2.两种模型的相互转化 ●由状态空间模型转化为传递函数(阵) ●由微分方程或传递函数转化为状态空间模型 ●应用 MATLAB进行模型之间的相互转化(自学)
11 2. 两种模型的相互转化 ⚫ 由状态空间模型转化为传递函数（阵） ⚫ 由微分方程或传递函数转化为状态空间模型 ⚫ 应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自学）
由状态空间模型转化为传递函数(阵) 设线性定常系统的状态空间模型为 x=Axt Bu GS 注意!u( y(t) y=Cx+ Du 系统 对其进行拉氏变换 令初始条件为零x(0)=0 SX(S-x()=AX(S+BU(S: SX(s)-AX(s)=BU(S) Y(s)=CX(S)+ DU(s ∴Y(S)=G(s儿(s)=/C(-4)B+D/U(s 传递函数(阵)为G(s)= C·a(-4)B+D.det(s-4 det (s-a desl-A)=0为系统的特征方程 对应的根称为系统的特征值 12
12 y Cx D u x Ax Bu = + = + 设线性定常系统的状态空间模型为 det (sI-A) C adj(sI-A)B D det (sI-A) G(s ) Y(s) G(s )U(s ) [C(sI A) B D]U(s ) 1 + = = = − + − 传递函数（阵）为 系统 u(t) y(t) G(s) 注意！ Y(s) CX(s) DU(s) sX(s) x (0 ) AX(s) BU(s) = + − = + 对其进行拉氏变换 sX(s) AX(s) BU(s) x( 0 ) 0 − = = ： ， 得 令初始条件为零 对应的根称为系统的特征 值 det(sI − A) = 0 为系统的特征方程， 由状态空间模型转化为传递函数（阵）
例:R-LC串联网络(输入u,输出y=u) R L L R +IL 2 u(t) J 2 Y(s) U(s) LCs+RCs+1 R L LC y= 由同一系统的不同状态空间表 达式导出的传递函数(阵)必 然相同 13
13 = + − − = 2 1 2 1 2 1 x x y 0 1 u 0 L 1 x x 0 C 1 L 1 L R x x = + − − = 2 1 2 1 2 1 x x y 1 0 u 1 0 x x L R LC 1 0 1 x x 1 1 2 + + = U(s) LCs RCs Y(s) 由同一系统的不同状态空间表 达式导出的传递函数（阵）必 然相同 例: R-L-C串联网络（输入u，输出y=uc）
由微分方程或传递函数转化为状态空间模型 A.B. CD 这种转换不唯一! y(t) 系统 Y(S) G(S 转化的实质:寻找在外部特性上等价的状态空间表 达式,使其满足输入输出微分方程或传递函数 G()=C(SI-A)-B+D 并称该状态空间表达式为该传递函数的一个实现 方法:直接分解法、极点分解法、结构图分解法 (自学)
14 转化的实质：寻找在外部特性上等价的状态空间表 达式，使其满足输入输出微分方程或传递函数 G(s) = C(sI-A)-1B+D 并称该状态空间表达式为该传递函数的一个实现。 方法：直接分解法、极点分解法、结构图分解法 这种转换不唯一! 系统 u(t) y(t) G(s) U(s) Y(s) A,B,C,D （自学） 由微分方程或传递函数转化为状态空间模型
例:求3阶微分方程的状态空间表达式 x3 反映一般规律! dy(t),dy(t),小vt) a +a +aoy(t)=ku(t) dt dt 010 12=x3 2 001‖x,+|0| 0 2 k y(t) 系统 3
15 例: 求3阶微分方程的状态空间表达式 系统 u(t) y(t) a y(t ) ku(t ) dt dy(t ) a dt d y(t ) a dt d y(t ) 2 1 0 2 3 2 3 + + + = x2 x1 = x2 x3 y x1 x3 x2 = x3 = + − − − = 3 2 1 3 2 1 3 0 1 2 2 1 x x x y 1 0 0 u k 0 0 x x x a a a 0 0 1 0 1 0 x x x 反映一般规律!