第四章根轨迹法 ◎经典控制理论的两大代表性方法之 WR. Evans1948年提出 ◇根据开环传递函数,分析改变系统参数 对闭环极点的影响 R(S E(S) Y(S) G1(s) G2(s) S) H(S)
第四章 根 轨 迹 法 经典控制理论的两大代表性方法之一 W. R. Evans 1948年提出 根据开环传递函数，分析改变系统参数 对闭环极点的影响 D1 (s) R(s) Y(s) G1 (s) G 2 (s) H(s) - D2 (s) E(s)
本章主要内容 根轨迹基本概念 绘制根轨迹的基本依据及规则 参数根轨迹 串联校正的综合(自学)
本章主要内容 根轨迹基本概念 绘制根轨迹的基本依据及规则 参数根轨迹 串联校正的综合（自学）
4-1.根轨迹基本概念 根轨迹的定义: 开环传递函数的某一参数从0变到时,闭环系 统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。 R(S) E(S) G1(s) G2(s) H(S) D2S K 如G(s)G2(s)H(s) >常规根轨迹 S(3+)(s+2) G(s)G(s)H(s)=51s+bs+3参数根轨迹 (s+1)3
4-1. 根轨迹基本概念 开环传递函数的某一参数从0变到∞时，闭环系 统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。 根轨迹的定义： D1 (s) R(s) Y(s) G1 (s) G 2 (s) H(s) - D2 (s) E(s) 1 2 3 (s 1 ) 5(s b )( s 3 ) G (s )G (s )H(s ) + + + = s(s 1 )( s 2 ) K G (s)G (s)H(s) g 1 2 + + 如 = 常规根轨迹 参数根轨迹
例:闭环传函为 p(5/s1(s) 2K K S(0.5s+1) R(s)s2+2.+2K 特征方程为:s2+2s+2K=0 特征根为:s1=-1+√1-2K,s2=-1-√1-2K 设K从0→∞,则有 2I S K=0时, 1,2一 0,-2,(开环极点) K≤05时,s1,s2为实数,且K个→S1↓,s2个 K>O5时,S,s2为复数,Rs=-1,且K个→1的虚部个
s ( 0. 5 s 1 ) K + R(s) Y(s) s 2 s 2 K - 2 K R ( s ) Y ( s ) ( s ) 2 + + = = 例 ： 闭环传函为 s 2 s 2 K 0 2 特征方程为： + + = 特征根为：s1 = -1 + 1 − 2 K , s2 = -1 − 1 − 2 K 时 ，（开环极点） 设 从 ，则有 K 0 , s 0, 2 K= 1,2 = − 0 → K 0.5 时, s1，s2 为实数，且 K s1 ，s2 K 0.5 时, s1，s2 为复数，R e s = −1,且 K s1,2的虚部 - 2 0 × × j 1 s 2 s
由根轨迹图分析系统性能 1稳定性因为根轨迹全部位于左半S 平面,故闭环系统对所有的K>0都是 稳定的。 K=2.5 2暂态性能0<K≤0.5时,特征根为实 根,过阻尼系统,响应为非振荡型;K K=0 K05K=0 >0.5时,特征根为共轭复根,欠阻尼 系统,响应为衰减振荡;可根据性能要 K=1 求设置闭环极点。 3.稳态性能开环传函有一个位于坐标K25 2 原点的极点→型系统→阶跃响应的稳态K→∞ 误差为0;闭环极点确定→K确定→其他 响应的稳态误差确定。 当特征方程>2阶时无法求解,如何绘制根轨迹图?
由根轨迹图分析系统性能: １.稳定性 因为根轨迹全部位于左半Ｓ 平面，故闭环系统对所有的Ｋ>0都是 稳定的。 ２.暂态性能 0<K≤0.5时，特征根为实 根，过阻尼系统，响应为非振荡型； K ＞0.5时，特征根为共轭复根，欠阻尼 系统，响应为衰减振荡；可根据性能要 求设置闭环极点。 ３．稳态性能 开环传函有一个位于坐标 原点的极点I型系统阶跃响应的稳态 误差为0；闭环极点确定→K确定→其他 响应的稳态误差确定。 j 0 -2 -1 1 2 -2 K=0 K=0 K=0.5 -1 K=1 K=2.5 K → K → K=1 K=2.5 当特征方程>2阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？