延安大学：《大学物理》课程教学资源_复习指南（典型例题讲解）第九章 导体和电介质中的静电场

奥型题剖祈 第九章导体和电介质中的静电场 基本思路 本章重点是对静电场中导体和电介质两个基本概念的理解,并围绕两个核心展开讨论:;题目主 要涉及静电平衡条件及其相关问题,电容,有介质时的高斯定理,静电场能量等。其中静电平衡条 件及其相关问题犹为复杂,必须概念清楚;而后三类问题所涉及的公式也比较多,必须加强记忆。 2.例题剖析 Q 02 Q 例13块面积均为S,且靠得很近的导体平板A,B,C,分别带 电Q1Q2,Q3,如图3所示。试求 (1)6个导体表面的电荷面密度σ1,O2,O3,O4,O5,06 G1o20扎4006 B (2)图中a,b,c三点的场强。 图3 分析这是静电平衡的例题:导体达到静电平衡后,根据静电平衡 条件中场强表述:导体内部场强为零,表面场强垂直于导体表面。由题意可知,3块平板靠得很近, 则可将导体表面视为无限大带电平面。因此,某一点的场强是所有无限大带电平面产生场强的矢量 和。由于各板面产生的场强E方向均垂直于板面,所以E的计算用代数和即可,同时根据电荷守恒 也即不管静电感应怎么进行,感应前后的板上总电量不变。 解(1)由电荷守恒定律: 01S+a2S=Q1 asS+OS=22 losS+oS=O3 由静电平衡条件场强表述:导体板A,B,C内部任意三点de/场强为零,它们都是 1,O2,O3,O4,5,O6产生的合场强

典型例题剖析 第九章 导体和电介质中的静电场 1． 基本思路 本章重点是对静电场中导体和电介质两个基本概念的理解，并围绕两个核心展开讨论；题目主 要涉及静电平衡条件及其相关问题，电容，有介质时的高斯定理，静电场能量等。其中静电平衡条 件及其相关问题犹为复杂，必须概念清楚；而后三类问题所涉及的公式也比较多，必须加强记忆。 2．例题剖析 例 1 3 块面积均为 S，且靠得很近的导体平板 A，B，C，分别带 电 1 2 3 Q ,Q ,Q ，如图 3 所示。试求： (1)6 个导体表面的电荷面密度 1 2 3 4 5 6  , , , , , 。 (2)图中 a,b,c 三点的场强。 分析 这是静电平衡的例题：导体达到静电平衡后，根据静电平衡 条件中场强表述：导体内部场强为零，表面场强垂直于导体表面。由题意可知，3 块平板靠得很近， 则可将导体表面视为无限大带电平面。因此，某一点的场强是所有无限大带电平面产生场强的矢量 和。由于各板面产生的场强 E 方向均垂直于板面，所以 E 的计算用代数和即可，同时根据电荷守恒， 也即不管静电感应怎么进行，感应前后的板上总电量不变。 解 （1）由电荷守恒定律：            5 6 3 3 4 2 1 2 1 S S Q S S Q S S Q       由静电平衡条件场强表述：导体板 A，B，C 内部任意三点 d,e,f 场强为零，它们都是 1 2 3 4 5 6  , , , , , 产生的合场强： a 图 3 b c d e f  1  2  3  4  5  6 A B C Q1 Q2 Q3

6y100×1506=0 0 0 由上述6个方程,解得: Q1+g2+Q3 =sQ-02-Q2 2S Q1+Q2-Q3 2S 由结论可知:相对面所带电量等量异号,最外面所带电量等量同号。若Q2=0,91=-q3=q,则: gSgS 这正是平板电容器的串联情况: (2)a,b,c三点的场强为 E=2 1Q+Q2+Q3 2S,(a2和a3O4和a5产生的场强分别抵消)。 E=2.02=9-g-Q,(G和an,和G,产生的场强分别抵消 28S g+g2-Q,(a和o,a和,产生的场强分别抵消) 注意:题中各场强的方向,由O1,O2,O3,O4,O53O6的正负确定,而G1,O2O3,O42O52O6的 正负则由Q1Q2,Q3来确定,因Q1,Q2,Q3具体未给出,我们假定G12O2O3,O42053O6全为正 不失一般性;另外我们也可先进行分析:作图中虚线所示的圆柱形高斯面,因导体在达到静电平衡

                            0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1                                     ： ： ： f e d 由上述 6 个方程，解得：                        S Q Q Q S Q Q Q S Q Q Q 2 2 2 1 2 3 4 5 1 2 3 2 3 1 2 3 1 6       由结论可知：相对面所带电量等量异号，最外面所带电量等量同号。若 0, , Q2  Q1  q3  q 则：                  S q S q 4 5 2 3 1 6 0       这正是平板电容器的串联情况： （2）a,b,c 三点的场强为： S Q Q Q Ea 0 1 2 3 0 1 2 2 2         ，（ 2 3 4 5  和 , 和 产生的场强分别抵消）。 S Q Q Q Eb 0 1 2 3 0 2 2 2 2         ，（ 1 6 4 5  和 , 和 产生的场强分别抵消）。 S Q Q Q Ec 0 1 2 3 0 4 2 2 2         ，（ 1 6 2 3  和 , 和 产生的场强分别抵消）。 注意：题中各场强的方向，由 1 2 3 4 5 6  , , , , , 的正负确定，而 1 2 3  , , ， 4 5 6  , , 的 正负则由 1 2 3 Q ,Q ,Q 来确定，因 1 2 3 Q ,Q ,Q 具体未给出，我们假定 1 2 3 4 5 6  , , , , , 全为正，这 不失一般性；另外我们也可先进行分析：作图中虚线所示的圆柱形高斯面，因导体在达到静电平衡

后,内部场强为零,故由高斯定理可得:5E△=a2AS+a3AS=0.所以4=-a3,这样可 减少未知数,但解题的方法是一种通用的方法,只须细心解联立代数方程即可。 例2如图4所示已知点电荷q与一无限大接地导体相距为d,试求:(1)导体板外附近一点P 处的场强En,(q与P点相距为R);(2)导体板面上的感应电荷q AS R △S 图4(b) 分析本题仍是关于静电平衡问题:计算静电场中导体外表面附近电场和感应电荷。根据导体 静电平衡条件:表面附近的场强只有法向分量,没有切向分量,且其大小为E=,所以求解Ep 的关键是确定P点附近的感应电荷面密度σ′,又借助于静电平衡条件导体内部场强为零,从而确定 出’,即求出E 解(1)设导体板上有感应电荷q分布在导体板的表面。设P点附近导体板面元△S的面电荷 密度为GF,由于P点靠近导体板,则该点的场强为Ep=。 如图4(b)所示,在导体平面内与P点邻近的P点处的场强EP=0。由场强叠加原理可知, P点的场强为点电荷q在P点产生的场强Eg,电荷面密度为ap的面元△S产生的场强Eg,导 体平面除△S以外其它表面感应电荷产生的场强Eg的叠加: 其中En=9指向沿qP"方向 2,指向平板内法向r 图4(c) Eg沿平板的切向

后，内部场强为零，故由高斯定理可得：        S E dS  2 S  3 S 0   。所以  4   5 ，这样可 减少未知数，但解题的方法是一种通用的方法，只须细心解联立代数方程即可。 例 2 如图 4 所示已知点电荷 q 与一无限大接地导体相距为 d，试求：（1）导体板外附近一点 P 处的场强 Ep ，（q 与 P 点相距为 R）；（2）导体板面上的感应电荷 q 。 分析 本题仍是关于静电平衡问题：计算静电场中导体外表面附近电场和感应电荷。根据导体 静电平衡条件：表面附近的场强只有法向分量，没有切向分量，且其大小为 0    E  ，所以求解 Ep 的关键是确定 P 点附近的感应电荷面密度   ，又借助于静电平衡条件导体内部场强为零，从而确定 出   ，即求出 Ep 。 解 （1）设导体板上有感应电荷 q  分布在导体板的表面。设 P 点附近导体板面元 S 的面电荷 密度为  P  ，由于 P 点靠近导体板，则该点的场强为 0   P EP   。 如图 4（b）所示，在导体平面内与 P 点邻近的 P 点处的场强 EP  0  。由场强叠加原理可知， P 点的场强为点电荷 q 在 P 点产生的场强 P1 E   ，电荷面密度为  P 的面元 S 产生的场强 P2 E   ，导 体平面除 S 以外其它表面感应电荷产生的场强 P3 E   的叠加： 其中 2 0 4 1 R q EP    指向沿 qP 方向。 0 2 2   P EP    ，指向平板内法向 t  。 P3 E  沿平板的切向。 图 4(a) d P q R  r O S 图 4(b) d P q P R n  P P S P1 E  P2 E  P3 E  t   P  图 4(c) O dr r

由法向分量En=0,得 g d o=o,,,,, q 4TEoR-R 2E0 d q 图4(d) 由此导体表面场强和电荷密度关系可知:Ep=P= 02mB·En垂直于平板指向下方。 (2)由ap的表达式可知:p和R有关,所以导体板上的感应电荷是以垂足O为中心,呈圆 心对称分布。如图4(c)所示,则: q'==- mrdr 2R rd 注意:此题还有一种简单的解法,如图4(d)。由于感应电荷分布在平面上,所以感应电荷激 发的场强在A和其对称点A点是大小相等的,方向虽不同却具有平面对称性。考虑A'点的场强 因A'在导体内部,平衡时A点的合场强为零。这就是说,由点电荷q引起的场强应当与感应电荷 引起的场强互相抵消。所以,感应电荷在A"点产生的场强大小应该是q在A点产生的场强的大小 这样感应电荷在A点产生的场强也就相当于对称点q在A点产生的场强。由于这个假想电荷的位置 与真突电荷的位置对称于导体平面。而且电荷量是正负对称的,所以不妨把它称为实电荷q的“电 像”。板右边各处的合场强等于q和其“电像”-q激发的场强的矢量和。应当注意,感应电荷在导体 平板内激发的场强绝不等价于此像电荷的场强 再回到图4(b),P点的场强 2 R2 R 2TE RS 方向沿切向指向导体板。 所以 Op=Ep

由法向分量 EP n  0 ，得： 0 4 2 0 2 0       P R d R q ， 所以 3 2 R qd P      。 由此导体表面场强和电荷密度关系可知： p P P E R qd E      3 0 2 0   垂直于平板指向下方。 （2）由  P 的表达式可知：  P 和 R 有关，所以导体板上的感应电荷是以垂足 O 为中心，呈圆 心对称分布。如图 4（c）所示，则：               0 2 2 3 / 2 3 . ( ) 2 2 q d r rdr qd rdr R qd q dq   注意：此题还有一种简单的解法，如图 4（d）。由于感应电荷分布在平面上，所以感应电荷激 发的场强在 A 和其对称点 A 点是大小相等的，方向虽不同却具有平面对称性。考虑 A 点的场强， 因 A 在导体内部，平衡时 A 点的合场强为零。这就是说，由点电荷 q 引起的场强应当与感应电荷 引起的场强互相抵消。所以，感应电荷在 A 点产生的场强大小应该是 q 在 A 点产生的场强的大小， 这样感应电荷在 A 点产生的场强也就相当于对称点-q 在 A 点产生的场强。由于这个假想电荷的位置 与真突电荷的位置对称于导体平面。而且电荷量是正负对称的，所以不妨把它称为实电荷 q 的“电 像”。板右边各处的合场强等于 q 和其“电像”-q 激发的场强的矢量和。应当注意，感应电荷在导体 平板内激发的场强绝不等价于此像电荷的场强。 再回到图 4（b），P 点的场强 3 0 2 4 0 2 2 R qd R d R q EP      ， 方向沿切向指向导体板。 所以  P  EP 。 图 4(d)  q A A O q d

另外,通过例1、例2的分析可以看出,任何电荷激发的电场并不是不能进入(或穿过)金属 导体内,而是能进入(或穿过)。所谓导体内场强为零,应该是所有电荷(包括感应电荷)在导体内 产生的合场强为零,这是静电平衡中一个容易出错的概念,希引起读者注意。 例3如图5所示,一导体球原为中性,今在距球心为r处放一电量为q的点电荷,试求 (1)球上的感应电荷在球内P点的场强E和电势Vp (2)若将球接地,E和V的结果如何 (3)接地导体球表面上总的感应电荷q。 图5 分析在求解导体问题时,静电平衡条件的应用是十分重要的。不但场强表述经常用,而且等 势体表述同样重要,如此题任意点P处电势一时无法知道,但由于球体是一等势体,所以往往在导 体中选取某些特殊点,如本题选球心O,由于原导体球不带电,感应电荷总量总是为零,而且所有 感应电荷到O点距离相同,所以感应电荷在O点处产生的总电势为零,这样可求出该特殊点的电势, 再由导体为等势体的特点,求解其它点的电学量 解(1)由静电平衡条件中场强描述和场强叠加原理可知,任意点P的场强为电荷q和导体表 面球面的感应电荷在该处产生的场强的矢量和,且为0,即。 Ep=Ep+4m52r=0 所以 E,=-9 r 4rE。r 同样由电势叠加原理可知,P点的电势为点电荷q和球面感应电荷在该处产生的电势V,的代数 和,即 应用等势体条件P点电势等于球心O处电势V,同样O处电势为q产生电势和感应电荷产生 电势叠加

另外，通过例 1、例 2 的分析可以看出，任何电荷激发的电场并不是不能进入（或穿过）金属 导体内，而是能进入（或穿过）。所谓导体内场强为零，应该是所有电荷（包括感应电荷）在导体内 产生的合场强为零，这是静电平衡中一个容易出错的概念，希引起读者注意。 例 3 如图 5 所示，一导体球原为中性，今在距球心为 0 r 处放一电量为 q 的点电荷，试求： (1)球上的感应电荷在球内 P 点的场强 EP 和电势 Vp  ； (2)若将球接地， Ep  和 Vp  的结果如何。 (3)接地导体球表面上总的感应电荷 q。 分析 在求解导体问题时，静电平衡条件的应用是十分重要的。不但场强表述经常用，而且等 势体表述同样重要，如此题任意点 P 处电势一时无法知道，但由于球体是一等势体，所以往往在导 体中选取某些特殊点，如本题选球心 O，由于原导体球不带电，感应电荷总量总是为零，而且所有 感应电荷到 O点距离相同，所以感应电荷在 O点处产生的总电势为零，这样可求出该特殊点的电势， 再由导体为等势体的特点，求解其它点的电学量。 解 （1）由静电平衡条件中场强描述和场强叠加原理可知，任意点 P 的场强为电荷 q 和导体表 面球面的感应电荷在该处产生的场强的矢量和，且为 0，即。 0 4 2 0     r r r q EP Ep     。 所以 r r r q E o p   2 4    。 同样由电势叠加原理可知，P 点的电势为点电荷 q 和球面感应电荷在该处产生的电势 Vp  的代数 和，即： r q VP VP 4 0    。 应用等势体条件 P 点电势等于球心 O 处电势 V0 ，同样 O 处电势为 q 产生电势和感应电荷产生 电势叠加： 图 5 q r 0 r P O R