奥例题部 第十一章电磁感应和电磁场 1.基本思路 本章的主要内容是电磁感应,电磁感应的计算是学习本章的一个重要的任务。法拉第电磁感应定律是 本章的核心内容,理论上讲,由法拉第电磁感应定律可解决所有的电磁感应的题目。但具体到一些题目时 用法拉第电磁感应定律计算不很简洁,故可用动生电动势和有旋电场的公式计算。因此我们把本章计算主 要分成三种情形。 1)用法拉第电磁感应定律直接求感应电动势 dt 从公式中看,由法拉第电磁感应定律求电动势关键在于求出闭合回路所围面积穿过的磁通量,因此问 题就转化成对磁通量的计算,有关通量的计算可参考静电学部分的电通量计算和本章的知识网络图 2)用动生电动势公式求解 动生电动势公式E=(xB),可求出在磁场中由导线运动产生的电动势。该公式看上去形式较 复杂。有些题积分时亦较繁琐,我们也可把此种情形分为两种情况考虑:均匀磁场和非均匀磁场。 (1)均匀磁场中的动生电动势 (i)均匀磁场中的动生电动势 均匀磁场中直导线平动的情况较简单 E=「(xB)d=(×B) 此时要注意上式中叉乘和点乘实质上把直导线的长度和速度作适当的投影。特殊情况下。当下和B。 lAB三者互相重直时E1=Bh。 ⅱ)均匀磁场中弯导线连接两端组成一闭合回路,由法拉第电磁感应定律闭合回路总的感应电动势 为零,所以直导线的动生电动势就等于弯导线产生的动生电动势。见例5。 (i)均匀磁场中直导线的转动情况
典型例题剖析 第十一章 电磁感应和电磁场 1．基本思路 本章的主要内容是电磁感应，电磁感应的计算是学习本章的一个重要的任务。法拉第电磁感应定律是 本章的核心内容，理论上讲，由法拉第电磁感应定律可解决所有的电磁感应的题目。但具体到一些题目时， 用法拉第电磁感应定律计算不很简洁，故可用动生电动势和有旋电场的公式计算。因此我们把本章计算主 要分成三种情形。 1)用法拉第电磁感应定律直接求感应电动势 dt d m i 。 从公式中看，由法拉第电磁感应定律求电动势关键在于求出闭合回路所围面积穿过的磁通量，因此问 题就转化成对磁通量的计算，有关通量的计算可参考静电学部分的电通量计算和本章的知识网络图。 2)用动生电动势公式求解 动生电动势公式 B A i v B dl ( ) ，可求出在磁场中由导线运动产生的电动势。该公式看上去形式较 复杂。有些题积分时亦较繁琐，我们也可把此种情形分为两种情况考虑：均匀磁场和非均匀磁场。 (1)均匀磁场中的动生电动势 （ⅰ）均匀磁场中的动生电动势 均匀磁场中直导线平动的情况较简单 AB B A i v B dl v B l ( ) ( ) 此时要注意上式中叉乘和点乘实质上把直导线的长度和速度作适当的投影。特殊情况下。当 v 和 B 。 AB l 三者互相重直时 Blv i 。 （ⅱ）均匀磁场中弯导线连接两端组成一闭合回路，由法拉第电磁感应定律闭合回路总的感应电动势 为零，所以直导线的动生电动势就等于弯导线产生的动生电动势。见例 5。 （ⅲ）均匀磁场中直导线的转动情况
此时由于直导线上各小段导线的速度大小不尽相同,只能利用动生电动势公式求积分来求动生电动势。 见例4 (ⅳv)均匀磁场中弯导线转动情况 弯导线转动亦可将弯导线连接两端成一直线段,直线段导线转动产生的动生电动势就等于弯导线产生 的动生电动势 ()闭合线圈在均匀磁场中转动情况 在转动中有一种情况较特殊,就是一闭合回路或线圈绕一固定轴转动,这种情况用动生电动势公式求 反而计算复杂,用法拉第电磁感应定律就很简单,见例6 (2)非均匀磁场中的动生电动势 在非均匀磁场中,由于磁场处处可能不等。因此只能用微积分方法求解。此类题中以无限长载流直导 线产生的非均匀磁场为典型题目。见例7。 3)感生电动势和感生电场(有旋电场)的计算 )生电动势的计算方法有两种,一种直接利用法拉第电磁感应定律6=E=一,此类题 方法同第一种情况,但要注意求某一段导线上的电动势要学会作辅助线。另一种方法是利用电动势定义 E=E·d,用此方法要先求出E的分布,再求积分,因此相对较难。尽量用第一种方法求。见例8 和例9 2.例题剖析 例1有一无限长螺线管,单位长度上线圈的匝数为n,在管的中心放置一绕了N圈、半径为r的圆 形小线圈,其轴线与螺线平行,设螺线管内电流变化率为d/dt,求小线圈中的感应电动势。 分析此题是一道典型的由法拉第电磁感应定律求解感应电动势的题目,题中磁场为均匀磁场,是由 无限长直螺线管产生的,这也是题目中经党常采用的给出均匀磁场的方法,需要自己由螺线管磁场公式求 出其磁场。此题解法是先写出磁感应强度,再求出小线圈中的磁通量,再求导。 解设无限长螺线管的电流强度为Ⅰ,则无限长螺线管中磁场的磁感应强度B=μη,为均匀磁场
此时由于直导线上各小段导线的速度大小不尽相同，只能利用动生电动势公式求积分来求动生电动势。 见例 4。 （ⅳ）均匀磁场中弯导线转动情况 弯导线转动亦可将弯导线连接两端成一直线段，直线段导线转动产生的动生电动势就等于弯导线产生 的动生电动势。 （ⅴ）闭合线圈在均匀磁场中转动情况 在转动中有一种情况较特殊，就是一闭合回路或线圈绕一固定轴转动，这种情况用动生电动势公式求 反而计算复杂，用法拉第电磁感应定律就很简单，见例 6。 (2)非均匀磁场中的动生电动势 在非均匀磁场中，由于磁场处处可能不等。因此只能用微积分方法求解。此类题中以无限长载流直导 线产生的非均匀磁场为典型题目。见例 7。 3)感生电动势和感生电场（有旋电场）的计算 (1)感生电动势的计算方法有两种，一种直接利用法拉第电磁感应定律 dt d E dl m i r ，此类题 方法同第一种情况，但要注意求某一段导线上的电动势要学会作辅助线。另一种方法是利用电动势定义： A B i r E dl ，用此方法要先求出 Er 的分布，再求积分，因此相对较难。尽量用第一种方法求。见例 8 和例 9。 2．例题剖析 例 1 有一无限长螺线管，单位长度上线圈的匝数为 n，在管的中心放置一绕了 N 圈、半径为 r 的圆 形小线圈，其轴线与螺线平行，设螺线管内电流变化率为 dI / dt ，求小线圈中的感应电动势。 分析 此题是一道典型的由法拉第电磁感应定律求解感应电动势的题目，题中磁场为均匀磁场，是由 无限长直螺线管产生的，这也是题目中经党常采用的给出均匀磁场的方法，需要自己由螺线管磁场公式求 出其磁场。此题解法是先写出磁感应强度，再求出小线圈中的磁通量，再求导。 解 设无限长螺线管的电流强度为 I，则无限长螺线管中磁场的磁感应强度 B nI 0 ，为均匀磁场
穿过圆形小线圈的磁通量为 dpm=BS=BS cos0=HonI m2=uonlT 则整个圆形小线圈的感应电动势为 E=-N如=-Nd(Am)=-Nm2d dt 例2一无限长直导线中通有交变电流Ⅰ= I sin ot,式中l是电流的最大值,O为角频率。在长直 导线旁平行放置一正三角形线圈,如图11-1所示,正三角形和直导线在同一平面内,已知正三角形边长为 b,与直导线平行的边和直导线距离为a,求正三角形线圈中的感应电动势。 分析载流无限长直导线产生的磁场是计算题中常见的非均匀磁场形式,主要是因为其表达式相对比 较简单。本题是求在非均匀磁场中的感应电动势,关键在于求出闭合线圈中的磁通量随时间t变化的表达 式。由于是非均匀磁场,因此必须采用微积分来求总磁通量,考虑到和直导线距离相同的点B相同,可先 取一长方形细条面积微元求c,再求积分。 解取一平行于直导线且和直导线距离为r,宽度为dr的长方形面积微元dS,则dS=hdr,而 h=2[(a+ b)-ran30°=2v/3 [(a+b)-r 通过dS上的磁通量 如=B.d=B=出ht 图11-1 总的磁通量为 Al=[( hdr= abrar a+--b C(a+=b)In u, 1b 若直导线中电流I= lo sin a,则正三角形线圈中感应电动势大小为: dbnd|√3yn b b)In 1- oL cos
穿过圆形小线圈的磁通量为 2 0 2 0 B S BS cos nI r nI r m ， 则整个圆形小线圈的感应电动势为 dt dI N n r dt d nI r N dt d i N o 2 2 0 ( ) 。 例 2 一无限长直导线中通有交变电流 I I sint 0 ，式中 0 I 是电流的最大值， 为角频率。在长直 导线旁平行放置一正三角形线圈，如图 11-1 所示，正三角形和直导线在同一平面内，已知正三角形边长为 b，与直导线平行的边和直导线距离为 a，求正三角形线圈中的感应电动势。 分析 载流无限长直导线产生的磁场是计算题中常见的非均匀磁场形式，主要是因为其表达式相对比 较简单。本题是求在非均匀磁场中的感应电动势，关键在于求出闭合线圈中的磁通量随时间 t 变化的表达 式。由于是非均匀磁场，因此必须采用微积分来求总磁通量，考虑到和直导线距离相同的点 B 相同，可先 取一长方形细条面积微元求 m d ，再求积分。 解 取一平行于直导线且和直导线距离为 r，宽度为 dr 的长方形面积微元 dS，则 dS=hdr，而 ) ] 3 3 [( 3 2 3 ) ]tan30 2 3 h 2[(a b r a b r ， 通过 dS 上的磁通量 hdr r I d m B dS BdS 2 0 ， 总的磁通量为 2 2 3 )ln 2 3 ( 3 3 2 ) ] 2 3 [( 3 2 3 2 2 3 2 3 0 Ib a a b a b I dr r I a b r hdr r I d o o a b a a b a o m m 若直导线中电流 I I sint 0 ，则正三角形线圈中感应电动势大小为： dt dI dI d dt d m m i I t b a a b a b o ] cos 2 2 3 )ln 2 3 ( 3 3 [ 0 0 图 11-1 I 30 b a r h dr
=[2√3(a+b)ln 方向:随电流余弦变化作图示中的顺时针、逆时针方向周期性变化。 例3如图11-2所示,在均匀磁场中放置一矩形导体框,其电阻可忽略不计。现有一长为l、质量为 m,电阻为R的导体棒,可在其上光滑地滑动,现导体棒以初速度v向右运动,磁场的磁感应强度为B 试确定棒的速度和时间的关系 分析这是一道综合题。在均匀磁场中运动的直棒产生动生电动势相当于一个电源,给矩形框架中供 电,产生电流。而电流亦流经导体棒,因此导体棒也要受到磁场作用的安培力,由牛顿第二定律,导体棒 产生加速度(负值),所以导体棒的速度是随时间t变化的,具体求解须由牛顿第二定律来完成 解取如图所示的坐标系,设t时刻导体棒速度大小为ν,则导体棒产生的动生电动势为E=B/v, 方向:v×B方向,图中向上。 X×××× 在电路中产生的电流为EBh ×× × 导体棒受磁场作用力F=-B_(B) |××|××x R 图11-2 “一”表示安培力向x轴负向 由牛顿第二定律 du (BIv dv R dt 两边积分 d h (B Rm (BD
t I b a a b a b o cos 6 3 ] 2 3 )ln 2 3 [2 3( 0 方向：随电流余弦变化作图示中的顺时针、逆时针方向周期性变化。 例 3 如图 11-2 所示，在均匀磁场中放置一矩形导体框，其电阻可忽略不计。现有一长为 l、质量为 m，电阻为 R 的导体棒，可在其上光滑地滑动，现导体棒以初速度 0 v 向右运动，磁场的磁感应强度为 B ， 试确定棒的速度和时间的关系。 分析 这是一道综合题。在均匀磁场中运动的直棒产生动生电动势相当于一个电源，给矩形框架中供 电，产生电流。而电流亦流经导体棒，因此导体棒也要受到磁场作用的安培力，由牛顿第二定律，导体棒 产生加速度（负值），所以导体棒的速度是随时间 t 变化的，具体求解须由牛顿第二定律来完成。 解 取如图所示的坐标系，设 t 时刻导体棒速度大小为 v，则导体棒产生的动生电动势为 Blv ， 方向： v B 方向，图中向上。 在电路中产生的电流为 R Blv R I 。 导体棒受磁场作用力 v R Bl F BIL 2 ( ) 。 “－”表示安培力向 x 轴负向。 由牛顿第二定律 dt dv F ma m ， 即 dt dv m R Bl v 2 ( ) ， dt Rm Bl v dv 2 ( ) ， 两边积分 v v t dt Rm Bl v dv 0 0 2 ( ) ， t Rm Bl v v o 2 ( ) ln ， 图 11-2 0 m v l O B x
则有 由上式可知,导体棒速度按指数函数关系减小,最终速度趋于零。由能量守恒,停下来时,导体棒最 初的动能全部转化为导体回路中的焦耳热。 例4如图113所示,长为l的导体棒OP处在均匀磁场B中,可绕过其一端的OO轴以角速度O。匀 速旋转,若棒与转轴间夹角为θ,转轴和磁感应强度B平行,求OP棒上的电动势 分析此题为一导体在磁场中旋转,可用动生电动势公式求解,由于是定轴转动,导线棒中每一小段 的速度大小不同,因而产生的动生电动势也不相同,故必须由微积分方法先取一小微元,求其产生的动生 电动势,而后积分E=(下×B)团求总的动生电动势动生电动势是感应电动势的一种,很多题目亦可 用法拉第电磁感应定律E dt 皿求解,但此题为一导线棒而非回路,一般需作辅助线构成回路,从而 把复杂的计算用简单的计算取代。 解Ⅰ在导体棒OP上取一长度微元dl,则d产生的动生电动势为: dE;=(×B)dl=vBsn90°· d cosa= vBa sin e。 Isin e 图11-3 导体棒OP产生的总的动生电动势 e=lde DxB). d=vBdlsin @=losin eBd/ sin 0= Bo(Lsin 0)? 由E,>0可知电动势方向为O→P(或P点电势高)。 解Ⅱ过P点作轴线OO′的垂线PQ,设由△POO构成一导体闭合回路,可知其上的磁能量始终为零。 由法拉第电磁感应定律E,= 整个三角形闭合回路的感应电动势为零,即E1=0,而三角形 回路由三段导线OP,PQ,QO组成,即 Ei=Eop t Epo +E00 而QO平等于B,即不切割磁感应线,则Eo0=0。 因此E=-Eop,由法拉第电磁感应定律,OP和PQ的动生电动势可理解成单位时间切割磁感线根
则有 t Rm Bl v v e 2 ( ) 0 。 由上式可知，导体棒速度按指数函数关系减小，最终速度趋于零。由能量守恒，停下来时，导体棒最 初的动能全部转化为导体回路中的焦耳热。 例 4 如图 11-3 所示，长为 l 的导体棒 OP 处在均匀磁场 B 中，可绕过其一端的 OO 轴以角速度 0 匀 速旋转，若棒与转轴间夹角为 ，转轴和磁感应强度 B 平行，求 OP 棒上的电动势。 分析 此题为一导体在磁场中旋转，可用动生电动势公式求解，由于是定轴转动，导线棒中每一小段 的速度大小不同，因而产生的动生电动势也不相同，故必须由微积分方法先取一小微元，求其产生的动生 电动势，而后积分 v B dl B A i ( ) 求总的动生电动势。动生电动势是感应电动势的一种，很多题目亦可 用法拉第电磁感应定律 dt d m i 求解，但此题为一导线棒而非回路，一般需作辅助线构成回路，从而 把复杂的计算用简单的计算取代。 解Ⅰ 在导体棒 OP 上取一长度微元 dl ，则 dl 产生的动生电动势为： d i (v B) dl vBsin 90 dl cosa vBdlsin 。 v lsin 。 导体棒 OP 产生的总的动生电动势 l O t O P O P O d i v B dl vBdl l Bdl B L 2 ( sin ) 2 1 ( ) sin sin sin 。 由 i 0 可知电动势方向为 O→P（或 P 点电势高）。 解Ⅱ 过 P 点作轴线 OO 的垂线 PQ，设由 PQO 构成一导体闭合回路，可知其上的磁能量始终为零。 由法拉第电磁感应定律 dt d m i ，整个三角形闭合回路的感应电动势为零，即 i 0 ，而三角形 回路由三段导线 OP，PQ，QO 组成，即 i OP PQ QO ， 而 QO 平等于 B，即不切割磁感应线，则 QO 0 。 因此 PQ OP ，由法拉第电磁感应定律，OP 和 PQ 的动生电动势可理解成单位时间切割磁感线根 数。 O O Q P dl l v B B 图 11-3