《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 因为地转基流l=l(y),是正压大气,有效位能(APE)不能释放。所以扰动发展的能源为基本气流 的动能(即平均动能)。 §3正压稳定度 定义:正压基流上,扰动形成的正压大气 Rossby波的振幅是否随时间增长的问题 1正压不稳定的必要条件一郭晓岚(Kuo)定理 正压大气:l=l(y),采用水平无辐散和静力平衡近似,则有p系线性化方程组 ao ay l (517) ax ay 由于水平无辐散,引入流函数Y,则 518) (517)2a(51 a并利用(517)3→涡度方程(习题Cha3 aua +uVby+B Ov a 设大气在y∈(y12y2)的纬向管道内流动,有齐次(刚壁)边界条件 (520) lJ=y y=) 设(519)式的解为: x一c (52 (521)式代入(519)式并设-c≠0,得
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 6 因为地转基流u uy = ( )，是正压大气，有效位能（APE）不能释放。所以扰动发展的能源为基本气流 的动能（即平均动能）。 §3 正压稳定度 定义：正压基流上，扰动形成的正压大气 Rossby 波的振幅是否随时间增长的问题。 1 正压不稳定的必要条件—郭晓岚（Kuo）定理 正压大气：u uy = ( )，采用水平无辐散和静力平衡近似，则有 p 系线性化方程组： ' ' ' ' ' ' ' ' 0 u uuf v tx y x u v fu tx y u v x y φ φ ⎧⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ + − − =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎨⎜ ⎟ + + =− ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ⎪ ⎪∂ ∂ ⎪ + = ⎪ ∂ ∂ ⎩ （5.17） 由于水平无辐散， 引入流函数 Ψ ’ ，则 ' ' ' ' u v, y x ∂ ∂ ψ ψ =− = ∂ ∂ （5.18） ( ) ( ) 2 1 5.17 5.17 x y ∂ ∂ − ∂ ∂ 并利用（5.17）3→涡度方程(习题 Cha.3-3) ' ' 2 2 2 0 h u t x u y x ψ ψ β ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ∇+− = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ （5.19） 设大气在 ( ) 1 2 y yy ∈ , 的纬向管道内流动，有齐次（刚壁）边界条件： 1 2 ' ' 0 yy yy ψ ψ = = = = （5.20） 设（5.19）式的解为： ' ( ) ( ) ik x ct ψ y e − = Ψ （5.21） （5.21）式代入（5.19）式并设u c − ≠ 0 ，得：
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 a'u d-yp k2|Y=0 (522) dy 设的共轭根为Y,c的共轭根为c,则有: a-u d-yp ∫[(52)y-(52yy: 注意:Y d平dyd _,可得 d(….d平.d a4 v=0(524) u-c l-C 因为,平在yy2处为零,所以(5.24)式左端第一项应为零,则(524)式左端第二项也应为零。 又V=N 2ic,,则有 l-c l-C a2 B 平d=0 对于正压不稳定,c1≠0 au (B-2) 所以 >0,令∫( 平→f(y)=0,此积分式的几何意义:(面积和) S1+S2 因此∫(y)必经过f(y)=0处,即f(y)在(y1,y2)内必定至少改变一次符号。所以,正压不稳定的必要 条件为:在(y,y2)内至少存在一点y,使得 a2u B 0(在y=y处 郭晓岚定理(流体力学中 Reyleigh定理的推广)
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 7 2 2 2 2 2 0 u d y k dy u c β ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ − Ψ ∂ + − Ψ= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （5.22） 设 Ψ 的共轭根为 * Ψ ，c 的共轭根为 * c ，则有： 2 2 * 2 2 * 2 * 0 u d y k dy u c β ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ − Ψ ∂ + − Ψ= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （5.23） () () 2 1 * 5.22 5.23 y y ⎡ ⎤ Ψ− Ψ dy ∫ ⎣ ⎦ ： 注意： 2 2* * * * 2 2 d d dd d dy dy dy dy dy Ψ Ψ ΨΨ ⎛ ⎞ Ψ −Ψ = Ψ −Ψ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，可得： 2 2 1 1 * 2 * * 2 * 1 1 0 y y y y dd d u dy dy dy dy dy y uc uc β ⎛ ⎞⎛ ⎞ ΨΨ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ Ψ −Ψ + − − Ψ Ψ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂ ⎝ ⎠ − − ∫ ∫ （5.24） 因为 * Ψ Ψ, 在 1 2 y y, 处为零，所以（5.24）式左端第一项应为零，则（5.24）式左端第二项也应为零。 又 * Ψ Ψ 2 = Ψ ， * 2 1 1 2 i ic uc uc u c − = − − − ，则有： 2 1 2 2 2 2 0 y i y u y c dy u c β ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ − ∂ ⎝ ⎠ Ψ = − ∫ （5.25） 对于正压不稳定， 0 i c ≠ 所以 2 2 0 u c Ψ > − ，令 ( ) 2 2 2 2 ( ) u y f y u c β ∂ − ∂ = Ψ − ( ) 2 1 0 y y → = f y dy ∫ ，此积分式的几何意义：（面积和） 1 2 s s + = 0， 因此 f ( ) y 必经过 f y() 0 = 处，即 f ( ) y 在( y y 1 2 , ) 内必定至少改变一次符号。所以，正压不稳定的必要 条件为：在( ) 1 2 y y, 内至少存在一点 c y ，使得 2 2 0 u y β ∂ − = ∂ （在 c y y = 处） （5.26） ——郭晓岚定理（流体力学中 Reyleigh 定理的推广）