三参数威布尔分布置信限的确定和C-R-S-N曲线的拟合

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1994.05.005 第16卷第5期 北京科技大学学报 Vol.16 No.5 1994年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing Oct.1994 三参数威布尔分布置信限的确定 和C一R一S一N曲线的拟合 谈嘉祯边新孝 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要论述了利用三参数威布尔分布描述机械零件疲劳寿命，并在一定置信度下求R一S一N曲 线的方法.即根据试验所得的应力一寿命样本，运用优化方法对三参数威布尔分布参数进行估 计；并在一定置信度下，求出不同可靠度的疲劳寿命，进而拟合出C一R-S-N曲线，求出相应的疲 劳极限应力值 关健词威布尔分布，置信限，可靠度 中图分类号TB114 The Determination of Confidence Limits for Weibull Distribution of Three-parameter and the Fitting of C-R-S-N Curves Tan Jiazhen Bian Xinxiao Mechanical Engineering College.USTB.Beijing 100083 ABSTRACT The paper discusses the use of Weibull distribution of three-parameter to des- cribe the fatigue life of machine element,and proposes a new method to fitting R-S-N curves under certain confidence.The parameters of three-parameter Weibull distribution are estimated by optimization,based on the samples of stress-life from tests.The fatigue life at each different reliability is then calculated under centain confidance.Thereafter the C-R-S-N curves can be fitted and the corresponding fatigue limit stress is evaluated KEY WORDS Weibull distribution,confidence limit reliability.fatigue life 虽然正态分布（或对数正态分布）理论在机械零件的疲劳试验数据统计分布中已被广泛应. 用，但它存在一个重大的缺陷，即当失效概率很小时，机械零件的疲劳寿命（或允许的工作应 力)趋近于零，并已被许多试验结果所否定，三参数威布尔分布中有个位置参数，在机械零件 疲劳试验中，它表征最小寿命或最低疲劳强度，这与机械零件疲劳特性的实际相符合，所以， 将三参数威布尔分布理论用于机械零件疲劳试验研究，在目前是最佳的选择. 由于机械零件的疲劳寿命和疲劳强度是随机现象，而随机现象的数量规律一般只能根据 数量有限的样本的观测值来估计，因此既然是推测性的判断，就存在置信度的问题.作者提 1991一11-08收稿第一作者男56岁教授 *国家“七五“攻关课题

第 16 卷 第 5期 北 京 科 技 大 学 学 报 i州 年 10 月 Jo u rn a l o f U n i v e rs iyt o f S d ne ec a n d eT hc n o l o gy B e ij in g V国 . 1 6 N o . 5 O LC I望玛 三参数威 布尔分布置信 限 的确 定 和 C 一 R 一 S 一 N 曲线 的拟合 ’ 谈 嘉祯 边 新孝 北京 科技大学 机械工 程 学院 , 北京 1〕以〕8 3 摘要 论述 了利 用 三参 数威 布 尔分 布描述机械零件疲劳寿 命 , 并在一定置信度下求 R 一 S 一 N 曲 线的方法 . 即根 据试 验 所得 的应 力 一 寿命 样 本 , 运用 优化 方法 对 三 参 数威 布尔 分布 参数 进行 估 计 ; 并在一 定置信度 下 , 求 出不 同可 靠度 的 疲劳寿命 , 进而拟合 出 C 一 R 一 S 一 N 曲线 , 求 出相 应的 疲 劳极限 应力值 . 关健词 威布 尔分 布 , 置信 限 , 可 靠度 中图分类号 T B l l4 T l l e E祀te r m i an t i o n o f C o inf d e n c e L i而ts of r w 亡i b ul l D i s t r i b u t i o n o f T ’h r e e 一 P a r a me te r a dn t he F it t i n g o f C 一 R 一 S 一 N C ur ves 7 h n iJ a 动 en B i a n iX n x i a o M ce h an ica l E n ig n en n g 吻 11 e ge , U S T B , B e ij i n g l (D 〕8 3 A B S T R A C T hT e P a Per d is cus s es th e us e o f W e ib u l d is t ir b u t i o n o f t h re 一 p a ra me t e r to d es - icr be t h e fa t ig u e life o f ma hc i n e e l e m e n 七 a n d Pro P o s es a n e w me t h o d t o if t ti n g R 一 S 一 N ~ u n d er ce rla i n co -inf d en ce . hT e P a ra me te rs o f t h re 一 P a ra me t e r W e ib u l d 认t ir b u t i o n a re es t una 叨 b y o Pt irnj 皿t i o n , b a sde o n t h e s a m PleS o f s t esr s 一 l讹 fr o m est st . hT e af ti g u e ilfe a t ae ch d漩 enr t er li a b il it y 15 th en ca clu l a det u n d e r cen at i n co inf d a n ce . hT e aer ft e r ht e C 一 R 一 S 一 N cu vesr 以 n b e if t t e d a n d t h e co esr P o dn i n g af t ig u e 1i而t s t esr s is e v a lau 喇 K E Y WO R D S W e ib ul d is t ir b u t i o n , co inf d en ce 11而 t elr i a b il ity , fa t ig u e l讹 虽然 正态分 布 ( 或 对数正 态分布 ) 理 论在 机械 零件 的疲 劳 试验 数据 统计分布 中已 被广 泛应 用 , 但 它存 在一 个重 大 的缺 陷 , 即 当失 效 概率 很 小 时 , 机 械 零 件 的 疲 劳 寿命 (或 允 许 的工 作 应 力 )趋 近 于零 , 并已 被许 多试 验结 果 所否 定 . 三参 数 威 布 尔分 布 中 有 个 位 置 参数 , 在 机 械 零 件 疲劳试 验 中 , 它 表 征最 小寿命 或最 低 疲 劳强度 , 这 与机 械 零 件 疲 劳 特 性 的 实 际 相 符 合 . 所 以 , 将三参数威 布 尔分布 理论 用于 机械 零 件疲 劳试 验研究 , 在 目前 是最 佳 的选 择 . 由于 机械零 件的疲 劳寿命和 疲劳 强度 是 随机现 象 , 而 随机 现象 的数 量 规律 一 般 只能 根 据 数量有 限的样本 的观测值来估计 . 因此 既然 是 推 测 性 的 判 断 , 就 存 在置 信 度 的 问题 . 作 者 提 1叩 l 一 1 1一 08 收 稿 第一作 者 男 56 岁 教 授 * 国 家 “ 七 五 ” 攻 关 课题 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1994. 05. 005

.426 北京科技大学学报 1994年No.5 出了在一定置信度下，利用三参数威布尔分布理论拟合机械零件的R-S一N曲线方程，即置 信度一可靠度一疲劳强度一寿命曲线方程，进而求得具有规定置信度和可靠度下任意寿命 时的疲劳极限应力值的方法， 1 三参数威布尔分布的统计特性 三参数威布尔分布累积频率函数为： FM=1-exp[-(W-N)/(N。-N)]N≤N<o (1) 式中，N一试验样本的疲劳寿命（通常以应力循环次数表示）或疲劳强度（以应力表示，这时 式中的”N”均换为”S;N。一位置参数（最小寿命或最低疲劳强度；如为后者，则N。改为 S。);N。-特征参数（特征寿命或特征疲劳强度；如为后者，则N改为S。);b-威布尔分 布形状参数， 三参数威布尔分布频率函数为： b N≤N<r (2) 威布尔分布的均值为： μ=(N。-No)T(1+1b) (3) 威布尔分布的方差为：2=(N,-N。)[T(1+1b厂Γ(1+1b] (4) 2三参数威布尔分布参数的估计 将式(1)变为下面的形式： In(n(1/(1-F(N))))=bIn(N-N)-bIn(N-N) (5) 式中，1-F)=R(可靠度). 令X=ln(N-N),Y=lnnl/(1-FW》及B=bln(N。-N),则式(S)变为直线方程： Y=bX+B (6) 先任取一个N(W,≤Nm,Nm为试验所得的最小寿命)，利用最小二乘法，可求得b、B: b=三xx(含x)医]/[店-（区x门 (1) B=云y-bn店x (8) 式中，n一样本容量.从而可求出N。b及B,同时计算出表征拟合直线的线性符合度r值： r=Lr/(Lxx·L)2 (9) 式中.m店x-(②小：宫r-日（区Lw-店xx-(店x店

· 4 4 2 o 北 京 科 技 大 学 学. 报 男 年 1 6 N . 5 出了 在一 定置 信度 下 , 利 用三参数威 布 尔分布理 论拟合 机械零 件 的 R 一 S 一 N 曲线 方 程 , 即 置 信度 一 可 靠度 一 疲 劳 强度 一 寿命 曲线方程 , 进而 求得 具有 规定置 信度 和 可 靠 度 下 任 意 寿 命 时 的疲劳 极 限应力 值 的方 法 . 1 三参数 威布尔 分布的统计特性 三参数威 布尔 分布 累积 频率 函 数 为 : (F 的 二 1 一 ex P[ 一 (N 一 均 / (aN 一 均勺 N 。蕊 N < 切 (l) 式 中 , N 一 试验 样本 的疲 劳寿命 ( 通常 以应 力 循 环次数 表示 ) 或 疲 劳 强 度 ( 以 应 力 表 示 , 这 时 式 中 的 “ N ” 均 换为 ” ’S ) ; 戈一 位 置 参数 ( 最 小 寿 命或 最 低 疲 劳强 度 ; 如 为 后 者 , 则 凡 改 为 0S ) ; Na 一 特 征参数 (特 征 寿命或特 征疲 劳强 度 ; 如 为后 者 , 则 aN 改 为 s 。 ) ; b 一 威布 尔 分 布 形状参数 . 三 参数 威布 尔分 布频 率 函 数 为 : (3)24 式扔 一 汽 (号 ) ” ex 笼 一 ( 号 ) 」 、 、 N 一 威布 尔分 布 的均 值为 : # = (aN 一 N0 )(r 1 + 1b/ ) 威 布 尔分 布 的方 差 为 : 护 二 (N 。 一 N0) ’ !(r 1 十 1/b) 一 r Z ( l 十 1/ b刀 2 三参数威布尔 分布参数的估计 将式 ( 1) 变 为下面 的形 式 : I n o n ( l /( l 一 F (N) ))) = b l n (N 一 N 。 ) 一 b l n (aN 一 N o ) ( 5 ) 式 中 , 1 一 月叼 二 R ( 可靠 度 ) . 令 X = ln( N 一 N0 ) , y = nI 伽1 (/ 1 一 (F 的) 及 B = b1 n( aN 一 N O) , 则 式 ( 5) 变 为直线 方程 : Y = bX + B ( 6 ) 先 任 取 一 个 N 战N 6( 呱 。 , 呱 。 为 试 验 所 得 的 最 小 寿 命 ) , 利 用 最 小 二 乘 法 , 可求得 b 、 :B ” 一 巨 丫一 青补)价)〕/巨 一 青衡) ’ 〕 (7) 。 一 上 全: 一 。 in/ 戈 ( 8) 式 中 , 。 一 样本容 量 . 从而 可 求 出戈 、 b 及 B, ; = L xY /(L x · L : 同 时计算 出表 征 拟 合 直 线 的 线 性 符 合 度 r值 : 力 , / , ( 9 ) 式 中 , “ 一客 鲜一 告补) ’ : Y ; 一 艺: 2一 生 陀: ) ’ `一 ’ n 勺 一 ’ / L xT 一 艺戈丫 - 贵信雄劝

Vol.16 No.5 谈嘉祯等：三参数威布尔分布置信限的确定和C-R一S一N曲线的拟合 .427. ,的绝对值越接近1，说明两个变量之间线性相关的程度越高.但任取的N。不一定是最佳 值，因为根据任取的N。值算出的符合度r的绝对值不一定最接近于1，为此，须对N。进行优 化，求出最佳N。值，其具体方法如下： 设目标函数U=1-rl,以N。为变量，先取N。=Wmm,然后以固定步长(0≤k<I)递 减，即N。=(1-k)N。,目标函数U→O,直到U减小到不能减小为止，此时的N。为最优值， 取最优的N。值及其对应的N。和b值为三参数威布尔分布的特性参数. 3三参数威布尔分布的置信限的确定 为了在威布尔分布概率纸上图解估计寿命与失效率概率的关系，以试验观测到的一系列 寿命值为横坐标值，以相应的累积失效概率为纵坐标值.设样本容量为”，第j个寿命次序观测 值为x,低于此观测值的母体失效百分数为P,即P,=F(ox).因为各个样本的x值是变化 的，故P是一随机变量， 为了确定F(x,Fo),·,Fox,)的量，设母体具有累积分布函数F(x,样本容量为n 的次序随机样本为，心，…，心x是连续变量，定义： P=FCP) (10) 即，P是在样本容量为的第j个次序观测值前的母体失效百分数.再将母体划分为如表1所 示的3个区域 表1母体划分区域 Table 1 Partitioning of population 区域 1 2 区域界限 0 %-1/2do +1/2d P 在区域中得到一个结果 F(-1/2dx) F(oo 1-Fx+1/2dW 的概率 因为第j个结果发生在区域2，所以(-1)个结果必然发生在区域1，且(-》个结果发生 在区域3.假定区域为互斥的，且每个观测值落在一个特定区域的概率为常数，显然，这种情况 可以应用多项式分布.略去1/2x量级的项，并对照多项式分布的标准形式，便可得出(-1) 个结果落在区域1,1个结果落在区域2，(-)个结果落在区域3的概率为： G-Iin-mF(x元dxl-Foyj n! (11) 因为已定义F(x)=P,将式(12)微分，即 dF(x)=(ox)dx=d,P (12) 因此，概率元成为： n! 9P)d.P(((-P)-d, (13) 式中，0≤n≤1. 上式表示的分布在寿命试验中通常称为排列分布，实际上，随机变量，P概率密度函数是 B分布

vo l . 61 N b . 5 谈嘉祯等 : 三参数威布尔分布置信 限 的确定和 C 一 R 一 S一 N 曲线的 拟合 · 427 · ; 的绝 对值越接 近 l , 说 明两个 变量 之 间线性 相 关的程 度越 高 . 但 任取 的 N0 不 一定 是最 佳 值 , 因为根据 任取 的 N0 值算出 的符合 度 ; 的 绝对值 不 一定最 接 近 于 1 . 为 此 , 须 对 N0 进 行 优 化 , 求出最佳 N0 值 , 其具 体 方法 如下 : 设 目标 函 数 U 二 1 一 川 , 以 N0 为变 量 , 先取 N0 = N 而 n , 然后 以 固定步 长 (0 簇 k < l) 递 减 , 即戈 = ( 1 一 k) NO , 目标 函 数 U ~ O , 直 到 U 减小 到不 能 减小 为止 . 此 时 的 N0 为 最 优 值 , 取 最优 的风 值 及其对应 的 aN 和 b 值为三参数威 布 尔分布 的 特性 参数 . 3 三参数威布尔分布 的置信 限的确 定 为 了 在威布 尔分 布概 率纸 上 图解估计寿命 与失效 率概 率 的 关 系 , 以 试 验 观 测到 的 一 系 列 寿命值 为横坐 标值 , 以 相应 的累 积失 效概 率 为纵 坐标值 . 设样本容 量为 n , 第 j 个 寿命次序观测 值为 内 , 低 于 此 观 测 值 的母 体失 效 百 分 数 为 凡 , 即只= F 协 ,.) 因 为各个样 本 的成值 是 变 化 的 , 故 只是 一 随机变 量 . 为 了确定 F 娜 1 ) , F (ox J , … , 凡 尤口的量 , 设 母 体 具 有 累 积 分 布 函 数 F (x) , 样 本 容 量 为 ” 的次序 随机样 本 为 内 , 八 , … , oxn . x 是 连续 变量 , 定 义 : 。 jP = 凡即 ( 10 ) 即 。 尸是 在 样 本 容 量 为 。 的 第 j个 次 序 观 测值前 的母体 失效 百分 数 . 再将 母体 划分 为如表 1所 示 的3个 区 域 . 表 1 母体 划分区域 J谧b晚 l h 圃 kt 丽吃 of 脚仁alI 位扣 区 域 区 域界 限 0 在 区域 中得到一个结果 的概率 l 必 一 l / Z d 。毛 (F 0xj 一 12/ d0 石) 浴 + l /拟式 (F 必减汽 1一 厂几毛+l /Zd ,戌) 因 为第 j 个 结果 发 生在 区 域 2 , 所 以 仃一 l) 个 结果 必然 发 生在 区 域 1 , 且 ( 。 一 )j 个 结 果 发 生 在 区 域 3 . 假 定 区 域 为互斥 的 , 且每 个观 测值 落在 一个 特定 区 域 的概 率 为 常数 . 显然 , 这 种 情 况 可 以 应用 多项式 分布 . 略去 l/ dZ oxj 量 级 的项 , 并 对照多 项式 分布 的标准 形式 , 便 可得 出 仃一 l) 个 结果 落在 区 域 1 , 1 个结 果 落在 区 域 2 , (n 一j) 个 结果 落在 区域 3 的概率 为 : 勺n2) 了.、 、 .傲、 n ! 仃一 l ) ! ( n 一 力! [ F (0xj) ] , - 次汽) d x [ l 一 F心丙刀 ” 一 , 因为 已 定义 F 认 ) = 。 月 , 将 式 ( 1 2) 微 分 , 即 d F钟 = 钟dx 二 d 。 只 因此 , 概率 元成 为 : g众即d 。 jP = n ! C 一 l ) !( n 一 j) ! 。 月 一 ’ ( l 一 。即 ” 一 , d 。 只 ( 13 ) 式 中 , 0 毛 。 月续 上式表 示 的分布 在 寿命试验 中通 常称为排列分布 . 实 际上 , 随机变量 。 只概率 密度 函 数是 口分 布

.428 北京科技大学学报 1994年No.5 因为，P的概率是个随机变量，为了威布尔概率纸上描点，需选择一个简单的值代表，卫， 通常用平均秩或中位秩表示，·，P的平均值是： )=。-a-P旷'1-Pyd,B n! =G-1m-。P1-.P》d,P (14) 对照β函数的标准形式，式(15)可写成： IG+1加n-jtD=jnH) E(.P)=ELF(-1)(n T(nj+1+j+1) n! (15) 上式表示在样本容量为的排列观测值中，第j个观测值前失效百分数的平均秩等于训n+1). 同样，中位值排列也可用来表示，P,即在样本容量为的排列观测值中，第j个观测值前失 效百分数的中位秩为（推导从略）： Fx)≈(0-0.3)/(n+04) (16) 置信限能够在威布尔概率纸上用排列分布得到.现规定W2和W,-2如下： W-2 g(P )d,P,=a/2 g(Pd P =a.2 Jw 因此 g(P从P=1-x (17) JWi- 式中，x为显著度；量W2和W,-2称为100(1-x)%的非参数置信限. 但是在用排列分布进行置信限计算时，同样遇到确定中位秩的积分问题，为此在文献[] 附录VⅢ提供了数表， 因为排列分布是阝分布，故可用一变换得到F分布的随机变量门于是对于x≥0.50， 置信限可由下式求出： W.=jm+j+1)/[F:-0-+w3+j-j+1】 (18) 对于x<0.50 W,=[i/(n-j+I)Fm+j/(n -j+IFxm (19) 式中Fxn,n:一具有自由度为n、n,的F分布. 下面举例说明在威布尔分布概率纸上作置信限的方法.例如从某种零件中任取5个，在特 定应力下进行疲劳试验，分别测得5个疲劳寿命值V1,N,,,N,·然后按本文第2节所 述方法，求得最小寿命N。,计算出(N-N。),(N2-N),,(N一N。)列入表2中.同时按第 2节所述方法，拟合出累积失效概率与寿命(N一N)的关系直线，画在威布尔概率纸上，如图1 所示的直线，各试验点或多或少偏离直线，这是样本误差所致.将所有不在直线上的点水平移 至直线上，例如将A点移至A'点.再从文献[2]附录VⅢ中分别查出5%置信度和95%置信 度时各次序的累积失效概率，也列于表2中，并描点在图1中，例如在通过A'点的纵坐标上

· 4 2 8 · 北 京 科 技 大 学 学 报 19 4年 N b 因为 。 月的概 率 是个 随机 变量 , 为 了威 布尔 概率纸上 描 点 , 需 选 择一 个 简单的值代表 , 月 · 通 常用 平 均秩 或 中位秩 表示 月 · 。 只的平均 值是 : “ ` : 卜 工 ’ , : 川 口一 l ) ! (n 一j) ! 。 月 一 ’ ( l 一 。 即 ” 一 dj , 只 n ! 口一 l ) ! (n 一力! 工 ’ , 只( l 一 。 只) ” 一 , d 。 jP ( 14 ) 对照 刀函 数 的标 准形 式 , 式 ( 1 5) 可 写成 : E ( 。 即 = E 【尸(成刀 _ n ! T仃+ l ) r ( n 一 j + l ) 仃一 l ) ! (n 一力! T (n 一 j + l + j + l ) = j/ ( n +l ) ( 15 ) 上式 表示 在样 本容 量 为 n 的 排列观 测值 中 , 螂个观测值前失 效 百分 数的 平 均 秩等 于 j/ (n 十 1) . 同样 , 中位值排 列也 可 用来表 示 , 只 , 即在 样本容量 为 。 的排 列观测值中 , 第 j 个观测值前失 效百 分 数 的中位 秩 为 (推导从略 ) : F C产户之 C一 0 . 3) /(n + 0 .4 ) 置信 限 能够 在威 布尔 概率 纸上 用排 列分 布得 到 . 现规定 W 妞 和 W l 一 班 如下 : ( 1 6) 上 城 一 ’ ” g 。: ) d · : 一2/ 因此 又 2 式 明 · 只一,2/ 广 、 g` 只” · 只一 ` 一 “ ( 1 7) 式 中 , : 为显 著度 ; 量 w 求 和 W一 二 称为 10 叩 一 : )% 的非参数置 信限 . 但是 在用 排列 分布 进行 置 信 限计算 时 , 同样 遇 到 确 定 中位 秩 的积 分 间题 , 为 此 在 文 献 fl] 附录 V l 提供 了数 表 . 因 为排列 分布是 刀分 布 , 故 可用 一 变 换 得 到 F 分 布 的 随机变 量 【’ .] 于是 对于 : ) .0 50 , 置 信 限可 由下 式 求 出: 城 = j/ ( n + j + l )/ [ F 卜 二 ; 。 一 , + ; ) , ; + j/ ( n 一 j + l )] ( 18 ) 对于 “ < .0 50 城一 口( n 一 j + l ) ] F 、 、 . 、 , 十 , ) /{[ l + j/ ( n 一 j + l ) ]凡 ; . ( 。 一 , + 1) } ( 19 ) 式 中 F , , nl , n Z 一 具 有 自由度为 1 、 n Z 的 F 分 布 . 下面 举例 说 明在威 布尔分 布 概率 纸上 作置 信 限的方 法 . 例 如从某 种 零件 中任取 5 个 , 在 特 定 应力 下 进行疲 劳 试验 , 分 别测得 5 个 疲劳 寿命 值 N , , N Z , … , N 。 . 然 后 按 本 文 第 2 节 所 述 方法 , 求 得最 小 寿命 N0 , 计算 出 ( N . , N 6 ) , ( 凡 一 嵘 , … , (N S一 N0 ) 列 人表 2 中 . 同时 按 第 2节 所述 方法 , 拟 合 出累积 失效 概率 与寿命 ( 筑 一 N0 ) 的关 系直 线 , 画 在威 布尔 概率 纸上 , 如 图 1 所示 的直线 . 各 试验 点 或多 或少偏 离直 线 , 这 是样 本误差所 致 . 将所有 不在 直 线 上 的点 水 平 移 至直 线 上 , 例如 将 A 点移 至 ’A 点 . 再 从文献 2[] 附 录 V I 中分别 查 出 5 % 置信度 和 95 % 置信 度 时各次序 的累 积失 效概 率 , 也 列于表 2 中 , 并 描点 在 图 1 中 . 例 如 在 通 过 A ’ 点 的 纵 坐标上

6L.16No.5 谈嘉桢等：三参数威布尔分布置信限的确定和C-R一S-N曲线的拟合 .429 分别取1.201%或45.072%描点.将同置信度的各点联成曲线，即分别获得5%和95%的 置信曲线，由图1中可看出，失效概率为10%（即可靠度为90%）的横线与95%置信线、 直线（即置信线度为50%）和5%置信线分别相交于B、C、D点.这3点的横坐标值加N。,就 是置信度分别为95%、50%和5%时，可靠度为90%的疲劳寿命值 上述过程亦可在计算机上实现，所不同的是各次序的置信限用式(18)或(19)计算，置信曲 线用抛物线拟合即可. 表2疲劳寿命和置信限 Table 2 Fatigue life and comfidence limit 序数 N-No,×10 5%置信度时的累积失效概率/% 95%置信度时的累积失效概率% 1 3.2 1.021 45.072 3.9 7.644 65.741 5 18.925 81.075 7.1 34.259 92.356 9.6 54.928 98.979 99.0 90.0 70.0 0 50.0 30.0 20.0 图1在威布尔概率纸上确定置信度 10.0 A Fig.1 Confidence limit construction on 5.0 Weibull paper 3.0 置信曲 2.0 1.0 0.5 1235 1×103 1×10° N-N。 4C-R-S-N曲线的拟合 为了拟合C-R-S-N曲线，可将试件分组，分别在4~5个应力水平上试验.将各应力 水平上试验所得的疲劳寿命值进行排列，按第2节所述方法估计分布参数，按第3节所述方法 求出具有一定置信度C、各种可靠度下的疲劳寿命NR值. 疲劳曲线经验表达式为：S·N=CcR (20) 式中，SR一具有一定置信度和可靠度的疲劳强度（或称疲劳极限应力）；NR一具有一定置 信度和可靠度的疲劳寿命；CCR一常数

物 1 . 61 N b . 5 谈嘉祯等 : 三参 数威 布尔分 布置 信限的确定和 C 一 R 一 S一 N 曲线的 拟合 . 42 9 · 分 别 取 1 . 2 01 % 或 45 .0 27 % 描 点 . 将 同 置 信 度 的 各 点 联 成 曲 线 , 即 分 别 获 得 5% 和 95 % 的 置信 曲线 , 由图 1 中 可看 出 , 失 效 概 率为 10 % ( 即可 靠 度 为 90 % ) 的横 线 与 95 % 置 信线 、 直 线 (即置 信线 度为 50 % ) 和 5 % 置 信线 分别 相交于 B 、 C 、 D 点 . 这 3 点 的横 坐标值加 N 。 , 就 是置 信度 分别 为 95 % 、 50 % 和 5% 时 , 可 靠度 为 90 % 的疲劳 寿命值 . 上 述过程 亦 可在计算机 上 实现 , 所 不 同的是各 次序 的置信 限 用式 ( 18) 或 ( 19) 计算 , 置信 曲 线用 抛 物线拟 合 即可 . 表 2 疲劳寿命和里信限 aT 城 Z aF 傀脾 旋 . 回 。 扣丘抽盆忍 枷l i t 序数 N 一 N0 , x l护 5% 置信度 时的累积失效概率 /% 95 % 置信度 时的 累积失效概率 /% 4 .5 07 2 65 . 74 1 8 1 . 07 5 92 . 356 9.8 979 州021928.5 18.7L 一,n 1 .1 / . D … 门àù气、,`,了Q 产 99 . 0 90 .0 70 . 0 50 . 0 门门日日而 曰日日印 门门门门丁印 门门日 门 门门 门 曰 门 门 门 日 门 门 日 丽 门 m 刊 下 } } } 侧 门 门门 } 日 门 曰 门 门了 幸于 曰尸日日汀们门 门/ 一尸「日「丽 Z 门 ) D . 厂 厂 厂厂「 厂 丽 叮 } { 两{这刀 r e 黔颁 l] 口 门万 } 厂厂m / { 田下 } 图 1 在威布 尔概 率纸上确定置信度 月 9 . 1 C . 云如耽 价川t “ 曰由肋币叨 叨 一ǎ息叫! 一 `, 一 :0 302 罗ù 工口 认讨加山 碑伴r à 1J 一日 一 .10 à2 .503 ó nU戈ùC … 2 心.1 0 N 一 N0 4 C 一 R 一 S 一 N 曲线的拟合 为 了拟 合 C 一 R 一 S 一 N 曲线 , 可将 试件分组 , 分别 在 4 一 5 个应力 水平上 试 验 . 将 各 应 力 水平 上 试验 所得 的疲 劳寿命值进行排 列 , 按第 2 节 所述 方法 估计分布参数 , 按 第 3 节 所述 方 法 求 出具有 一 定置信 度 c 、 各 种可 靠 度下 的疲 劳寿命 N cR 值 . 疲劳 曲线 经验表 达式 为 : 暇 · 戈 R 二 q 只 (2 0) 式 中 , 凡 R 一 具有 一定 置信度 和可靠度 的疲劳 强度 (或称 疲 劳 极 限 应 力 ) ; 八几 R 一 具 有 一 定 置 信度 和 可靠 度 的疲劳 寿命 ; Q R 一 常数