附录I截面的几何性质 I-l试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静矩。 解:(a)S=40×20×30×103=2.4×10-5m3 (b)S=20×65×0×109=4.23×10-5m3 (c)S=100×20×140×103=280×10 (d)S=100×40×130×10-9=5.20×10 I-2试用积分法求图示半圆形截面对x轴的静矩,并确定其形心的坐标。 解:求对x轴的静矩时,可取平行于x轴的狭长条作为面积元素,即 da= b(y)dy 从儿L何关系知b()=2√r2- 故有 于是半圆形截面对x轴的静矩是 S,= ydA=52yvr2-yc 令y= sine,则 dy=rcos a6, rcOS 原积分形式变换成 i 求形心坐标,C(x,y) 因为y轴是对称轴,所以x=0:根据静矩与形心关系有 I-3试确定图示各截面的形心位置。 解:(1)坐标轴如图所示,y轴是对称轴,因此 x=0 根据求组合截面形心坐标公式,得 80-1
, , [ \ [ & \ [ & \ & [ [ \ & D P 6] u u u u E P 6] u u u u F P 6] u u u u G P 6] u u u u , [ [ [ G$ E \ G \ E \ \U G$ U \ G \ [ ³ ³ 5 5 [ 6 \ $ \ U \ \ G G \ UVLQT G U\ FRVTGT FRVT U \ U VLQ FRV G U 6 U [ ³ T T T & \[ \ [ U 5 U $ 6 \ [ , \ [ \ [ 2 U E \ & \[ [ 2 U
∑Ay20×400×160+2×20 150×75 20×400+2×20×150 C(x 123.6mm (2)与(1)同理分别得形心坐标 150×10×85+100×10×5 =55mm 10×100+150×10 0×100×50+150×10×5 y 23 mm 10×100+150×10 (3)20号槽钢的横截面积A1=3283mm2 其截面形心C1在图示坐标系中的坐标是 . CO. y x1=-19.5mm VI 角钢80×80×10的截面积A2=1513mm2,其形心坐标 x2=23.5mm y2=23.5 组合截面的形心坐标是 F_Ar+A2x2 A +a 20 C(2, 3283×(-19.5)+1513×23.5 3283+1513 C(,y) Av+a y ·C2(x,y) 80×10 3283×100+1513×23.5 76 mm 3283+1513 1-4试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩I,I 和惯性积I, 解:根据惯性矩的定义与圆对于圆心是极对称。因此四分之一圆截 面对x轴(或y轴)的惯性矩,为全圆对x轴(或y轴)惯性矩的 四分之一,即 C I I=l 4416 求惯性积Ix。首先取平行于x轴的宽dy的窄条单元,该单元 对其自身形心轴的惯性积,因为对称而为零。单元对x轴和y轴的 惯性积,应用平行轴定理得 xudA=(一 r2-y2)yda=dr2-y2)yr-y dy)=ly(2-y2)dy 所以整个截面对x轴和y轴的惯性积为 ydy I-5图示直径为d=200mm的圆形截面,在其上、下对称地切去两个高为=20mm的 弓形,试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩
PP u u u u u u u u ¦ ¦ Q L L Q L L L $ $ \ \ PP u u u u u u [ PP u u u u u u \ $ PP & [ PP \ PP uu $ PP [ PP \ PP $ $ $ [ $ [ [ PP u u $ $ $ \ $ \ \ PP u u , [ \ [ , \ , [\ , [ \ [ \ U U , , [ \ [\ , [ G\ [ \ [\ $ U \ \ $ U \ \ U \ \ \ U \ G \ G G G [ \ ³ ³ U U [\ U , [\ \ \ U \ \ G G , G PP G PP [ \ & \[ [ [ \ & \[ h /hh & [ \ & [ \ & \[ \ [ \ 2 U [ \ 2 [
解:取宽为dy平行于x轴的窄条为面积单元,其面积为 da= b(y)dy d -y dy 该单元对x轴的惯性矩是y2d4=2y2=2 因此整个阴影部分为x轴的惯性矩为积分 1, =22 ydA=4 ydy d 用换元法积分:令y=sin 则dy=- cos ed, 6 2 原积分变换成 2 Sin0cos-0d6 6-sin46) d 100-20 而sinb =08,cosn=√1-sn2=06 =arcsin 0.8=0.926 rad 46=c0s26osin26= sin Bo cos60(2cos6-1)=-0.134 所以13(0.926+0.134)=530×107mm4 I-6试求图示正方形截面对其对角线的惯性矩。 解:解法1(积分法) 取平行于x轴的窄条为面积单元,该单元对x轴的惯性矩为 yb()dy=2y 所以截面对x轴的惯性矩为 Ⅰ=4 y)dy 解法2:知任意三角形对其任一边的惯性矩为一,这里b是底 边长,h是与该底边对应的三角形的高,用于此处,可得正方形截面 对x轴的惯性矩为 bh3 2a(-a) 解法3:因为任何截面对于一对相互垂直轴之每轴的惯性矩加起来的必等于截面对该
G\ [ \ \ G $ E \ \ G G G [ \ \ G \ $ \ G G [ \ \ G , \ $ \ G G [ G G ³ ³ G G VLQT G \ FRVTGT G G \ FRVT G \ G VLQ VLQ FRV G T T T T T T ³ G G , [ VLQ G G G T FRV VLQ T T T DUFVLQ UDG FRV VLQ VLQ FRV FRV VLQ T T T T TT PP , [ u , [ [ \ E \ \ \ D \ G \ G [ ³ D [ D , \ D \ \ G EK E K [ D D D EK , [ [ G [ G 2 \ [ [ \ E \
二轴交点的极惯性矩;截面对平行于边长的形心轴的惯性矩为一系已知;又对于图示x轴 和y轴的惯性矩2、I相等。于是由I2+1,=2×和112° 注:过正多边形形心有无穷多组形心主轴,且其x=Ic I-7试分别求图示环形和箱形截面 对其对称轴x的惯性矩。 解:(1)根据惯性矩的定义,环形 截面的惯性矩等于以外圆为实心截 面的惯性矩,减去以内圆为实心截 面的惯性矩的差,即 x=[(150+2×25)-150] =5.37×107mm4 (2)与(1)同理得 1=(150+2103-90×1503)=9.05×10mm I-8试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的x轴 的惯性矩 解:已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是 bh 利用平行 轴定理,可求得截面对形心轴x的惯性矩 h、2bh I +bh) 所以 bhbh bh3 再次应用平行轴定理,得 1 =1,+(bh)e) h 8bh' bh I-9试求图示r=lm的半圆形截面对于轴x的惯性矩,其中轴x与半圆形的底边平行,相
D [ \ [ , \ , D , , [ \ u D , [ [& \& , , , [ PP > @ u u S , [ PP , [ u u , $ %& [ %& EK [ K EK , [ EK EK EK EK , [ K EK EK EK , [ , [ EK , U P [ [ [ 2 [ [ E $ % & [ E $ % & [
兀d4兀r 解ε知半圆形截面对其底边的惯性矩是 128-8,用平行轴定 理得截面对形心轴x的惯性矩 Z r CI 89 再用平行轴定理,得截面对轴x的惯性矩 (1+-)2 r4 8r x+2+= 14z·124×13 3.3m I-10试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩 解:由于三圆直径相等,并两两相切。它们的圆心构成一个边长为d的等边三角形。该等 边三角形的形心就是组合截面的形心,因此下面两个圆的圆心,到形心轴x的距离是 上面一个圆的圆心到x轴的距离是∽d。 利用平行轴定理,得组合截面对x轴的惯性矩如下: d+πd 11d4 -11试求图示各组合截面对其对称轴x的惯性矩。 250X10 解:(a)22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是 L100×1 3.4×10mm 利用平行轴定理得组合截面对轴x的惯性矩 600×10 x2=3.4×10+2×120×10×115 =6.58×107mm4 b)等边角钢100×100×10的截面积是1926mm2,其形心距外边缘的距离是284 n,求得组合截面对轴x的惯性矩如下:
P G U [ U U U U U , [ [ U U U U U U U , , [ [ P u U U U , [ G [ G G [ G [ @ @ > > G G G G G G G , [ , [ D D u PP [ PP u , [ u u u u E uu PP PP [ [ 2 U [ P U 2 [ P [ [ 2 2 2 G G G [ h ,D [ h h /h