题剖析 例1求球形电极的接地地阻及跨步电压。如把地球看成是均匀导电物质,电导率G=10-2S/m, 现有一半径为a=20cm的球形电极,一半埋入大地中,电极本身电阻忽略,求电极的接地地阻。若 有雷电时,有104A的电流经过此电极流入大地,求离电极20m处的人的跨步电压。若人跨一步的 步长为08m 分析对柱形(横截面处处相等)的电阻可以用R=pS求其电阻,而对横截面不等的导电 物质如何求其电阻,这就需要借助于微积分的思想先对局部微分求其小体元对应电阻dR,然后对整 个导电物质积分求出总的电阻 解在大地内以球形电极球心为球心取一半径为r,厚度为dr的半球壳,此半球壳的电阻由公 式R=p/S可得

典型例题剖析 第十章 恒定电流和真空中恒定磁场 1．基本思路 本章主要计算涉及恒定电流以及电流的磁场、磁场对电流的作用。在电流的磁场计算中分为两 种方法。一是用积分法或叠加法求电流的磁场，要学会由毕奥-萨伐尔定律通过积分法求任意形状载 流导线的磁场，同时更应注意到利用已有的电流磁场的结论，如长直载流导线、圆形电流（包括圆 弧电流）等的磁场，通过叠加法或积分求出复杂载流导体的磁场。另一类是用安培环路定律求磁场， 这类题有一定的要求，即磁场必须具有某些对称性，解此类题关键是找 到易于将 B  的环流展开计算的安培积分环路。在磁场对电流作用的计算 方面一类是磁场对载流导线的作用，其中又分磁场是均匀还是非均匀的， 均匀磁场对直导线作用力的计算较容易，而弯导线一般采用把两端连接 成直导线等效，非均匀磁场对载流导线作用的计算一般要用积分法。另 一类计算是求均匀磁场对载流线圈的力矩，可直接用公式求解。再一类 是磁场对运动电荷的作用力——洛仑兹力。 2．例题剖析 例 1 求球形电极的接地地阻及跨步电压。如把地球看成是均匀导电物质，电导率 10 S /m 2   ， 现有一半径为 a=20cm 的球形电极，一半埋入大地中，电极本身电阻忽略，求电极的接地地阻。若 有雷电时，有 A 4 10 的电流经过此电极流入大地，求离电极 20m 处的人的跨步电压。若人跨一步的 步长为 0.8m。 分析 对柱形（横截面处处相等）的电阻可以用 R  l / S 求其电阻，而对横截面不等的导电 物质如何求其电阻，这就需要借助于微积分的思想先对局部微分求其小体元对应电阻 dR ，然后对整 个导电物质积分求出总的电阻。 解 在大地内以球形电极球心为球心取一半径为 r，厚度为 dr 的半球壳，此半球壳的电阻由公 式 R  l / S 可得 I dr O a r 图 4

dR o 2Tm 则球形电极接地地阻(即对此电极而言大地的地阻) 1 dr B 代入数据得 IR E2,R2 RQ 在距电极中心20m处,人跨一步,两脚间对应的电阻为 =△R 0.032g2, 22o 则人跨一步两脚间的电势差(跨步电压) R=10×0.032=320() 该电势差对人体是相当危险的。 例2在如图所示的电路中,已知E1=12,E2=9,E3=8V,R1=R2=R3=1 R1=R2=R3=R4=292,R5=39,求 (1)A,B两点间的电势差 (2C,D两点间的电势差 分析该题中C,D间断开,C,D支路上无电流,因此可用闭合回路的欧姆定律求其余部分的 电流,再利用一段含源电路的欧姆定律求任两点间的电势差。 解(1)C,D间断开,该支路上无电流,由A点、电源E1、B点、电源E2等组成了一闭合回 路,其电流以Ⅰ由闭合回路欧姆定律可得:(设图中方向为讨论问题设定的正方向) E1-E2 12-9 I ∑RR1+R+R2+R2+R+R1+2+2+1+2+2 0.3(A) 则-VB=R2-(-E2)+R2+R4=10.5(V)。 读者可自己从沿另一条支路求出V-VB,验证一下。 (2)沿C,A,E2,B,D方向求-1D V-VD=IR2-(-2)+IR2+R4-(E3)=25(V)

2 2 1 r dr dR    ， 则球形电极接地地阻（即对此电极而言大地的地阻） r a dr R dR a  2 1 2 1 2       ， 代入数据得 在距电极中心 20m 处，人跨一步，两脚间对应的电阻为       0.032 2 2 r  r R步 R ， 则人跨一步两脚间的电势差（跨步电压） 10 0.032 320( ) 4 U步  IR步    V 。 该电势差对人体是相当危险的。 例 2 在如图所示的电路中，已知  1  12V ， 2  9V ， 3  8V ， Ri1  Ri2  Ri3  1 ， R1  R2  R3  R4  2 ， R5  3 ，求： (1)A，B 两点间的电势差； (2)C，D 两点间的电势差。 分析 该题中 C，D 间断开，C，D 支路上无电流，因此可用闭合回路的欧姆定律求其余部分的 电流，再利用一段含源电路的欧姆定律求任两点间的电势差。 解 （1）C，D 间断开，该支路上无电流，由 A 点、电源 1  、B 点、电源 2  等组成了一闭合回 路，其电流以 I 由闭合回路欧姆定律可得：（设图中方向为讨论问题设定的正方向） 0.3( ) 1 2 2 1 2 2 12 9 1 1 2 2 4 3 1 2 A R R R R R R R I i i i i                     ， 则 ( ) 10.5( ) VA VB  IR2   2  IRi2  IR4  V 。 读者可自己从沿另一条支路求出 VA VB ，验证一下。 (2)沿 C，A， 2  ，B，D 方向求 VC VD ( ) ( ) 2.5( ) Vc VD  IR2   2  IRi2  IR4   3  V A B 1 1 ,Ri  3 3 ,Ri  2 2 ,Ri  C D R1 R3 R2 R4 图 5

例3如图6(1),由均匀导线组成的如图所示形状的电路中通有电流强度为I的电流,求环中 心处O点的磁感应强度B。 ao O RI D 图6(1) 图6(2) 图6(3) 分析这是一道典型的求由直导线和圆形电流等组成的复杂载流导线产生的磁场题目,此类题 可由毕奥-萨伐尔定律求解结果,但这样积分会非常繁琐。这类题可利用教材中已经求出的几种载流 导线(如有限长载流直导线,无限长载流直导线,圆形电流等)的磁场结论,利用磁场叠加性求出 总的磁感应强度。而应用上述结论时还要由磁场的叠加性找出题中载流导线和已知结论间的关系。 本题中先考虑通有电流为l0的一段圆弧(对应角度为6)在圆心处的磁场。如图,先把整个圆补 齐,设整个圆形导线上通过电流为l,由教材上结论可知,在圆心处的磁感应强度为B_s, 而该圆形电流的磁场是由其上每一小段电流产生的磁场的矢量,而每一小段在O点处的磁场方向均 相同(图中为垂直于纸面向里),计算时矢量和转化成标量和。由此可知,按正比关系对应于角的 圆弧段的磁感应强度B大小为 B1:B0=6:2丌, 即 B.= 4、010A1B 2丌2R4zR 方向垂直于纸面向里 本题中BD段导线产生的磁场可由有限长载流直导线磁场结论计算,但考虑到本题中A=2 也可用上述相同的思路求出此半无限长载流直导线的磁场,先把BD段左侧导线补全成无限长直导 线,而无限长直导线的磁场为Bn= 2P考虑到该直线上每一段电流元产生的磁场方向都相同(图 中为垂直于纸面向外),而左右两段如用毕奥一萨伐尔定律求数学积分,数值应相等,可得由BD段

例 3 如图 6（1），由均匀导线组成的如图所示形状的电路中通有电流强度为 I 的电流，求环中 心处 O 点的磁感应强度 B  。 分析 这是一道典型的求由直导线和圆形电流等组成的复杂载流导线产生的磁场题目，此类题 可由毕奥-萨伐尔定律求解结果，但这样积分会非常繁琐。这类题可利用教材中已经求出的几种载流 导线（如有限长载流直导线，无限长载流直导线，圆形电流等）的磁场结论，利用磁场叠加性求出 总的磁感应强度。而应用上述结论时还要由磁场的叠加性找出题中载流导线和已知结论间的关系。 本题中先考虑通有电流为 0 I 的一段圆弧(对应角度为  )在圆心处的磁场。如图，先把整个圆补 齐，设整个圆形导线上通过电流为 0 I ，由教材上结论可知，在圆心处的磁感应强度为 R I B 2 0 0 0   ， 而该圆形电流的磁场是由其上每一小段电流产生的磁场的矢量，而每一小段在 O 点处的磁场方向均 相同（图中为垂直于纸面向里），计算时矢量和转化成标量和。由此可知，按正比关系对应于  角的 圆弧段的磁感应强度 B1 大小为： B1 : B0   : 2 ， 即 R I R I B B         2 2 2 4 0 0 0 0 1  0    ， 方向垂直于纸面向里。 本题中 BD 段导线产生的磁场可由有限长载流直导线磁场结论计算，但考虑到本题中 2 1    ， 也可用上述相同的思路求出此半无限长载流直导线的磁场，先把 BD 段左侧导线补全成无限长直导 线，而无限长直导线的磁场为 R I B 2 0 0 0   ，考虑到该直线上每一段电流元产生的磁场方向都相同（图 中为垂直于纸面向外），而左右两段如用毕奥—萨伐尔定律求数学积分，数值应相等，可得由 BD 段 图 6(3) O 0 I R I0 B D O  0 I 0 I 图 6(2) F E C B O D  图 6(1)

产生的磁场为整个无限长直导线产生的磁场的一半。即 1B=14= 22 2TR 4TR 解由磁场的叠加性,全部导线产生的磁感应强度可看成由CA段、AB段、B段、BD段 导线产生的磁感应强度的矢量和,令分别为B2B2,B3B4° 由于CA段延长线经过O点,由毕奥一萨伐尔定律,l∥后,可得B1=0。设AEB段上流过 的电流为12,其电阻值为R=风S=pR/S,段流过的电流为1,其电阻值为 R3=P2/S=pR(2-q)/S,则有I=l2+l3,且l2·R2=l3R,即 12 pR/S=lpr(2T-)/S 129=13(2 由分析可知,AEB段产生的磁感应强度大小为 B, 0l29 4TR 方向垂直于纸面向外 同理,AFB段产生的磁感应强度大小为 B 方向垂直于纸面向里 B2-B3 2qpl(2x-q)1[l2-l(2x- 4R 4TR 则AEB段和AFB段在O点产生的磁感应强度两者刚好抵消。这个结论对任意的ρ角度都成立 BD段产生的磁感应强度为 B1=141=41 2 2TR 4TR 方向为垂直于纸面向外 由叠加性,总的磁感应强度为

产生的磁场为整个无限长直导线产生的磁场的一半。即 R I R I B B     2 2 4 1 2 1 0 0 0 0  0   解 由磁场的叠加性，全部导线产生的磁感应强度可看成由 CA 段、 段、 段、BD 段 导线产生的磁感应强度的矢量和，令分别为 1 2 3 4 B ,B ,B ,B     。 由于 CA 段延长线经过 O 点，由毕奥－萨伐尔定律， 0 Idl //r   ，可得 B1  0  。设 段上流过 的电流为 2 I ，其电阻值为 R2  l 1 / S  R/ S ， 段流过的电流为 3 I ，其电阻值为 R3  l 2 / S  R(2 )/ S ，则有 2 3 I  I  I ，且 2 2 3R3 I  R  I ，即 I2  R / S  I3R(2 )/ S ， (2 ) I2  I3   。 由分析可知， 段产生的磁感应强度大小为： R I B    4 0 2 2  ， 方向垂直于纸面向外。 同理， 段产生的磁感应强度大小为： R I B     4 (2 ) 0 3 3   ， 方向垂直于纸面向里。 0 4 [ (2 )] 4 (2 ) 4 0 2 0 3 0 2 3 2 3         R I I R I R I B B             。 则 段和 段在O点产生的磁感应强度两者刚好抵消。这个结论对任意的  角度都成立。 BD 段产生的磁感应强度为 R I R I B     2 2 4 1 0 0 4   ， 方向为垂直于纸面向外。 由叠加性，总的磁感应强度为 AEB AFB AFB AEB AFB AEB AEB AFBI 图 7(a)

B=B1+B2+B3+B4 大小为 B=B+B2-B+B1=B1=4 方向垂直于纸面向外。 例4在半径为R的“无限长”半圆柱形金属薄片中,在电流强度为的电流自下而上均匀地 通过。如图7(a)所示的坐标系。 分析对无限长载流直导线教材上己经用毕奥一萨伐尔定律求出其磁感应强度。本题中的电流并 不是沿某一根导线流过,而是沿一曲面流过,对此题可以利用微积分的思想先对圆柱面沿轴线方向 分成无数根无限长直导线,再对这些直导线的磁场利用磁场叠加性求积分。注意此题中积分是矢量 积分 解建立如图7(b)所示的坐标系 在半圆柱面上取一宽为d的无限长直导线,其上电流为d=-dl 则由d段直导线产生的磁场dB ,方向如图中所示 d 则半圆柱面产生的总磁感应强度为 B=ldB 图7(b) 由对称性分析,B=0,B=0。 b=B= dB.=aB cos a= dEsire 又d=Rdb,即 P B 2mk n6=[Ho. IRde/TR in e 2TR 图8 方向为x轴正方向。 例5如图8所示,半径为R的绝缘薄圆盘均匀带电,电荷的面密度为,若圆盘以O的角速度 绕过其中心且垂直一盘面的轴匀速转动,求其轴线上某点处的磁感应强度和该圆盘的磁矩。 分析圆盘转动起来,其上的每个电荷绕中心轴线作圆周运动,相当于一个圆形电流。因此可

B B1 B2 B3 B4          ， 大小为 R I B B B B B B   4 0  1  2  3  4  4  。 方向垂直于纸面向外。 例 4 在半径为 R 的“无限长”半圆柱形金属薄片中，在电流强度为 I 的电流自下而上均匀地 通过。如图 7（a）所示的坐标系。 分析 对无限长载流直导线教材上已经用毕奥－萨伐尔定律求出其磁感应强度。本题中的电流并 不是沿某一根导线流过，而是沿一曲面流过，对此题可以利用微积分的思想先对圆柱面沿轴线方向 分成无数根无限长直导线，再对这些直导线的磁场利用磁场叠加性求积分。注意此题中积分是矢量 积分。 解 建立如图 7（b）所示的坐标系。 在半圆柱面上取一宽为 dl 的无限长直导线，其上电流为 dl R I dI   。 则由 dl 段直导线产生的磁场 R dI dB   2 0  ，方向如图中所示。 则半圆柱面产生的总磁感应强度为  B  dB   ， 由对称性分析， By  0,Bz  0 。 则    B  Bx  dBx  dBcosa  dBsin ， 又 dl  Rd ，即                  0 2 0 0 0 sin 2 / sin 2 R I R IRd R R dI B ， 方向为 x 轴正方向。 例 5 如图 8 所示，半径为 R 的绝缘薄圆盘均匀带电，电荷的面密度为  ,若圆盘以  的角速度 绕过其中心且垂直一盘面的轴匀速转动，求其轴线上某点处的磁感应强度和该圆盘的磁矩。 分析 圆盘转动起来，其上的每个电荷绕中心轴线作圆周运动，相当于一个圆形电流。因此可 dB  dl  d x y 图 7(b) P  O x  r dr 图 8