满足右手螺旋关系对于多匝平面线圈式中的电流I应以线圈的总匝数与每匝线圈的 电流的乘积代替 利用圆电流在轴线上的磁场公式通过叠加原理可以计算直载流螺线管轴线上的 磁感应强度对于长直密绕载流螺线管,其轴线上的磁感应强度为B=μ。nn是单位长 度的匝数,I是每匝导线的电流强度 例71电流为Ⅰ的无限长载流导线 abcde被弯曲成如图75所示的形状圆弧半径为R, 1450,02139求该电流在O 点处产生的磁感应强度 解:将载流导线分为ab,bc,cd 6 及d四段它们在O点产生的磁感 b 应强度的矢量和即为整个导线在O 图75例题71示图 点产生的磁感应强度由于O在ab 及d的延长线及反向延长线上,由(77)式知 B=B=0 由图75知,bc弧段对O的张角为900,由(711)式得 190 B 2R3608R 其方向垂直纸面向里由(77)式得电流cd段所产生的磁感应强度为 BddTa(cos e, -cos 82) u 4πRsin45° (c0s45-cos13)=2 R 其方向亦垂直纸面向里故O点处的磁感应强度的大小为 方向垂直纸面向里 作业(P172):7.14,7.18
6 满足右手螺旋关系.对于多匝平面线圈,式中的电流 I 应以线圈的总匝数与每匝线圈的 电流的乘积代替. 利用圆电流在轴线上的磁场公式通过叠加原理可以计算直载流螺线管轴线上的 磁感应强度.对于长直密绕载流螺线管,其轴线上的磁感应强度为 B nI = 0 ,n 是单位长 度的匝数,I 是每匝导线的电流强度. 例 7.1 电流为 I 的无限长载流导线 abcde 被弯曲成如图 7.5 所示的形状.圆弧半径为 R, θ1 =450 ,θ2 = 135o .求该电流在 O 点处产生的磁感应强度. 解：将载流导线分为 ab,bc,cd 及 de 四段,它们在 O 点产生的磁感 应强度的矢量和即为整个导线在 O 点产生的磁感应强度.由于 O 在 ab 及 de 的延长线及反向延长线上,由（7.7）式知 Bab = Bde = 0 由图 7.5 知, bc 弧段对 O 的张角为 90 o ,由（7.11）式得 R I R I Bbc 360 8 90 2 0 0 = = 其方向垂直纸面向里.由（7.7）式得电流 cd 段所产生的磁感应强度为 (cos cos ) 1 2 0 4 − = a I Bcd R I R I o o o − = = 2 45 135 4 45 0 0 (cos cos ) sin 其方向亦垂直纸面向里.故 O 点处的磁感应强度的大小为 ( ) + = 4 1 8 0 R I B 方向垂直纸面向里. 作业(P172)：7.14，7.18
§73运动电荷的磁场 由于电流是运动电荷形成的所以可以从电流元的磁场公式导出匀速运动电荷的 磁场公式根据毕奥一萨伐尔定律,电流元M在空间的一点P产生的磁感应强度为 如图76所示设S是电流元M 的横截面的面积,并设在导体单位 图76 体积内有n个载流子,每个载流子带 电量为q,以速度沿的方向匀速运动形成导体中的电流那么单位时间内通过横截 面S的电量为qmUS,亦即电流强度为=qmS,则ldl= rusal,如果将q视为代数量l 的方向就是q的方向因此可以把a中的矢量符号加在速度上,即= gusau将ldl 这一表达式代入毕奧一一萨伐尔定律中就可得 币=以ShX=上sX 4 4πr3 其中dN=nSd代表此电流元内的总载流子个数,即这磁感应强度是由dN=nSdl个载 流子产生的那么每一个电量为q,以速度为运动的点电荷所产生的磁感应强度B为 B (713) B的方向垂直于υ和r所组成的平面,其指向亦符合右手螺旋法则 值得注意对于高速运动电荷,上结果不再适用需要考虑相对论效应,其结果见§ 14.5节
7 §7.3 运动电荷的磁场 由于电流是运动电荷形成的,所以可以从电流元的磁场公式导出匀速运动电荷的 磁场公式.根据毕奥—萨伐尔定律,电流元 Idl 在空间的一点 P 产生的磁感应强度为 3 0 4 r Idl r dB = 如图 7.6 所示,设 S 是电流元 Idl 的横截面的面积,并设在导体单位 体积内有n个载流子,每个载流子带 电量为 q,以速度 沿 Idl 的方向匀速运动,形成导体中的电流.那么单位时间内通过横截 面 S 的电量为 qnS ,亦即电流强度为 I = qnS ,则 Idl = qnSdl ,如果将 q 视为代数量,Idl 的方向就是 q 的方向,因此可以把dl中的矢量符号加在速度 上,即 = Idl qnSdl .将Idl 这一表达式代入毕奥——萨伐尔定律中就可得 dN r q r r qnSdl r dB 3 0 3 0 4 4 = = 其中 dN = nSdl 代表此电流元内的总载流子个数,即这磁感应强度是由 dN = nSdl 个载 流子产生的,那么每一个电量为 q ,以速度为 运动的点电荷所产生的磁感应强度 B 为 3 0 4 r q r B = (7.13) B 的方向垂直于 和 r 所组成的平面,其指向亦符合右手螺旋法则. 值得注意,对于高速运动电荷,上结果不再适用.需要考虑相对论效应,其结果见§ 14.5 节
§74磁场的高斯定理和安培环路定理 稳恒磁场与库仑电场有着不同的基本性质,库仑电场的基本性质可以通过库仑场 的高斯定理和环路定理来描述;稳恒磁场的基本性质也可以用关于磁场的这两个定理 来描述本节就来介绍稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 、磁场的高斯定理 1磁通量 在说明磁场的规律时,类比电通量,也可引入磁通量的概念通过某一面积S的磁通 量的定义是 (7.14) 即等于通过该面积的磁感应线的总条数 在国际单位制中磁通量的单位为韦伯(Wb)Wb=1Tm2据此磁感应强度的单位 T也常写作Wb/n 2磁场的高斯定理 对于闭合曲面若规定曲面各处的外法向为该处面元矢量的正方向则对闭面上 面元的磁通量为正就表示磁感应线穿出闭面,磁通量为负表示磁感应线穿入闭面对任 一闭合曲面S由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线不难想象,凡是从S某处穿入的磁 感应线必定从S的另一处穿出,即穿入和穿出闭合曲面S的净条数必定等于零所以通 过任意闭合曲面S的磁通量为零,即 B·dS=0 这是恒定磁场的一个普遍性质称为磁场的高斯定理 、安培环路定理 由毕奥一一萨伐尔定律表示的电流和它的磁场的关系可以导出稳恒磁场的一条 基本规律——安培环路定理其内容为:在稳恒电流的磁场中,磁感应强度B沿任何闭 合路径L的线积分(即B对闭合路径L的环量)斧等于路径L所包围的电流强度的代数 和的μ0倍,它的数学表达式为 B.d=u∑lm=H 下面以长直稳恒电流的磁场为例简单说明安培环路定理根据(7.8)式知,距电流强 度为I的无限长电流的距离为r处的磁感应强度为
8 §7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理 稳恒磁场与库仑电场有着不同的基本性质,库仑电场的基本性质可以通过库仑场 的高斯定理和环路定理来描述；稳恒磁场的基本性质也可以用关于磁场的这两个定理 来描述.本节就来介绍稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 一、磁场的高斯定理 1 磁通量 在说明磁场的规律时,类比电通量,也可引入磁通量的概念.通过某一面积 S 的磁通 量的定义是 = S e B dS (7.14) 即等于通过该面积的磁感应线的总条数. 在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(Wb).1Wb=1T·m2 .据此,磁感应强度的单位 T 也常写作 Wb/m2 . 2 磁场的高斯定理 对于闭合曲面,若规定曲面各处的外法向为该处面元矢量的正方向,则对闭面上一 面元的磁通量为正就表示磁感应线穿出闭面,磁通量为负表示磁感应线穿入闭面.对任 一闭合曲面 S,由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线,不难想象,凡是从 S 某处穿入的磁 感应线,必定从 S 的另一处穿出,即穿入和穿出闭合曲面 S 的净条数必定等于零.所以通 过任意闭合曲面 S 的磁通量为零,即 = 0 S B dS (7.15) 这是恒定磁场的一个普遍性质,称为磁场的高斯定理. 二、安培环路定理 由毕奥——萨伐尔定律表示的电流和它的磁场的关系,可以导出稳恒磁场的一条 基本规律——安培环路定理.其内容为：在稳恒电流的磁场中,磁感应强度 B 沿任何闭 合路径 L 的线积分(即 B 对闭合路径 L 的环量)等于路径 L 所包围的电流强度的代数 和的 0 倍,它的数学表达式为 B dl I I L = 0 = 0 int (7.16) 下面以长直稳恒电流的磁场为例简单说明安培环路定理.根据(7.8)式知,距电流强 度为 I 的无限长电流的距离为 r 处的磁感应强度为 r I B = 2 0
B线为在垂直于直导线的平面内围绕该导线的同心圆, 其绕向与电流方向成右手螺旋关系 1)在上述平面内围绕导线作一任意形状的闭合路 径L(如图77所示沿L计算B的环量在路径L上任 点P处l与B的夹角为0,它对电流通过点所张之 角为d.由于B垂直于矢径r,因而dos0就是a在垂 图77 直于r方向上的投影它就等于d所对的以r为半径 的圆弧长由于此弧长等于rdx,所以 ED=BoBd=手Bhk-手出mh+1(77 此式说明,当闭合路径L包围电流Ⅰ时这个电流对该环路上B的环路积分为u 2)如果电流的方向相反仍按图77所示的路径L的方向进行积分时,由于B的方 向与图示方向相反所以应该得 B·dl=-H0 可见积分的结果与电流的方向有关如果对电流的正负作如下规定,即电流的方向与L 的绕行方向符合右手螺旋关系时,此电流为正,否则为负,则B的环路积分的值可以统一 用式(717)表示 3)如果闭合路径不包围电流如图78所示L为在垂直于载流导线平面内的任 不围绕电流的闭合路径过电流通过点作L的两条切线将L分为L和L2两部分沿图示 方向计算B的环量为 fed = B d + B d a+∫d) 图78 2xa+(-a)=0 可见闭合路径L不包围电流时,该电流对沿这一闭合路径的B的环路积分无贡献 上面的讨论只涉及在垂直于长直电流的平面内的闭合路径易证在长直电流的情 况下,对非平面闭合路径,上述讨论也适用还可进一步证明对于任意的闭合稳恒电流, 上述B的环路积分和电流的关系仍然成立这样再根据磁场的叠加原理可得到,当有若 干个闭合稳恒电流存在时沿任一闭合路径L,合磁场的环路积分为
9 B 线为在垂直于直导线的平面内围绕该导线的同心圆, 其绕向与电流方向成右手螺旋关系. 1）在上述平面内围绕导线作一任意形状的闭合路 径 L(如图 7.7 所示),沿 L 计算 B 的环量.在路径 L 上任 一点 P 处,dl 与 B 的夹角为θ,它对电流通过点所张之 角为 d .由于 B 垂直于矢径 r ,因而 dlcosθ就是 dl在垂 直于 r 方向上的投影,它就等于 d 所对的以 r 为半径 的圆弧长,由于此弧长等于 r d ,所以 rd I r I B dl Brd B dl Brd L L L L 0 0 2 = = ⎯⎯⎯⎯→ = = 上的环量 (7.17) 此式说明,当闭合路径 L 包围电流 I 时,这个电流对该环路上 B 的环路积分为 I 0 . 2）如果电流的方向相反,仍按图 7.7 所示的路径 L 的方向进行积分时,由于 B 的方 向与图示方向相反,所以应该得 B dl I L = −0 可见积分的结果与电流的方向有关.如果对电流的正负作如下规定,即电流的方向与 L 的绕行方向符合右手螺旋关系时,此电流为正,否则为负,则 B 的环路积分的值可以统一 用式(7.17)表示. 3）如果闭合路径不包围电流,如图 7.8 所示,L 为在垂直于载流导线平面内的任一 不围绕电流的闭合路径.过电流通过点作 L 的两条切线,将 L 分为 L1和L2 两部分,沿图示 方向计算 B 的环量为 = + L L1 L2 B dl B dl B dl ( ) + = 1 2 2 0 L L d d I 0 2 0 + − = = [ ( )] I 可见,闭合路径 L 不包围电流时,该电流对沿这一闭合路径的 B 的环路积分无贡献. 上面的讨论只涉及在垂直于长直电流的平面内的闭合路径.易证在长直电流的情 况下,对非平面闭合路径,上述讨论也适用.还可进一步证明,对于任意的闭合稳恒电流, 上述 B 的环路积分和电流的关系仍然成立.这样,再根据磁场的叠加原理可得到,当有若 干个闭合稳恒电流存在时,沿任一闭合路径 L,合磁场的环路积分为