§1 Euler' s Method a改进欧拉法/ modified eulers method Se1:先用显式欧拉公式作预测,算出y=y1+hf(x1,y;) Se2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正,得到 y1=y1+[∫(x;,y)+f(x+1,y 2 #1=y;+[f(x,y)+∫(x1,y1+h∫(x1,y(i=0,…,n-1) 注:此法亦称为预测校正法/ predictor-corrector method *。 可以证明该算法具有2阶精度,同时可以看到它是个单 步递推格式,比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将 看到,它的稳定性高于显式欧拉法
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */ Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 ( , ) i 1 i i i y + = y + h f x y Step 2: 再将 yi+1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到 [ ( , ) ( , )] 2 +1 +1 +1 = + + i i i i i i f x y f x y h y y 注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。 可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单 步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将 看到，它的稳定性高于显式欧拉法。 ( , ) ( , ( , )) ( 0, ... , 1) 2 +1 = + f x y + f x +1 y + h f x y i = n − h y y i i i i i i i i §1 Euler’s Method
§2龙格-库塔法/ Runge-Kutta Method 建立高精度的单步递推格式。 单步递推法的基本思想是从(x,y)点出发,以某一斜 率沿直线达到(x1,y)点。欧拉法及其各种变形所 能达到的最高精度为2阶。 6考察改进的欧拉法,可以将其改写为: 斜率 y+1=y+列K1+K2 一定取K1K2 的平均值吗? f(x,y K2 =f(i+h,vi+hKi 步长一定是一个h吗?
§2 龙格 - 库塔法 /* Runge-Kutta Method */ 建立高精度的单步递推格式。 单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，以某一斜 率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所 能达到的最高精度为2阶。 考察改进的欧拉法，可以将其改写为： ( , ) ( , ) 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 K f x h y hK K f x y y y h K K i i i i i i = + + = + = + + 斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？ 步长一定是一个h 吗？