《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 第三章大气中的波动 §1波动的基本概念 §2微扰法与方程组的线性化 §3大气声波 §4重力外波和重力内波 §5惯性振荡与惯性波 §6水平无辐散的 Rossby波 §7有水平辐合辐散的 Rossby波 §8大气混合波一惯性重力外波 §9群速度,波的频散效应 重点:微扰法,重力波和罗斯贝波,相速度和群速度 §1.波动的基本概念 1.波动的表示方法 波动:质点由于受力的作用围绕某个平衡位置振动(振荡)而振动在空间的传播形成波动 波动与振动的联系与区别: 1)波动是振动的传播形式; 2)波动是能量传播的一种基本形式; 3)振动是质点的运动,是仅以时间为自变量的运动,主要属于常微分方程问题(如惯性振荡); 4)波动是以时间、空间为变量的方程,属于偏微分方程问题(如惯性波)。 根据 Fourier迭加原理,大气中所有运动=不同频率、不同振幅的简谐波的迭加 对于空气的微团,若其任何一物理量q仅在x方向呈现周期变化(波动),则可以用周期函数表 q=Acos k(x-c1)-8 或 (x,y, =,t)=A(y,=cos(kx-ot-8) (3.2) (一维波,直线波,对应偏微分方程中的弦振动) 镂接2D函数绘图软件 Advanced Grapher演示:D谐波 其中A,k,C,O,δ皆为波参数。同样: q(x,y, -,t)=A(=)cos(kx+ly-ot-8) (3.3) 二维波,平面波,对应偏微分方程中的膜振动)
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 1 第三章 大气中的波动 §1 波动的基本概念 §2 微扰法与方程组的线性化 §3 大气声波 §4 重力外波和重力内波 §5 惯性振荡与惯性波 §6 水平无辐散的 Rossby 波 §7 有水平辐合辐散的 Rossby 波 §8 大气混合波—惯性重力外波 §9 群速度，波的频散效应 重点：微扰法， 重力波和罗斯贝波，相速度和群速度。 §1. 波动的基本概念 1. 波动的表示方法 波动：质点由于受力的作用围绕某个平衡位置振动（振荡），而振动在空间的传播形成波动。 波动与振动的联系与区别： 1）波动是振动的传播形式； 2）波动是能量传播的一种基本形式； 3）振动是质点的运动，是仅以时间为自变量的运动，主要属于常微分方程问题（如惯性振荡）； 4) 波动是以时间、空间为变量的方程，属于偏微分方程问题（如惯性波）。 根据 Fourier 迭加原理，大气中所有运动=不同频率、不同振幅的简谐波的迭加。 对于空气的微团，若其任何一物理量 q 仅在 x 方向呈现周期变化（波动），则可以用周期函数表 示： q = −− A k x ct cos⎡ ⎤ ( ) δ ⎣ ⎦ (3.1) 或 q x y z t A y z kx t ( ) ()( ) , , , , cos = −− ω δ （3.2） （一维波，直线波，对应偏微分方程中的弦振动） 链接 2D 函数绘图软件 Advanced Grapher 演示:1D 谐波 其中 Akc ,,, , ω δ 皆为波参数。同样： q x y z t A z kx ly t () ( ) , , , ( )cos = +− − ω δ （3.3） （二维波，平面波，对应偏微分方程中的膜振动）
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 q(x,, =,t)=Acos(kx+ly+mz-ot-8 (3.4) (三维波,立体波,对应偏微分方程中的空间振动) 链接曲面函数绘图软件 Grapher动态演示:1D2D3D谐波 31复数的旋转性和周期性 由于复数具有旋转性和周期性并且容易进行微分运算,通常用复数函数表示波动。根据复数的欧拉公 式 e= cos 0+isin e (3.5) 则(3.2)式改写 q(xy)=BRe{e-m-)=Re@=m) (3.6) Q=Ae0(复振幅) 将记号“Re”省写,(3.6)式变为 q(x,y, =,0=ge ik(r-ct) (3.7) 一(一维)波动的常用表达式 称为标准波型法或正交模方法 同样有: q(x,y,=,1)=Q(-)e (38) q(x,y, r, 1=ge r+l-+me -on) (39) 2.波参数 1)振幅:振动所产生的最大位移 A
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 2 q x y z t A kx ly mz t ( ) , , , cos = ++ − − ( ω δ ) （3.4） （三维波，立体波，对应偏微分方程中的空间振动） 链接曲面函数绘图软件 Grapher 动态演示:1D_2D_3D 谐波 图 3.1 复数的旋转性和周期性 由于复数具有旋转性和周期性并且容易进行微分运算，通常用复数函数表示波动。根据复数的欧拉公 式： cos sin i e i θ = + θ θ （3.5） 则（3.2）式改写 ( ) ( ) , , , Re{ } i kx t q x y z t Ae − − ω δ = ( ) Re{ } i kx t Qe −ω = （3.6） i Q Ae− δ = （复振幅） 将记号“ Re ”省写，（3.6）式变为 ( ) ( ) ,,, ik x ct q x y z t Qe − = （3.7） ——（一维）波动的常用表达式 称为标准波型法或正交模方法。 同样有： ( ) () ( ) ,,, i kx ly t q xyzt Q z e + −ω = （3.8） ( ) ( ) ,,, i kx ly mz t q x y z t Qe ++ −ω = （3.9） 2. 波参数 1) 振幅：振动所产生的最大位移 A = max | | q
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 2)位相(角);6=k(x-c)-05:初位相 y 图32筒谐波 3)相速度(波速)c:等位相线(面)移动的速度。 (310) dt 等位相线(面):位相相同的点构成的线(面) 4)波长L:固定时刻相邻两个等位相点之间的距离 5)波数k:用位相角所表示的单位距高内所包含的波长为L的数目 k (311) L 而气象中的绕地球一周波的数目=27F=27a09,其中L为波长 6)周期τ:固定位置上振动重复(波形复原)一次所需要的时间 (312) 7)频率U:单位时间内振动次数。 (3.13) 8)园频率o:用2丌位相角表示的单位时间内的振动次数 =2ms22 (3.14) 或 (3.14) 3.二维波的波数矢K和波速矢C 其中k=O0,00,K=K+/,ys) 波数矢K=k+lj 等位相面沿x、y方向的移速分别为:
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 3 2) 位相（角）；θ = −− k x ct ( ) δ δ ：初位相 图 3.2 简谐波 3) 相速度（波速）c：等位相线（面）移动的速度。 co s n t dx c dt θ = = （3.10） 等位相线（面）：位相相同的点构成的线（面）。 4）波长 L：固定时刻相邻两个等位相点之间的距离。 5）波数 k：用位相角所表示的单位距离内所包含的波长为 L 的数目。 2 k L π = （3.11） 而气象中的绕地球一周波的数目 2 2 cos R a L L π π ϕ = = ，其中 L 为波长。 6）周期 τ：固定位置上振动重复（波形复原）一次所需要的时间。 L 2 c kc π τ = = （3.12） 7）频率υ ：单位时间内振动次数。 1 υ τ = （3.13） 8）园频率 ω：用 2π 位相角表示的单位时间内的振动次数。 2 2 v kc π ω π τ = == （3.14） 或 t θ ω ∂ = − ∂ （3.14）’ 3． 二维波的波数矢 K JJG 和波速矢C JG 波数矢 K ki l j = + JJG GG （3.15） 其中 k l , x y ∂ ∂ θ θ = = ∂ ∂ ， 2 2 KK kl =| |= + JJG ， 2 K L π = 等位相面沿 x、y 方向的移速分别为：
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 dx (3.16) (3.17) 相速矢(波速矢):C=2=2K (3.18) K K√k2 (3.19) C≠c2i+C,j(波速矢C不服从三角形合法法则) K C (3.20) 链接3D函数绘图软件3 D Grapher动态演示:三维表面重力波 4.横波与纵波 41横波:振动方向与波传播方向垂直的波。 ⊥C即VC=0 1)水平横波:质点在水平面的一个方向振动,而波在水平面上的另一个方向传播。 2)垂直横波:质点在垂直方向上振动,但波在水平面上传播。 42纵波:振动方向与波传播方向一致的。 V∥C即IxC=0 图33非线性波的例子—木星大红斑(孤立波) 链接函数绘图软件 Graphmatica演示: Rossby型孤立波
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 4 co s x n t dx c dt k θ ω = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （3.16） co s y n t dy c dt l θ ω = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （3.17） 相速矢（波速矢）： 2 C K K K ω ω = = JG JJG JJG （3.18） 2 2 C K k l ω ω ∴ = = + (3.19) C ci c j ≠ + x y JG G G （波速矢C JG 不服从三角形合法法则） 2 2 x y k l C ci c j K K ⎛⎞ ⎛⎞ = + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ JG G G ∵ （3.20） 链接 3D 函数绘图软件 3D Grapher 动态演示:三维表面重力波 4． 横波与纵波 4.1 横波：振动方向与波传播方向垂直的波。 V C ⊥ JG JG 即 V C⋅ = 0 JG JG 1） 水平横波：质点在水平面的一个方向振动，而波在水平面上的另一个方向传播。 2） 垂直横波：质点在垂直方向上振动，但波在水平面上传播。 4.2 纵波：振动方向与波传播方向一致的。 V C// JG JG 即 V C× = 0 JG JG 图 3.3 非线性波的例子——木星大红斑（孤立波） 链接函数绘图软件 Graphmatica 演示:Rossby 型孤立波
《动力气象学》电子教案一编著、主讲:成都信息工程学院大气科学系李国平教授制作:林蟒、李国平 §2.微扰法与方程组的线性化 1.目的 大气运动方程组是非线性的,直接求解非常困难。 用微扰法(小扰动法)将方程组线性化,讨论简单的波动(线性波)问题。即对波动采用间接 研究方法:求振动解→求波速c 1)小振幅波:振幅远小于波长的波,即A<<L,为线性波,可用小扰动法。 2)有限振幅波:振幅不比波长小很多的波,波动方程组是非线性的(非线性波),不能用小扰动法 2.小扰动法(微扰法)的基本假定(作法) 1)将各种因变量分成两部分,一部分为运动的基本状态,通常与时间t和经度(x)无关;另一部分是扰 动部分,它表示各变量相对与基本状态的偏差。即F=F+F,或F=F-F。 湍流与波动的比较:湍流:平均运动(对1)+脉动(微尺度);波动:平均运动(对tx)+扰动(较 大尺度)。 F 2)扰动量相对平均量很小,即 F 3)当扰动量为零时,基本量也要满足原来的方程组和边界条件。 4)扰动量(或扰动量的微商)的二次乘积项可以在方程组中忽略(线性化的具体体现),即 FF=OF aF 0,F 0 对于地球大气运动,进一步可对主要物理量做如下具体假定 =l+u,且设l= const,(恒定的平均纬向风,即常数型基本气流) (无平均经向风) =,=0 (无平均垂直运动) (3.21) p=p+p,P=p(y,z)(平均气压在南北和垂直方向分布不均匀 p=p+p',p=p(x)(平均密度在垂直分布方向分布不均匀) 而且l<<l,p<P,P<P
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平 5 §2. 微扰法与方程组的线性化 1. 目的 大气运动方程组是非线性的，直接求解非常困难。 ∴ 用微扰法（小扰动法）将方程组线性化，讨论简单的波动（线性波）问题 。即对波动采用间接 研究方法：求振动解→求波速 c 1） 小振幅波：振幅远小于波长的波，即 A << L，为线性波，可用小扰动法。 2） 有限振幅波：振幅不比波长小很多的波，波动方程组是非线性的（非线性波），不能用小扰动法。 2. 小扰动法（微扰法）的基本假定（作法） 1）将各种因变量分成两部分，一部分为运动的基本状态，通常与时间 t 和经度（x）无关；另一部分是扰 动部分，它表示各变量相对与基本状态的偏差。即 ' FFF = + ，或 ' F FF = − 。 湍流与波动的比较：湍流：平均运动（对t ）+脉动（微尺度）；波动：平均运动（对 t，x）+扰动（较 大尺度）。 2）扰动量相对平均量很小，即 ' | | 1 F F << 。 3）当扰动量为零时，基本量也要满足原来的方程组和边界条件。 4）扰动量（或扰动量的微商）的二次乘积项可以在方程组中忽略（线性化的具体体现），即 ' ' '' ' ' 0, 0, 0, F F FF F F x y ∂ ∂ === ∂ ∂ "" 对于地球大气运动，进一步可对主要物理量做如下具体假定: ' u uu = + ,且设 u = const.，（恒定的平均纬向风，即常数型基本气流） ' v vv = = , 0 （无平均经向风） ' w ww = = , 0 （无平均垂直运动） （3.21） ' p =+ = p p p pyz , (,) （平均气压在南北和垂直方向分布不均匀） ' ρ = + ρ ρ , ρ = ρ （z） （平均密度在垂直分布方向分布不均匀） 而且 '' ' u up p << << << , , ρ ρ ， ( ) ( ) 0, 0 x t ∂ ∂ = = ∂ ∂