(11Je'dx=e+C.(12) cscr cot xdr=-CSCx+( 3)j a dx Ino +C.(14 sinh xdx=cosh+C 5)j cosh xdx= sinhx+c
(12) csc x x cot dx = − + csc x C. ( ) ∫ 11 e d e . x x x C = + ∫ ( ) 13 d . ln x x a a x C a = + ∫ (14) sinh x xd = cosh x + C. ∫ (15) cosh x xd = sinh x + C. ∫
4不定积分的性质 性质1 d dlf(x)dx=f(x),[f(rdx=f(x)dx 性质2设函数f(x)及8(x的原函数存在,则 e Laf(x)+Bg(x)]=a f(x)dx+B a(xbox 其中a,B为任意常数
4.不定积分的性质 性质1 ( ) ( ), ( ) ( ) . d f x dx f x f x dx f x dx dx ⎡ ⎤ = = ′ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 性质2 设函数 f x( )及 g x( )的原函数存在，则 ⎡ ⎤ α β f ( x) + = g ( x d ) x α f ( x d) x + β g ( x d) x, ∫ ∫ ⎣ ⎦ ∫ 其中α,β 为任意常数．
5积分举例 x 例1求积分 解先将(x-1)展开,然后再利用积分公式及运算法则 eJ,dr=/x3-3x2+3x-1 e rlx dx=|x-3+ 3x+3lnlx+-+C
5.积分举例： 例1 求积分 ( )3 21 d . x x x − ∫ 解 先将( ) 展开，然后再利用积分公式及运算法则 3 x −1 ( )3 3 2 2 2 2 2 1 3 3 1 3 1 d d 3 d 1 3 3ln . 2 x x x x x x x x x x x x x x x C x − − + − ⎛ ⎞ = = − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − + + + ∫ ∫ ∫
例2求积分 ax 解 +o In 2-n 5 In3-In5(5
例2 求积分 2 3 d . 5 x x x x − ∫ 解 2 3 2 3 d d 5 5 5 1 2 1 3 . l n 2 ln5 5 ln3 l n 5 5 x x x x x x x x x C − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫
1+x+x 例3求积分 (1 +x 解将积分拆成两项的和,可得 1+x+x x+(1+ dx xl+x x(1+x 1+x2x =arctan+Inx+C
例3 求积分 ( ) 2 2 1 d . 1 x x x x x + + + ∫ 解 将积分拆成两项的和，可得 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 (1 ) 1 1 d d d 1 1 1 arctan ln . x x x x x x x x x x x x x x x C + + + + ⎛ ⎞ = = + ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ + = + + ∫ ∫ ∫