《材料力学》课程教学资源（习题解答）第4章 压杆稳定问题的进一步研究

第四章压杆稳定问题的进一步研究 4-1起重机械中的一部件如图a所示。试问: (1)当求部件的临界力F时,取图b,c中的哪一力学模型较为合理? (2)按图c所示简图,导出求欧拉临界力的方程 (3)若I2=101,1=l2,则按两种简图所得的F之比为多少? 解:(1)油缸虽不受压,但当活塞 杆受压而弯曲时,由于活塞与油缸之间 变形 传递弯曲力矩而使油缸产生弯曲变形, 从而也就影响到F的大小,因此取图 活塞杆 (c)中的力学模型比较合理。 w() (2)按图c简图推导求F的稳定 2(x) 方程 12 每段杆的挠曲线微分方程为 EI2w2(x)=fl-w2(x),即w2(x)+k2w2(x)=k2 故w1(x)=A1 sin+B1 coskx+δ (1) w(x)= Ak cosk x-B- sin (2) (3) w2()=A2k2 coskx-B2k, sink2x (4) 利用边界条件得出用以求F的稳定方程 (1)x=0处,W2=0 0=A2×0+B2×1+,B2=- (2)x=0处,W2=0 0=A2k2-B2k2×0,A2=0 w2=-5 cosk2x+=(1-cosk2x) w2= sink2x (3)x=l2处,W1=W2 A1 sin2+b cosk l22+6=-cosk2l2 (4)x=l2处,=w2(转角相等) Ak1 cosk l2-B2- sin 122=ok2sink2l2 (5)l1+l2处,W1= 即 sin(l+l2)+B1cosk1(1+l2)=0 联列(3)、(4)、(5)中的式 [A, sin kil2+B cos ki +8 cosk =0.........(a) k cosk l2-B k sin k l2-ok sin k212 =0......(b) A sin (+12)+ B cos k (+2)+0 =0........(c) 209

  D  )FU E F  F      , ,  OO )FU  )FU F  F )FU G G       FU    (, Zcc[ ) >  Z [@ Zcc[ N Z    N[ G G       FU    (, Zcc[ ) >  Z [@ Zcc[ N Z    N[ Z [ $ N [  % [N  G        VLQ FRV  Z [ $ N N [ % N N [        c  FRV  VLQ  Z [ $ N [  % [N  G        VLQ FRV  Z [ $ N N [ % N N [        c  FRV  VLQ  )FU  [  Z  u  u  G  G     $    %%  [  Z c   $   %N   u   $N   FRV  FRV     Z G N [  GG  N [ Z N N [    c G VLQ   [ O Z Z         $ VLQ N O  % FRV N O  G  GG FRV ON   [ O   Z Z c c            $ N FRV N O % N VLQ N O GN VLQ ON    O  O G Z VLQ     FRV    G G         $ N O O % N O O $ VLQ N O  O   % FRV N    OO       ° ¯ ° ® ­         VLQ   FRV     F FRV VLQ VLQ  E VLQ FRV FRV  D                               $ N O O % N O O $ N N O % N N O N N O $ N O % N O N O G G )  ,  , )  , )  ,  , )  ,  , [ G    Z [    Z [

因三式中A1,B,不应全等于零,则它们的系数构成的行列式应为零,即 K,, K,l, k, cost,l k, sink 42 - sink242=0 in k,(11+12)cosk,(\+l2) 展开整理得 k2 sin k212 sin k,I k1 亦即稳定方程为k2k2 tank, l1=1 戊即 E1 tan 12)tan(,,1)=1 E El E 亦即 n(,,L2)tan(,,L1)=1 满足(a)式,亦即(b)式的F就是F。 当I2=101,且l1=l2时的(b)式得 0a,/F 1)tan(,1)=1 V10EI VEL √10√10 4)tan(1,4)= 由试算得:当F时满足式(c,此F即为按图c求得的F° 48812 (3)按图(b)中的力学模型,F_2E1 =0.82 F488 讨论:(1)若把油缸对活塞杆的约束当成没有侧移但可转动的弹性支承(实际上油缸顶既可 动又可侧移)。 H(=F-w1(x) 1+k2w1=k2δ,其中k =a sink,x+b, coskx+s w,=ak, cosk.,k, sink,x )在x=0处,w1=0,b1=- (2)在x=0处,w=a=2 210

  G $ %  VLQ   FRV    FRV VLQ VLQ VLQ FRV FRV                          N O O N O O N N O N N O N N O N O N O N O  FRV FRV VLQ VLQ           N N O N O N N O N O WDQ WDQ        N O ON N N D WDQ  WDQ         O (, ) O (, ) (, ) (, ) WDQ  WDQ         / (, ) / (, ) , , E D E ) )FU    , ,   O O E  WDQ    WDQ        O (, ) O (, ) , , WDQ     WDQ       O (, ) O (, ) F     O (, ) F ) F )FUF  E     FUE O (, )    FUE FUF ) )  >  @    0 ) Z [ [ G            (, ) Zcc N Z N G N Z D N [  E [N  G      VLQ FRV Z D N N [ E N N [        c FRV  VLQ  G   [   EZ        N [ Z D M c M

故 y,=sin kx+8 (3)在x=l处,w1=δ k,d 则6 k K k, 41+6, tan K,4 设q=1时的反力矩为B,则 Fo F=B,= B 故 tank,l1 KiB k 稳定方程为 k, tan k1=El 式中的可按左图所示图示,按大刚度杆求得B=4E, 于是,稳定方程可改写为 4EL, 1I k, 4, tank /1=4 1l2 当l1=l2,12=101时 k,l, tank, 4 =40 由试算知,当kl1=1.533时满足上式,于是根据k1= El (1.533) 从而 7t F 4.201 (1.533) πEI 前面按图(c)求得,Faco 现在求得的F偏大了14%。这是因为(1)没有考虑油 缸顶面的侧移,(2)在求β时是按大刚度杆计算的。 (2)若考虑油缸顶面的侧移,且仍考虑转动,而β及w(O0的计算仍按大刚度杆。 M 2m(0) M, l l2 211

 G G M N [  [N  N \     VLQ FRV  G   [ O Z M G G G M G         VLQ FRV  WDQ N N O N O N O N   M  E )G EM E G M ) ) N N O E   WDQ   ) N (,       WDQ (, O N O N O E E    O (, E          WDQ (, O O (, N O N O         WDQ  O O , , N O N O      OO  ,, NO  WDQ NO  NO   FU  (, ) N     FU O  (, )           FU   O (, O (, ) F     FUF O (, ) )FU    E  E  Z   (, 0O M         O (, 0O Z M M     O (, 0 M E

M(x)=F(6-m)w2+k2m1=k,其中k2=E W=A sink,x+ B, cosk,x+8 w=Ak coskx-Bk, sin kx (2) 在x=0处m=2代入(1),得 =B1+ B1 2 在x=0处,m=,代入(2)得 9=4,A1=9 W1=kink *+(2-0)cosk x+o P.+n ol2-6)cos/=0 k1 即 1mk=(-2 因为 F(δ-02)=B tan K, 4, Bk1_1_所1B1 FkiEl K,It El 将B 代入得稳定方程为 4ank=2.4 当4=l2且2=101时,kl1tank1=10,由试算知k4=143满足此式,于是有: F 12=1.432即Fn 4812 此F比按图c算得的Fn大14%,原因在于求B时按大刚度杆考虑的。事实上,油缸未受 轴向压力,故这里算得的Fx比按图c算得者更符合实际。 4-2一根下端固定、上端自由的细长等直压杆如图a所示,为提高其承压能力而在长度中央增 设旁撑(图b),使其在该处不能橫移。试求加固后压杆的欧拉临界力计算公式,并计算如图加前 后临界力的比值。 解:对于上半段 M1(x)=F[6-W1(x) d-w, F 今 F 则 dr2+kwi=k2s 212

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其解为w1= A, sin lx+B1 cos kx+ 从而 A, k cos hr-B, k sin kx (x) 对于下半段 一F M2(x)=F[6-W2]-FC(-x) F F dx- e d W2+=w2 El Fs FC, F d w2+kw.=k2s-Fck1+Fck2 d w+kw,=ks Fcl+rcx) dx 其解为V2=4imkx+B:c0skx+8-21+Ex F 从而 A,k cos h-B,ksin kr 边界条件的利用 0处 0=0+B+d、F Bs-o+FcL ②x=0处,w=0 0=A,k-0 Fc Fc. sin kx-(8 Fk (O-7)cos kx+8-1 Fo cos kx-(o+1)k sin kr F A, sin kl+ B, cos kl+8=--sin kl-(8-L)coskL+8 A1sink+ B, cos kl+δ=0 代入式(a)得 sin kI-(6-0)cos kI+8=0 A sin kI-B,k sin kl cos kl+(8--lk sin kl+ Fc (d) ⑥x=2处,w1=6 8=A sin 2k+B, cos 2 l+8 A, sin 2kI +B, cos 2kI=0

 Z $ N[  FRVVLQ N[%  G    Z $ N N[ % N VLQFRV N[     c   > @     0 [ ) Z ) O [ G   &      G G     O [ (, ) Z (, ) [ Z & G    [ (, ) O (, ) (, ) Z (, ) [ Z & &   G     G G N [ ) ) N O ) ) N Z N [ Z  &  &       G G  G     G G       [ ) ) O ) ) N Z N [ Z & &  G   [ ) ) O ) ) Z $ N[ % N[ & &   VLQ   FRV  G   ) ) Z $ N N[ % N N[ &  c  FRV   VLQ  [  Z  O ) ) O % ) ) % & &           GG  [  Z c  )N ) $ ) ) $ N & &         [ ) ) O ) ) O N[ ) ) N[ )N ) Z & & & &  VLQ    FRV  GG   ) ) O N N[ ) ) N[ ) ) Z & & &  c  FRV  G   VLQ    [ O  ZZ NO )N ) $ NO % NO & VLQ FRV VLQ     G   G N//  G ) )&   FRV D [ ZO   $ VLQ NO  % FRV NO  G  E D  VLQ     FRV NOO GG   ) ) NO )N )& & F   [ O  c ZZ c NO ) ) $ NO % N NO & VLQ VLQ FRV     ) ) O N NO ) )& &  G  VLQ  G G  [  ZO G $ VLQ NO FRV NO%  G   $ VLQ NO   FRV NO%  H ) [    Z [    Z [ )& Z G