连铸结晶器内传热状态奇异摄动分析及其数值解法

D0I:10.13374/j.issm1001-053x.2001.05.010 第23卷第5期 北京科技大学学报 VoL23 No.5 2001年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct2001 连铸结晶器内传热状态奇异摄动 分析及其数值解法 孙仁济 陈明文薛永革 北京科技大学应用科学学院，北京100083 精要用奇异摄动方法对连铸结晶器内传热状态进行理论分析，并且结合移动网格法构造 了一种奇异摄动数值方法进行了相应的计算.与实验结果比较，两者相符甚好，为结晶过程的 分析及参数控制提供了一个理论依据. 关键闻奇摄动；连铸板坯；网格；凝固潜热：计算方法 分类号01752：0241.8；TF777.1 连铸过程实际上是钢水在特定条件下的凝 固过程，即将钢水的过热、凝固潜热及余热以某 -t8a=A-a,-8a=A-Bf④ 其中，T一热力学温度，K;t一时间，S;x一厚度， 种恰当的方式传出而使钢水凝固的过程.传热 m;y宽度，mp=p()=c-dT一密度，kgm'； 贯穿于连铸过程的始终，对连铸工艺的顺利进 c=c(T)=c+d4T一比热容，J(kg'.K-);k=(T)= 行及连铸坯的质量起着决定性的作用.因此，对 ctdT一传热系数，J(m1.K-s)T一浇注温 凝固过程传热状态进行恰当的分析，是非常必 度，K;w及1分别为结晶器厚度及宽度；c,d及 要的.本文在文献[]的基础上，进一步用奇异 A,B为常数.记为钢锭离开结晶器的时间，引 摄动方法对连铸结晶器内传热状态进行了理论 入量纲为一的量—一温度、时间、宽度和厚度： 分析，并且利用有限差分方法建立了预测一校 正的差分格式，结合网格移动算法构造了一种 =于，i片品=市 (5) 奇异摄动数值方法，对传热模型进行了相应的 并将初始温度以及钢锭离开结晶器的时间取为 计算，得到了与实验相一致的结果 单位1，可将热传导方程(1)及初始条件及边界 条件式(2)(4)改写为量纲为一的形式： 1传热方程及其边界条件的建立 + [1-( 足 以结晶器上端面中心为原点，选取板坯厚 款新 (6) 度方向为x轴，宽度方向为y轴，拉坯方向为z n21.80=0 OT (7) 轴建立直角坐标系.从理论上讲，板坯在x,y,z3 个方向上均有传热，但是由于在实际生产中，z [I+a(I-DHg-6.Vi 方向所传热量只占总传递热量的1%~2%，因此， (8) 将z方向传热忽略.结晶器内部满足传热过程的 (Hta/I-D-a-bVi 非线性偏微分方程 其中，po,c和k为常数，分别表示当温度T=T时 p心肝=品+盼 OT 0 (1) 的密度、比热容及热传导系数，而a,bi=1,2,3,为 以及相应的初始条件及边界条件： 量纲为一的系数记，在所考忠的问题 Txyy,0)=T (2) 中，由于<1为小参数，如果作为初步近似，取 --0-0 w=1,并忽略与有关的项，那么得到微分方程(6) (3) 的退化方程： 收稿日期2001-05-28孙仁济男，56岁，教授，博士 [l+a-ni+a1-019器=-0 (9)

第 23 卷 第 5 期 20 一年 1 0 月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r. a l o f U n vei . yt o f cs 妞 n ec a n d Te e血n o 哪l 岁 Be ij恤 g V b L2 3 N O 一 5 O C t . 20 1 连铸结晶器 内传热状态奇异摄动 分析及其数值解法 孙仁济 陈明 文 薛永革 北京科技大学应用科学学院 , 北京 10 0 83 摘 要 用奇异摄动方 法对 连铸结 晶器 内传热状态进 行理论分析 , 并 且结合移动 网格法 构造 了一种奇异摄动数值方法进 行了相应 的计算 . 与 实验结果 比较 , 两者相符甚好 , 为结晶过程 的 分析及参数控制提供了一个 理论依据 . 关扭词 奇摄动 ; 连铸板坯 ; 网格 ; 凝固潜热 ; 计算方法 分 类号 0 17 5 . 2 : 0 2 4 1 . 8 ; FT 7 7 7 . l 连铸过程 实际上是钢水在特定条件下 的凝 固过程 , 即将钢水 的过热 、 凝 固潜热及余热 以某 种恰 当的方式传出而使钢水凝 固的过程 . 传热 贯 穿于 连铸过程 的始终 , 对连铸工艺 的顺 利进 行 及连铸坯 的质量起着决定性的作用 . 因此 , 对 凝 固过程传热状 态进行恰 当的分析 , 是非常必 要的 . 本文在文 献 【l] 的基础上 , 进一 步用奇异 摄 动方法对连铸结 晶器 内传热状态进行 了理论 分析 , 并 且利用有 限差分 方法建立 了预测一校 正的差分格式 , 结合 网格 移动算法构造 了一种 奇 异摄动数值 方法 , 对传热模 型 进行 了相应 的 计算 , 得到 了 与实验相一致 的结果 . 一嚼 卜` 一 , 一 、 , 一嵘 `一 , 一 、 (4) 其 中 , T 一热力学温度 , K ;t 一时 间 , s ; x 一厚度 , m ; y 宽度 , m ;P = 风乃= c : 一试T 一密度 , kg · m 一 ’ ; c = 试力二 自+ 诱T 一比热 容 , .J (掩 一 ’ · K 一 ’ ) ; k = 双乃= 伪+ 诱 T一传热 系数 , .J (m 一 , · K 一 ’ · s 一 , ) ; 厂 一浇注温 度 , K ; w 及 l 分别为结 晶器厚度及宽度 ; c ` , 试及 A , B 为常数 . 记 ’t 为钢锭离开结晶器的时间 , 引 人 量纲为一 的量— 温度 、 时间 、 宽度 和 厚度 : , = 二 ; _ 二 二 , 止生 . 二 _ ~ 2 匕 丈 = 了 , 了= 了 , x “ 而厄 . , 夕“ ~ 厉 。 ) 并将初 始温度以 及钢锭离开结 晶器的时间取 为 单位 1 , 可将 热传导方程 ( l) 及初始 条件及边界 条 件式 ( 2 )代4) 改写 为量 纲为一 的形式 : 1 传热方程及其边界条件的建立 以结 晶器 上端面 中心 为原 点 , 选 取板坯厚 度方 向为 x 轴 , 宽度方 向为 y 轴 , 拉坯方 向为 z 轴建立直角坐标系 . 从理论 上讲 , 板坯在 x , y , : 3 个方 向上均有传 热 , 但是 由于在实 际生 产 中 , z 方向所传热量只 占总传递热量的 1% 一 2% , 因此 , 将 z 方 向传热 忽略 . 结 晶器 内部满足传热过程 的 非线性偏微 分方程 〔`+ a l `, 一” “〔, + a Z (卜。 〕髻 !牛) ’ 稠一!翻魂戳} 孔 。 一 1 , 器、 二 。 一 。 [ l + a 3 ( 1一 乃」 a了 百万 } : = : = a 一 b l沂 , 二 ( 8 ) 〔, + * “ 一 ” 」箭` =一 。 一 b Z沂 其 中 , 0P , c0 和肠为 常数 , 分别表示 当温度 T 二 厂时 的 密度 、 比热容及 热传导 系数 , 而伪 ,b i, = 1 , 2, 3 ,为 量纲 为一的 系数 . 记户= 4肠’t Poc 耐 , 在所考虑 的问 题 中 , 由于声< l< 为小 参数 , 如果作 为初步 近似 , 取 w = l , 并忽略与有关的项 , 那 么得到微分方程 (6 ) 的退 化方程 : 二 , r . , . 二 , a 了 。 , 。 、 [ ’ +a 1 ( `一乃]〔’恤( , 一乃 ]箭 一 ” ( 9 ) 、, 护、产.、夕 产 卫且 了`丹」, .、 才. 护、 a T a 、 , 二 a T 、 . a , 二 刁T 、 p C ~百了一 寻 托节; 勺宁 `万 , 以 及相应的初始条件 及边界条件 : 玲少 , o ) = r 一 嚼 ; 一 。 , 一 愕 肠一 ” 收稿 日期 2 0 0 1刁5一8 孙仁济 男 , 56 岁 , 教 授 , 博士 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2001. 05. 010

VoL23 No.5 孙仁济等：连铸结晶器内传热状态奇异摄动分析及其数值解法 425· 原来的二阶偏微分方程变为一阶常微分方 根据匹配原理可知 程，方程性质产生了“奇异性”的变化，这是一个 T。=T,=1 (20) 奇异摄动问题)应引进边界层的概念来解决 (2)由内解的展开形式，可知外解的展开形 此问题即在边界层内，票皮部很大通过简 ∂2T 式应为 单分析可知在x=1及=1处均存在有边界层， T=T+√pTtμT+… (21) 下面运用奇异摄动方法中的边界层分析法来解 可证： T1=72=T=…=0 (22) 决此问题. 因此外解 T=T=1 (23) 内解展开式第二项T,所满足的微分方程及 2 奇异摄动边界层分析法 初始条件及边界条件分别为（注意到T。=1) (1)首先考虑外解，对外解作渐近展开，令 远-吃 o1 on (24) T=T+Fu)T+… (10) Tib-o=1 (25) 其中，F)<1,具体形式待定.将式(10)代入方程 (6),由于F四)<1，则首项T满足的微分方程及 g-abnii1 (26) 初始条件分别为： 可用积分变换求得其解的具体形式为 +a1-71a1-Ty器-0 abivie t (27) (11) i2 Toli-o=1 利用分部积分法经过仔细考虑也可将T,的 其解为T=1,这时边界条件 波w=0,韶 形式改写为： -=0自动满足.注意对于外解并不要求满足边 -oa 界条件（⑧），因为对于外解，≠1，且+1.对于内 解，鉴于本问题对于及的对称性，先考虑在 [2a.Viutb:/ert(w (28) =1处的边界层.对变量引进变换 其中erf(u)为余误差函数， 7=2 (12) ent侧=1-)-子erds2网y 并取T,n,=,,则微分方程、初始条件及 而 u-2 (30) 边界条件分别转化为： 以上对位于=1（或y=)处的边界层进行了 a-加*a-9票-a9腰 分析及计算，类似的程序对位于=1（或x=w)处 on 的边界层也是适用的.若以5，=T,表示 (13) 该边界层温度函数的内变量并设它有渐近展开 形式： Th-o-1 (14) T=T+at+… (31) [a-b/D) (15) 经过类似的分析可得： 同样，并不要求内解满足另外3个边界条 i。=1 (32) 件.对于内解作渐近展开，即令 金-ha6et (33) πJ。t-r T=元ti+… (16) 或 7--aivit brynny 2e 代人原方程，因为√<1，则首项T所满足 2J√π 的微分方程、初始条件及边界条件分别为： [2a.Vto.+erE(v) (34) +al-il+a1-7腰- 其中， v=2 (35) 而是x在边界层处的内变量： (1+a ∂r2 (17) > μ (36) 7-o-1 (18) (3)从以上的分析及计算，并运用渐进展开 01 (19) 的匹配原理可得原初边值问题的一致有效渐近 解的形式：

V b2L 3 N .o 5 孙 仁济 等 :连铸结 晶器 内传热 状态 奇异摄 动 分析及 其数 值解 法 . 24 5 . 原来 的二阶偏微 分方程变为一阶常微分 方 程 , 方程性质产生了 “ 奇异性 ” 的变化 , 这是一个 奇异摄动 问题 氏 ” . 应 引进边界层 的概念来解 决 .u , ~ 二 , 一` , 。 二 沙了一 a于~ 一 、二 ~ ~ 几 `月 毯 “ ” 位坦开坛 网 , 百尹联万恨人 · 遇胜 间 单分析 可知在又= 1及夕二 1 处均存 在有边 界层 , 下面运用奇异摄 动方法 中的边界层分析法来解 决此 问题 . 、少声,. 户 `, 4哎曰`U 吸矛. 2 ` . 了.、 甩1 ō 目 一 ~不 孤 ,口 z厂一 , 口凡,` 犷:a l 一二 卜= ~ 下aT, 、 嘛 、 下此 2 奇异摄动边界层 分析法 ( l) 首先考 虑外解 , 对外解作渐 近展开 , 令 了二 九钥切)无十 … ( 1 0 ) 其 中 , 月户) 《 1 , 具体形式 待定 . 将式 l( 0) 代人方程 ( 6 ) , 由于卢专 才 ) 《 1 , 则首 项瓦满足的微分方程及 初 始条件分别 为 : 「 r 二 , . 二 、 , r 二 , . 二 、 , a 砚 l [ l切 , ( l 一几 ) ] [ 1 + 山( l 一兀 )〕 . 气警= 0 l兀 l 、 。 = l 一 一 、 , _ 二 . 、 二 ~ ~ 。 。 , ` 刁于 , 。 a了 . 其 解为几一 ` , 这时边界条件 茜卜 。 一 ” , 茜! , 。 = 0 自动满足 . 注 意对于外解并不 要求满 足边 界条件 (8 ) , 因为对 于外解 沙袭 1 , 且又袭 1 . 对 于 内 解 , 鉴于本问题对 于牙及夕的对称性 , 先考 虑在 夕= 1处 的边界层 . 又妇变量引进 变换 根据匹 配原理 14 可知 0T = 0T = 1 ( 2 0 ) (2 ) 由内解的展开形式 , 可知外解 的展开形 式应 为 了= 瓦+ 而艺切元+ 二 (2 l) 可证 : 云= 又= 乙= … = 0 (2 2) 因此外解 几 = 0T = 1 ( 23 ) 内解展 开式第二项 lT 所满足的微分方程及 初始 条件及边界 条件 分别为 ( 注意到瓦二 l) 可用积分变换求 得其解的具体形式 为 、 一古f 旦潦终 一 ha `27) 利用分部积分法经过仔 细考虑也可将 不的 形式改写 为 : 二 f 二 . 疾 、厢动 2 , ’ 一沙v 什 es二厂 J不 吧 一 十 `、产夕., 、J 、. 1 R甘90 ù, `, ,J `、了.、了了. } 2。 、 + 。 2 减 ` 引1 · “ · , , 一 韶 其 中 e成 ( u) 为余误差 函数 , e 戊( u ) = l 一 e 试u ) , e试 u ) 而 u 一 命 一 去价 一 场 并取 冷 ,n 刁= 爪充另 D , 则微 分方程 、 边界条 件分 别转化 为 : ( 12 ) 初 始条件及 `夕、. 、 ., 资、产`. , 二`, ō 丹内Jj J f 了 j 、. J 才、了、. 〔1+a : ( , 一 。〕〔卜· 2 (卜。〕粤 一 (卜一嵘 - 、 }祭!需} ’ ] , [ (卜伪嚼一喇 九 . 。 一 1 ( 1 3 ) ( 14 ) 以上对位于夕= l( 蜘 J= 乃处 的边界层进行 了 分析及计算 , 类似的程序对位 于又= 1( 或x = w) 处 的边界层也是适用的 . 若 以六勿乃二 殊J 乃表示 该边界层温度函 数的 内变量并设它有渐近展开 形式 : 争 一 免 + 办艺 + 二 ` 森 , a T . 广 , , 二 、 L` 十a , t ` 一 ’ ) J币万l ” 二。 一 v 声L伪一 D , V ` ) 经过类 似的分析可 得 : 同样 , 并 不要 求 内解满 足 另外 3 件 . 对于 内解作渐近展 开 , 即令 ( 1 5 ) 个边界条 子 一 +70 而卜 … ( 1 6 ) 代人原 方程 , 因为而 < < 1 , 则 首项 大所满足 的微分 方程 、 初始条件及边界 条件分别 为 : [ l + a . ( l 一 0T )]〔l + a Z ( l 一 0T7)] ) ]粤 - 一嚼T } 2二 、 。 】 硕 “ 引1 ` v( , 其 电 V一 命 而亡是牙在边界层处 的内变量 : ( 3 4 ) ( 3 5 ) ` 一 箫 ( 3 6 ) (3 )从 以 上的分析及计算 , 并运用渐进展 开 的匹 配原理 可得原初边值 问题的一致有效渐近 解 的形式 : 、 ., 尹、 , 户、了. , 7 . 0八工C, `.几. 了、了. 曰几且. 刹斋 ~ a30T ~瑞 )1 0

426 北京科技大学学报 2001年第5期 T=T+7+7。-limT-lim7=i。+t+i+.(37) (1)考虑模型的离散化及差分格式的建立， 骨一中厘。一十四 或T=1+i+i,+… (38) 对时间()及空间x)域作如下划分： 经过实验检验，由(38)式给出的温度计算与 Π：0=6Kw=l,t=,=t,n=0,12,…N, 数值方法及实测相符甚好.注意到该式仅仅是 0=xox<<x=1,h=xm1-x,j=0,1,2,…J-1, 其渐近解展开到O(√量级的展开式，而这也正 即在时间t轴上采用均匀划分，而在x轴上采用 是渐近摄动方法的一个明显的优点，说明所用 非均匀划分.用T)表示(39(42)的解在节点 的摄动方法是有效的 (,)处的值，T表示用差商代替微商后x,)的 3移动网格法 近似值，并记 △T=T-(前差)，△T=乃-（后差） 移动网格法通常应用于与时间有关的演化 应用数值微分法，并考虑到原方程的非线 问题，对于那些在较小区域内解变化很快，以致 性，建立方程(39)的如下差分格式 于需要较密网格的数值问题，是十分有效的；而 T=2头-+ae- 用一般的数值方法求解含边界层的奇异摄动微 7/2 h+h hh 分方程往往是无效的啊，其主要原因在于在边界 at△：T_+T△1 (43a) 2h,2h- 层内解的幅值变化很快，均匀划分网格的方法 T,T=+o,A-I-五ATA- 所求得的数值解不能正确描述精确解在边界层 h+h h-1 附近的性质.本文尝试将可自动生成非均匀网 -a,(Z+7A.T+4五 2 h, 格的数值方法一移动网格法6应用于奇异摄动 +I庄AT+A工】 (43b) 边界层分析法，获得了成功.其基本思想是：建 2 立原方程的有限差分格式，在计算离散数值解 这是一个二步的预测一校正格式，在预测 的同时，方法本身在边界层内动态自动生成较 步采用了半时间步长的显式格式，在校正步采 致密的网格划分，而同时在外部区域维持原有 用了Nicolson格式，其中n=fT).对于初始条 的网格划分，从而极大地提高了计算的速度与 件(40)，有如下的离散格式： 效率，使求得的数值解能够很好地描述原方程 T=1j=0,1,2,…,J (44) 解的性质。 对于边界条件(41)，引进虚拟节点(-1，)，考 本文综合比较了不同文献中的有关参数的 虑到中心节点的对称性及边界条件本身，有 取法.0，选择了一个实际的板坯连铸模型.分 T,=T,因此在差分格式(43)中可令j=0,便得到 别取：p=p(T)=8600+1.0T,k=(T)=15.90+ 下面的离散格式： 1.15×10-2T,C=C(7)=543.9+9.5×10-2T;T=1550, T2x-人+ax2-a+7a西 2 W=0.12,H=0.6;V=2.6mmin≈0.0433ms', A=267.8,B=3,47.这时有f=号≈13.859a≈ I=6时【1+axA-拾T- 2 0.2199,a2≈-0.2130，a≈-0.5285，a≈3.0351， a,人+Ta,2g+A1(45) 2 h后 b≈1.4117；这时μ=0.02662<<1，确实是一个小 对于边界条件(42)，为了与上面的二步格式 参数.作为初步分析，可认为板坯在宽度方向上 保持一致，采用如下的离散格式： 的温度梯度为0，即=0，为叙述方便，去掉方 dy -注=ga,-b√ h- 程(6)中变量上方的“一”，并记： (46) f)=1+a-对1+a1-刃，8仍=1+a,1-万， B-T=gum(a-brVi) 则方程(6)及相应的初始条件与边界条件可化为 这样，通过上面的分析，我们建立了完整描 =na-ar] OT 述传热问题的差分格式(43(46). (39) (2)考虑用移动网格算法进行具体计算，前 Ie-o=1, (40) 面我们已经建立了预测一校正格式的差分格 8盟-0 (41) 式，可以利用它在已知网格划分的条件下，逐层 9-ga-bn月 (42) 地计算网格节点值.以下将说明如何去根据上

北 京 科 技 于二 孙卜瓦一 hm 子一 l加全= 大 +云 +么.+ 二 甲一十口 考一 十 . 或 , 二 卜办免 + 诉方; + … ( 3 7 ) ( 3 8 ) 经过实验 检验 , 由(38 )式给出的温度计算与 数值方 法及实测相符甚好 . 注意 到该 式仅 仅是 其渐近解展开到以而)量级的展开式 , 而这也正 是 渐近 摄动方法 的一 个明显的优点 , 说明所用 的摄动方法是有 效的 . 3 移动网格法 移动 网格法通常应用于与时间有关的 演化 问题 , 对于那些在较小 区域 内解变化很快 , 以致 于需要较密 网格的数值问题 , 是 十分有效 的; 而 用一 般的数值方法求解含边界层的奇异摄 动微 分方程往往是无效 的 `习 . 其 主 要原 因在于 在边界 层 内解 的幅值变化很快 , 均匀划分 网格 的方法 所求得 的数值解不能正确描述精确解在边界层 附近 的性 质 . 本 文尝试将可 自动生成非均匀 网 格的 数值 方法 一移 动网格法回 ,应用 于奇异摄动 边界层分析法 , 获得 了成功 . 其基本思想是 : 建 立原方程 的有限差分格式 , 在计算离散数 值解 的 同时 , 方法本身在 边界层 内动态 自动生成较 致 密的网格划分 , 而 同时在外部 区 域维持原有 的 网格划分 , 从 而极 大地提 高了 计算的速度 与 效率 , 使求 得的数值解能够 很好地描述原方程 解的性质 . 本文综合 比较 了不 同文献 中的有关参数的 取法 , l, `卜 12 , 选 择了 一个 实际的板 坯连铸模 型 . 分 别取 : 户= 尸(乃= 8 6 0 0 + l . OT, k = k( 乃 = 15 . 9 0 + 1 . 15 x l o 一 Z ,T C = (C 力= 5 4 3 . 9 + 9 . 5 x l 0 一 Z T ; r = 1 5 5 0 , W = 0 . 12 , H = 0 . 6 : 犷= 2 . 6 m · m in 一 ’之 0 . 0 4 3 3 m · s 一 ’ , 一 - - 一 、 、 _ _ . 一 。 H , , 。 , _ A = 26 7 . 8 . B 二 3 . 47 . 这 时有’t = 带“ 13 . 85 5 , a : “ 八 一 ` u 了 ’ 。 , 夕 一 J J ” ` ’ 心 H ” 门 ’ V 一 ` 一 ’ 一 一 , 一 ` 0 . 2 19 9 , a : 渭 一 0 . 2 1 3 0 , a 3 侧 一 0 . 5 2 8 5 , a `侧 3 . 0 3 5 1 , b l司 . 41 17 ; 这时户= .0 0 26 62 < l< , 确 实是一个小 参数 . 作为初步分析 , 可 认为板坯在宽度方向上 的温度梯度 为 0 , 即哥 一 0 · 为叙述方便 , 去掉方 程 (6 ) 中变量 上方的 “ 一 ” , 并记 : f(n 一 风不箭而而而 , 朔 一 l蔽瑟万 , 则方程 (6 )及相应 的初始条件与边界条件可化 为 大 学 学 报 20 01 年 第 5 期 ( l) 考 虑模 型 的离散化 及差分格式 的建立 , 对 时间 (t) 及空间 x( )域作如下划 分: n : 。 一 ot< l< … tn< 一 l , : 一 责 , 。 一 n r ,n 一 。 , 1 , 2 , … , , 0 = x0 众l< … < 沈, , l , 气= 为 + : 一x] , j 二 0 , 1 , 2 , … J 一 1 , 即 在时间 t 轴 上采用均匀 划分 , 而 在x 轴上采 用 非均匀划分 . 用八为 ,幼表示 (39 卜(42 )的解在 节点 x(j ,nt )处的值 , 刀表示用差商代替微商后 联为 , 幼的 近 似值 , 并记 △ + 刀= 职 、 一 刀(前差 ) , △ 一 刀= 刀一 琴 : (后差 ) . 应用 数值微分法 , 并考虑 到原方程 的非线 性 , 建立方程 ( 3 9) 的如下 差分格式 班 一 刀二 一 互二一 r/ Z h, + h, 一 〔(卜一 )(等 一箫 , - 一 (臀竿 一臀箫 )〕 “ , · , 丑…专丑 一 箭 : (卜一 )召带丝 一 蛾淤 丑 ) , 对 + 纷 △ + 罕 ,地 、 刀 一以一一厄一 一 ’ 气 - 解 + 污 △ 一 严 , +A 一 职 1 一一下扩~ 一 一一一下 尸一一一 - )J ` ’n 一 1 (4 3 b ) 这是一个 二步 的预测一校 正 格式 , 在预测 步采用 了半时 间步 长的 显式格式 , 在校正 步采 用了 N ic of so n 格式 , 其 中几 = f( 刀) . 对于 初始条 件 (40 ) , 有 如下 的离散格式 : 刀“ l j 二 0, 1 , 2, … J (科 ) 对于 边界条件 (41 ) , 引进虚拟节点 (一 1 , n) , 考 虑 到 中心 节 点 的对称 性 及边 界条 件本 身 , 有 户一 介 , 因此在差分格式( 4 3) 中可勿 “ O , 便得到 下 面 的离散格式 : }窦一【洲薰: 缨 ’ }~ 丁二 一 j0弓 氏’ +a 洪一荡犷一 - · 3 辉全辫些共 盛型〕 `4 , , 对于边界条件 (4 2) , 为 了与上面的 二步格式 保持 一致 , 采用如下 的离 散格式: 探 ) (4 6 ) 一 吞 .侧冗万) 八咖+a 群 (3(4(4 9)012) 一 山备带} l , 一i 。, 一Tt=(T 州月刁` 币丁卜 ’ “ 器 : 二 】一 。 al( 一”确 这样 , 通过上 面的分析 , 我们建立 了完整描 述传 热问 题 的差分 格式 (4 3卜( 4 6) . (2 )考虑用移 动网格算法进行具体计算 , 前 面 我们 已 经 建立 了预 测 一校正 格式 的差 分格 式 , 可 以利用它在 已知网格划 分的条件下 , 逐层 地计 算网格节点 值 . 以下 将说明如何 去根 据上

Vol.23 No.5 孙仁济等：连铸结品器内传热状态奇异摄动分析及其数值解法 ·427· 层解的性质去获得一个新的网格的划分 16001 设在第n个时间层t.上，已经计算出网格划 1500 分，j=0,1,2,J和在网格点上的解g,)/=0, 出口处温度分布 1300 1,2,J的近似值，j=0,1,2,J,要求下一时间 t1=t+r上的网格划分和T,t)的近似T, 100 j=0,1,2,“J,需要做如下两步工作： (1)利用差分格式(43)在上计算T,t)的 900 近似值T. 700 1 (2)利用直线段连接各点(，T),计算折线 0 2 3456 段的长度总和0，将0分做等分，找出等分点 厚度wlcm PJj=0,l,2,J,利用P在x轴上的映射，定义 图2结晶器出口处温度变化 新的网格划分xj=0,1,2J,然后利用插值算 Fig.2 Temperature of billet at the bottom of the mould 法计算x,)的近似值T. 上述的第(1)步可由前述差分格式的计算直 5.5 4.0 接得到，对第②)步进行细化可得到具体的网格 4.5 5 移动算法. 33 根据上述算法，我们用C语言编写了模拟 4.5 230 程序并进行了计算. 2.0 (3)计算结果讨论.本文计算中取N=20, V/m-min 1.5 3.5 J=10,初始空间网格划分取为寸j=.0,12, 0 34 56 …J 高度hlcm 计算结果列于图1~3和表1中 图3拉速变化对还壳厚度的影响 1600 Fig.3 Influence of the changes of casting speed on the 1500 shell thickness of billet 中心节点温度 1300 表1拉速变化对还壳厚度w的影响 Table 1 Influence of the changes of casting speed on 1100 theshell thickness of billet 边界节点温度 V/mmin11.52.02.53.03.54.04.5 900 w/cm 2.642.161.861.681.441.321.20 700 0 10 203040 5060 高度h/cm 图1中心节点和边界节点温度 Fig.1 Temperatures of the central nodes and bound- ary nodes V=1.5 m/min V-2.0 m/min Va2.$m/min 所列图表的有关数据与前述文献[10-12]中 所给出的理论、数值及实测数据相符甚好.为了 能够更加直观地看到结晶器内的坯壳凝固过 程，下面对计算得到的数据，使用MATLAB软 件及画图工具给出形象的图示，见图4. V-3.0 m/min 作=3.5m/min V4.0 m/min 铸坯出结晶器时的坯壳厚度、表面温度是 图4拉速变化对结晶器内坯壳形成的影响 随着拉速的变化而变化的.一般而言，拉速增大 Fig.4 Influence of the changes of casting speed on 时铸坯出结晶器时的坯壳厚度变薄、表面温度 billet formation 升高.通过上面的分析及图例，可以清楚地看

·428· 北京科技大学‘学报 2001年第5期 到，随着拉速的提高，坯壳逐渐变薄 重庆出版社，1992 6 Coyle J M,Flaherty J E,Ludwig R.On the Stability of 4 结论 Mesh Equidistribution Strategies for Time Dependent Partial Differential Equations.J Comput phys,1986,69: 本文用奇异摄动方法对连铸结晶器内传热 26 状态进行了分析，得到了一个理论近似解，并且 7 Sanz-Serna J M,Christie J.Nonlinear Wave Problems.J 利用有限差分方法建立了一种预测一校正的差 Comput phys,1986,69:348 8 Dorfi E A,Drury I.Simple Adaptive Grids for 1-D Initial 分格式，结合网格移动算法构造了奇异摄动数 Value Problems.JComput Phys,1987,69:175 值方法，对传热模型进行了相应的计算，得到了 9 Blom J G,Sanz-Semna J M.On Simple Moving Grid Me- 与实验相一致的结果 thods for One-Dimentional Evolutionary Partial Differen- tial Equations.J Comput Phys,1988,74:191 参考文献 10 Mizikar E A.Mathematical Heat Transfer Model for Soli- 1孙仁济，吕世意，曲英.连续铸锭结晶器内传热状态 dification of Continuously Cast Steel Slabs.Tran Metall 的分析.化工冶金，1990,11(2)：177 Society of AIME,1967,239:1747 2 O'Malley R E Jr.Introduction to Singular Perturbations. 11 Hills A W D.Simplified Theoretical Treatment for the New York:Academic,1974 Transfer of Heat in Continuous Casting Machine Moulds. 3李家春，周显初.数学物理中的渐近方法.北京：科学 JIron Steel Inst,1965,203:18. 出版社，1998 12 Hills A W D.A Generalized Integral-Profile Method for 4 Kevorkian J,Cole J D.Perturbation Methods in Applied the Analysis of Unidirectional Heat Flow During Solidi- Mathematics.New York:Springer-Verlag,1981 fication.Trans Met Soc AIME,1969,245:1471 5苏煜城，吴启光.奇异摄动问题数值方法引论.重庆： Analysis on Heat Transfer Phenomena in Continuous Casting Mould by Singular Perturbation Method and Its Numerical Calculation SUN Renji,CHEN Mingwen,XUE Yongge Applied Sciences School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Based on the singular perturbation method and composite with the moving-grid method,a new perturbation numerical method is established to analyze the casting process.The results are in good agreement with numerical solutions and measured values,which has laid a theoretical basis for further analysis and para- meters control during the solidification process of billets in continuous casting moulds. KEY WORDS singular perturbations;continuous casting;moving-grid method;heat transfer;numerical method

428 北 京 科 技 大 学 ’ 学 报 1年20 第 s期 到 , 随着拉速 的提高 , 坯壳逐 渐变 薄 . 4 结论 本文用奇异摄动方法对连铸结 晶器 内传热 状态进行 了分析 , 得 到了一个理论近似解 , 并且 利用有限差分方法建立 了一种预测一校 正的差 分格式 , 结合 网格移 动算法构造 了 奇异摄 动数 值方法 , 对传 热模 型进行 了相应 的计算 , 得到了 与实验 相一致 的结 果 参 考 文 献 1 孙 仁济 , 吕世意 , 曲英 . 连续 铸锭 结晶 器 内传热状态 的分析 . 化工 冶金 , 19 90 , 1 1( 2 ) : 17 7 2 0 , M al l叮 R E J .r 】n tr o du e ti o n ot S m gU lar P e rt u r b at i o ns . N e w OY kr : A e ad e m ic , 19 7 4 3 李 家春 , 周显初 . 数学 物理 中的渐近 方法 . 北京 : 科学 出版社 , 19 8 4 众 v o ikr an J , C o l e J D . P e均ur b a t ion M het do s i n A P l i e d M aht e m iat e s . N e w OY r k : S P inr g e r 一 决r l咯 1 98 1 5 苏 煌城 , 吴启光 . 奇异 摄动问题数值方法 引论 . 重 庆 : 重庆 出版 社 , 19 92 6 C o y l e J M , F lha e yrt J E , L u dw ig 又 伪 ht e s abt i liyt o f M e s h E qu i di , 对 but i o n Str at e g i e s ofr T ha e eD 伴 n d e in P a rt i al D i fe ’Ie nt i ia qE u iat on s . J C om Put P勿s , 19 86 , 69 : 2 6 7 S a n z . S e nar J M , C ihr s ti e J . N o n lin e ar 叭厄v e rP o b le m s . J C o m P u t phy s , 19 86 , 69 : 34 8 8 D o 币 E A , D ur yr l . S而P l e A 山甲t i v e G ir ds fo r l 一 D l n i ti a l 、 乞l ue Por bl e m s . J C o m P u t P hy s , 19 87 , 69 : 175 9 B l o m J G , S a n z . S e nar J M . On S ha P l e M o v in g G ir d M e - ht od s fo r o 叭e ` D 面即t i o n al Ev o l ut i o n . 甲 Part iia D i fe 茂 n - t泪 qE 侧at i o ns . J C o m P u t P hy s , 19 88 , 7 4 : 19 1 1 0 M i Z i k , r E A . M a ht em 毗e at H e at rT an s 丘r M od e l fo r s o li - di if e iat on o f C o n tin u o u s ly C ast S眯1 S lab s . T仆口 M e at l l Soc i e yt o f A IM E , 1 96 7 , 23 9 : 1 7 4 7 1 1 比11 5 A W D . S阮P liif e d Th e o ert i e al rT e at m ent fo r ht e 于m n s fe r o f H e at in C o nt in u o u s C ast i n g M ac 加由e M o ul ds . J Ior n S te l I n s 仁 1 9 6 5 , 2 0 3 : 18 . 12 H i ll s A W D . A G e n e ar liez d I net gr a l · P or if l e M e ht o d fo r ht e A n al y s i s o f U n id此e ti o nal eH at F l ow D iur ng S o li di - if e at i o n . T r an s M 以 S oc A IM E , 19 69 , 2 45 : 14 7 1 A n a l y s i s o n H e a t 介 a n s fe r P h e n o m e n a i n C o n t i n u o u s C a s int g M o u l d b y S i n g u l a r P e rt u r b a 住o n M e ht o d a n d Ist N u m e r i e a l C a l e u l a it o n S U N R e ’nj 瓦 C HE N iM n gw e n, X乙IE oY n及笋 AP Plide S e i cen es S e h o l , U S T B e ij in g, B e ij吨 l 0 0() 8 3 , C h in a A B S T R A C T B a s e d o n hte s in gul ar Pe d 刀r b iat o n me ht o d an d co m Po s ite w iht ht e m o v in g 一 igr d m het o d , a en w ep 功盯b a it o n n um ier e a l m e ht od 1 5 e s abt li s he d t o a n a 】y ez ht e e a st ign rP o e e s s . T h e er s ul t s aer i n g o o d a ger em e in w iht n um ier e a l so lut ion s an d m e a s uer d v a l u e s , w hi e h h as l a id a ht e o r e t i e al b as i s fo r 丘川ht e r an aly s i s an d P ar - m et esr e o n tr o l dur in g ht e s of iid if e at i o n rP o c e s s o f b ill est in e ont m u o u` e ast ign m o ul d s · K E Y W O R D S s inJ 叨】ax ep rt . 七at i osn ; c o n tin u o u s c ast in ;g mo vin g 一 hg d m het od ; he at tr 田” fe ;r n um ier ca l m e ht o d