《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 §4.重力波 定义:重力波是流体介质在重力作用下产生的一种波动,它的产生与垂直运动有关(v≠0) 1.重力外波(表面重力波, surface gravity wave;浅水波, shallow water wave) 处于大气上、下边界附近的空气质点由于某种原因受到扰动后偏离平衡位置,在重力作用下产 生的波动。 链接3D函数绘图软件3 Grapher动态演示表面重力波 图3.6动态演示波动形成过程的截图 1.1波速公式的导出 采用浅水模式方程组,即已经滤除(水平、垂直)声波,并且不考虑科氏力,假定垂直扰动只在 方向传播(一维重力外波),则有线性化的重力外波方程组: +c2 (3.41) 其中C2=gH,C称为 Newton声波(等温大气中的声速,不同于绝热大气或等位温大气), u=0,h=H+h,=gh 采用消元法,(40)--(41): (3.42)
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 1 §4. 重力波 定义：重力波是流体介质在重力作用下产生的一种波动，它的产生与垂直运动有关( ) ' w ≠ 0 。 1. 重力外波（表面重力波，surface gravity wave；浅水波，shallow water wave） 处于大气上、下边界附近的空气质点由于某种原因受到扰动后偏离平衡位置，在重力作用下产 生的波动。 链接 3D 函数绘图软件 3D Grapher 动态演示:表面重力波 图 3.6 动态演示波动形成过程的截图 1.1 波速公式的导出 采用浅水模式方程组，即已经滤除（水平、垂直）声波，并且不考虑科氏力，假定垂直扰动只在 x 方向传播（一维重力外波），则有线性化的重力外波方程组： ' ' u t x ∂ ∂φ = − ∂ ∂ （3.40） ' ' 2 0 0 u C t x ∂ ∂ φ + = ∂ ∂ （3.41） 其中 2 C gH 0 = ， C0 称为 Newton 声波（等温大气中的声速，不同于绝热大气或等位温大气）， u = 0 , '' ' h H h gh =+ = ,φ 。 ( ) 40 41 ( ) t x ∂ ∂ − ∂ ∂ 采用消元法， ： 2 ' 2 ' 2 2 0 C u 0 t x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ ∂ ∂ （3.42）
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 设u具有单波解 (3.43) (343)式代入(3.42)式得: (-ikc)2-C.(ik)=0 所以 C=± (344) 重力外波的波速公式(=0即不考虑西风基流时) 若l= const≠0,则有: t 令(9)=(U,)“(,可得 (3.46) c=l±Cn=l±√gH (3.47) 小结:求波速解的两种方法 1)代入法:令线性化方程组中各变量有单波解代入方程组→系数行列式=0→c的代数方程→波 速公式。 2)消元法:将线性化方程组变量消元→单一变量的微分方程→>令该变量具有单波解→变量为 的代数方程→波速公式 12重力外波的性质 垂直横波,双向波,=Cn=√gH=B√R7=280(ms-),快波,天气学意义不重要 又∵重力外波假设静力平衡,即要求Z/L<<1,对波动而言,流体深度<波长,重力外波也称为 浅水波(水渠波)、(海洋)表面波等
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 2 设 ' u 具有单波解： ' ik x ct ( ) u Ue − = （3.43） （3.43）式代入（3.42）式得： ( ) () 2 2 2 0 − − ikc C ik ＝0 所以 0 c C gH =± =± （3.44） ——重力外波的波速公式 (u = 0 即不考虑西风基流时) 若u const = ≠ 0 ，则有： ' ' u u tx x ⎛ ⎞ ∂∂ ∂φ ⎜ ⎟ + =− ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ' ' 2 0 0 u u C tx x φ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎜ ⎟ + += ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ （3.45） 令 ( ) ( ) ' ' ( ) , , ik x ct u Ue φ − = Φ ，可得： （3.46） 0 c u C u gH =± =± （3.47） 小结：求波速解的两种方法 1） 代入法：令线性化方程组中各变量有单波解代入方程组→系数行列式=0→ c 的代数方程→波 速公式。 2） 消元法：将线性化方程组变量消元→单一变量的微分方程→令该变量具有单波解→变量为 c 的代数方程→波速公式 1.2 重力外波的性质 垂直横波，双向波， 0 c C gH = = RT H g = ( ) 1 RT ms 280 . − = ，快波，天气学意义不重要。 又∵重力外波假设静力平衡，即要求 Z L/ 1 << ，对波动而言，流体深度<<波长，重力外波也称为 浅水波（水渠波）、（海洋）表面波等
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 h (7.t 图3.7重力外波产生的物理机制 13重力外波产生的物理机制 由于某种原因,自由面有起伏《垂直扰动)在A点,h>0=边>0,则A点自由面较邻近点 自由面高→A点附近形成的沿x方向的位势梯度力, g>0(340)2>0(A点附近形 成沿x方向的加速度)→(设l=0)ub0>0,产生水平扰动。 另一方面,,Oh c>0(点自由面离)→a>0341)ax<0,A点附近有水平质量辐合→A 点右方的B点自由面升高(h>0)-…(循环过程同上)初始时刻首先在A点形成的垂直扰动将向右(同 时也向左)传播开来,从而形成重力外波 外部条件:边界面上要有垂直扰动。内部条件:垂直扰动在重力作用下,使水平气压(位势)梯度 改变及伴有的水平辐合、辐散的交替变化 14滤除重力外波的条件 1)假定大气上、下边界是刚体(固壁)边界即上、下边界条件是齐次的(vL==y=0) 2)假定大气是水平无辐散的; 3)假定大气是地转运动的 4)假定大气作纯水平运动("=0) 2.重力内波 又分为两类:1)切变重力内波:发生在不同密度的两层流体交界面上,也称分界面波( interfacial wave),或K-H波( Kelvin- Helmhotz wave);2)层结重力内波:在稳定层结下,空气质点受到扰动 后偏离平衡位置,在重力作用产生的波动。本章讨论的重力内波为层结重力内波
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 3 图 3.7 重力外波产生的物理机制 1.3 重力外波产生的物理机制 由于某种原因，自由面有起伏（垂直扰动）在 A 点， ' ' ' 0, 0 dh h w dt > => ，则 A 点自由面较邻近点 自由面高→A 点附近形成的沿 x 方向的位势梯度力， '' ' 0 (3.40) 0 h u g xx t ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ φ ⎜ ⎟ − =− > > ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ JJJJJJG （A 点附近形 成沿 x 方向的加速度）→（设 ' ' 0 0 | 0) | 0, t t u u = > = > 产生水平扰动。 另一方面，∵ ' 0 h t ∂ > ∂ （A 点自由面高） ' ' 0(3.41) 0 u t x ∂ ∂ φ →> < ∂ ∂ JJJJJJJG ，A 点附近有水平质量辐合→A 点右方的 B 点自由面升高( ) ' h > 0 .....（循环过程同上）∴初始时刻首先在 A 点形成的垂直扰动将向右（同 时也向左）传播开来，从而形成重力外波。 外部条件：边界面上要有垂直扰动。内部条件：垂直扰动在重力作用下，使水平气压（位势）梯度 改变及伴有的水平辐合、辐散的交替变化。 1.4 滤除重力外波的条件 1） 假定大气上、下边界是刚体（固壁）边界，即上、下边界条件是齐次的( ) ' ' 0 | |0 w w z zh = = = = ； 2） 假定大气是水平无辐散的； 3） 假定大气是地转运动的； 4） 假定大气作纯水平运动( ) ' w = 0 。 2. 重力内波 又分为两类：1）切变重力内波：发生在不同密度的两层流体交界面上，也称分界面波（interfacial wave），或 K H− 波（Kelvin-Helmhotlz wave）；2）层结重力内波：在稳定层结下 ，空气质点受到扰动 后偏离平衡位置，在重力作用产生的波动。本章讨论的重力内波为层结重力内波
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 21重力内波的波速公式 预备知识: 1)滞弹性近似:在运动方程组中部分考虑密度扰动的影响,即只保留与重力相联系的密度扰动项 连续方程中忽略密度扰动影响;而热力学方程中保留密度扰动的影响。又称非弹性近似( anelastic approximation)或准包辛内斯克近似。 2)包辛内斯克( Boussinesq)近似:在滞弹性近似的基础上,若考虑的是浅层运动(Z<H,则连续 方程可简化为不可压缩形式;对于密度扰动,只保留膨胀的作用,即 扰动状态方程:p/p=xp/p-0/0「参见<大气动力学》上册(4.100)」→p=-p010 垂直运动方程中仍保留与重力相联系的密度扰动项 3)包辛内斯克方程组(z系线性化方程组的包辛内斯克近似) du 如=-19- ay dw I ap p (348) dt p az (-) 4)重力内波方程组 考虑纯重力内波,可不计地球旋转(92=0,f=0),扰动限定在一个垂直平面(OXZ),是二维运动 改写p=只= const.由(348)→重力内波的控制方程组 0 dt h+19-2 ab8=0
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 4 2.1 重力内波的波速公式 预备知识： 1） 滞弹性近似：在运动方程组中部分考虑密度扰动的影响，即只保留与重力相联系的密度扰动项； 连续方程中忽略密度扰动影响；而热力学方程中保留密度扰动的影响。又称非弹性近似（anelastic approximation）或准包辛内斯克近似。 2） 包辛内斯克（Boussinesq）近似：在滞弹性近似的基础上，若考虑的是浅层运动 (Z<<H)，则连续 方程可简化为不可压缩形式；对于密度扰动，只保留膨胀的作用，即 ' 1' ' ' ' ρ / // / ρ χ θ θ ρ ρθ θ p p − 扰动状态方程： 『参见<<大气动力学>>上册（4.100）』 = − ⇒ =− ； 垂直运动方程中仍保留与重力相联系的密度扰动项。 3） 包辛内斯克方程组（z 系线性化方程组的包辛内斯克近似） ' ' du p 1 ' fv dt x ρ ∂ =− + ∂ ' ' dv p 1 ' fu dt y ρ ∂ =− − ∂ ' '' dw p 1 g dt z ρ ρ ρ ∂ =− − ∂ （3.48） '' ' 0 uvw xyz ∂∂∂ ++ = ∂∂∂ ( ) ' ' 0 d d z w dt dz θ θ + = ' ' θ ρ ρ θ = − 4） 重力内波方程组 考虑纯重力内波，可不计地球旋转( ) Ω= = 0, 0 f ，扰动限定在一个垂直平面（OXZ），是二维运动。 改写 0 ρ ρ == → co s . (3.48) n t 由 重力内波的控制方程组： ' ' 0 1 0 du p dt x ρ ∂ + = ∂ ' '' 0 1 0 dw p g dt z θ ρ θ ∂ + −= ∂
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 (3.49) 其中A是示踪系数(也称滤波系数),若=0,即取水平无辐散近似。上述方程组可改写为: P P at 0 (3.49 ara(P)θ au aw 0 dt (349)式同乘(0)N 解一:先消变量,再对n,w,P设单波解 解二:消去其余三个变量,得到关于的单变量高阶徽分方程 a2/+M2 (3.50) armax 设有二维单波解 得重力内波的频率方程: 2(k2+m2)-ZN2k2=0 (3.51) ±√AkN (3.51) 若A=0,即取水平无辐散近似,O=0,无重力内波; 若N=0,d0 0,即中性层结,O=0,也无重力内波
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 5 ' ' 0 u w x z λ ∂ ∂ + = ∂ ∂ （3.49） ' ' 0 d d w dt dz θ θ + = 其中λ 是示踪系数（也称滤波系数）, 若λ = 0 ，即取水平无辐散近似。上述方程组可改写为： ' ' 0 0 p u t x ρ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ + = ∂ ∂ ' '' 0 0 w p g t z θ ρ θ ∂ ∂ ⎛ ⎞ + −= ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ (3.49）’ ' ' 0 u w x z λ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ' ' 0 d d w dt dz θ θ + = （3.49）4 式同乘 1 θ ' 2 ' 0 N w t g θ θ ∂ ⎛ ⎞ → += ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ 解一：先消变量 ' θ θ ，再对 ' ' ' 0 , , p u w ρ 设单波解。 解二：消去其余三个变量，得到关于 ' w 的单变量高阶微分方程 2 22 2 2 ' 2 22 2 N w 0 t xz x λ λ ⎡ ⎤ ∂ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ++ = ⎣ ⎦ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ （3.50） 设 ' w 有二维单波解 ' i kx m z t ( ) w We + − ω = 得重力内波的频率方程： ( ) 2 2 2 22 ωλ λ k m Nk +− = 0 （3.51） 即 ( ) 2 2 kN k m λ ω λ ± = + （3.51）’ 若λ = 0 ，即取水平无辐散近似，ω = 0 ，无重力内波； 若 N = 0， 0 d dz θ = ，即中性层结，ω = 0 ，也无重力内波