第三章能量法 3-1试求图示杄的应变能。各杆均由同一种材料制成,弹性模量为E。各杄的长度相同。 =F/ =F/ 解:(a)V 2F4 2EA 2E 2F 2F- 47F (b)h=22EAE(202+2+n28Ed2 (c)取dx长的微段(如图),在均布轴力∫的作用下,它具有的应变能: V2=FN(x)d 式中:F(x)=Fx,dA=E=Fxd =F/ EA EAl 杆具有的应变能:K=5dp1F= 2/ EAL 6EA 题(d)与题(c)同理,得杆的应变能 F(1+ vs=odvs=o Fn(x)d4=J F(1+r) 7F21 I EA 3-2试求图示受扭园轴内的应变能(d2=1.5ad1) 解:应变能 =-T TI(I1+In2) 4G1n1/ 式中:1下d,h2=d2=2(1.)5.06m4 90+2a 394 d1.5.060d1d 厌此V T13949672l 4Gπdπd
( D 1 (G ) O G ( ) O ($ ) O 9 E 1 (G O) (G O ) ( G O ) ($ ) O 9 L L L ¦ u F G [ I 9 ) [ G G 1 [ O ) )1 [ [ ($O )[ ($ ) [ [ G G G 1 ' ³ ³ O O ($ ) O [ ($O )[ O )[ 9 9 G G G F ³ ³ ³ O O O ($ ) O [ ($ O [ ) O [ 9 9 ) [ ) 1 G G G G G S S S S S S *, , 7 O , , *, O 7 *, O 7 7 9 7 7 MM S S , G , G G G S S S S G G G G G , , , , u G* 7 O * G 7 O 9 ) G G G G G I ) O G ) ) I ) O [ I ) O ) [ I ) O 0H 0H O O
3-3试计算图示梁或结构内的应变能。略去剪切的影响,EⅠ为已知。对于只受拉伸(或 压缩)的杆件,考虑拉伸(压缩)时的应变能。 解:(a)梁的弯矩方程式: < 利用对称性,得梁的弯曲应变能 d 2EⅠ F213 Fx)dx (b)梁的弯矩方程式 (x1) (0≤x1≤ 梁的应变能 V6 2EFUSM'()dx+u2M(2)dx, q82+平8 2E)dx+292-29) 2EI15364015360EI (c)刚架的弯矩方程 (0≤x1≤D M(,=gl 0≤x2≤l) 江A 刚架的应变能 VE =OM (r, dx,+ oM(x2)dx, 2EI Jo9qx1)dx1+Jo6a12)2dx,] 2EⅠ20420EI (d)结构中梁的弯矩方程 F M(x1) (0≤x1≤D), )=-Fx2(0≤ 3F 拉杆的轴力F 结构的应变能等于梁的弯曲应变能与拉杆的拉伸应变能的和,即
(, D O 0 [ )[ [ dd ³ G O [ (, 0 [ 9 ³ G O (, ) O )[ [ (7 E O 0 [ TO[ [ dd O 0 [ TO[ T[ [ dd > G G @ ³ ³ O O 0 [ [ 0 [ [ (, 9 (, TO T O O TO (, TO[ [ TO[ T[ [ (, O O @ > G @ G > ³ ³ F 0 [ T[ [ dd O 0 [ TO [ dd O > G G @ ³ ³ O O 0 [ [ 0 [ [ (, 9 (, T O T O T O (, T[ [ TO [ (, O O @ > G @ G > ³ ³ G [ [ O ) 0 [ dd O 0 [ )[ [ dd 1 ) ) ) $ O ) ) [ O T $ O TO [ TO [ O ) $ O O T $ O O T O $ T O $ [ ($ O O [ ) ) ) ) [ $ $
FNG IoM()dx+oM(x2)dx21 2EⅠ 3F (2)dx+(c)dx1+3 F2133F21 16El 4EA 3-4图示三角架承受荷载F,AB,AC两 杆的横截面积均为若已知4点的水平 位移4x(向左)和铅垂位移4A(向下),试 按下列情况分别计算三角架的应变能,将t V表达为4。,4的函数。 (a)若三角架由线弹性材料制成,EA为已 知 (b)若三角架由非线性弹性材料制成,其应 力位关系为(=B(则图,B为常数t论 解:(1)由图(a)的变形儿何关系得 AA,=4 ALB=AA=(A,A-A,D)sin 30 =(△ay-△ 4 tan30 三角架积累的应变能 I EAAl V=FB△lB+Fc△lc AB,△la+2 1EA△lA 341)2+(4)2 3a EA +8√3)42-634,4,+3421 (b)若此三角架是由非线性弹性材料制成,其应力—一应变关系为a=B√E见图(b),B 为常数,这一关系对拉伸和压缩相同。 由应变能密度公式得到v2=5oda=BVEd=2B2 3 结合题(a)说明的情况得 2B22B△lB 2B.(4 344x) )2 2B_2B△L32_2B
($ O ) 0 [ [ 0 [ [ (, 9 O O > G G @ 1 ³ ³ ($ ) O (, ) O ($ O ) [ )[ [ )[ (, O O G G @ > ³ ³ ) $% $& $ $ $[ $\ 9 9 $[ $\ D ($ E V % H % D $& $$ $[ 'O WDQ VLQ $ \ $ [ $ \ $ [ O$% $$ $ $ $ ' ' ' ' ' $ $ $& $& $& $% $% $% $% $% $& $& O O ($ O O O ($ O 9 ) O ) O @ > $ \ $[ $ [ D D ($ ' ' ' > @ $[ $[ $ \ $ \ D ($ ' ' ' ' E üü V % H E % ³ ³ H H H V H H H G G % Y % D @ > D % O % % O Y $ \ $ [ $% $% $% $% ' ' H D % O % % O Y $[ $& $& $& $& ' H $ % 0 [ [ )O ) q $ R V H % V % H & ) $ q % & ' ( $ $c $ $% 'O $& 'O
三角架的应变能 =y.+v lA+vl·A 2B 2a4+ 3aa Ba 6√a 3-5试求习题3-4两种情况下的余能。 解:用应变能密度的方法计算 2E2 △l 4,-√34-) E 4-√31 △la 三角架的余能 E ea LA E(4y-√34) E/4 4[42-63A1,A1+(9+83)42] 48a (2)单位体积余能 Jo ado=fondo 3B B△l 4r) (4 A BAlAC=B 三角架的余能 laA+val·A )2√3a B2(4,-√4}+√3BA(、3As Ba 3
9 9 $% 9 $& Y $%O$% $ Y $&O$& $ D$ D % D$ D % $[ $ \ $[ ¸ ¹ · ¨ © § » » » ¼ º « « « ¬ ª ' ' ' $ [ $ \ $ [ D %$ D %$ ' ' ' ³ V V H H V G ( ( YF O D D O $ \ $[ $ \ $ [ $% $% $% ' ' ' ' H O D O $ [ $& $& $& ' H 9F 9F$% 9F$& Y$%O$% $ Y $&O$& $ O $ ( O $ ( $& $& $% $% H H D $ D ( D$ D ( $ \ $[ $[ ¸ ¹ · ¨ © § » » ¼ º « « ¬ ª ' ' ' > @ $ \ $ \ $[ $[ D ($ ' ' ' ' ³ ³ F G G V V H V H V V H V % % % % % Y F » » » ¼ º « « « ¬ ª D % O % % O Y $ \ $ [ $% $% $% $% ' ' H $ \ $[ D D % ' ' F $[ $& $& $& $& % O % % O Y ' H 9F 9F$% 9F$& Y $%O$% $ YFF $&O$& $ D$ D % D $ D D % $ [ $ \ $ [ ' ' ' $[ $ \ $ [ D %$ D %$ ' ' '
3-6试用卡氏第二定理求习题3-3各分题中截面A的铅垂位移。 F213 解:(a)由习题33(a)题的解中,知梁的应变能为V=96 由卡氏第二定理得A截面处的铅垂位移 V F3 由截面A处添加一集中荷载F,梁的应变能: dx,+5o F 1 - qx2)dx, 2E 由卡氏第二定理得截面A处的铅垂位移 2=qx1·x1dx;+f(2( (c)在截面A处添加一集中荷载F,此时结构的应变能 qx1)dx1+0( 2)2dx2 截面处的铅垂位移 dx+Jo2-9l.Idx21 (向下) 2EⅠ2 gEl (d)截面A处的位移 由题3-3(d)解,知结构的应变能 223F2l 16EI 4EA av F- 3Fl 4 3-7试用卡氏第二定理求图示各刚架截面A的位移和截面B的转角。略去剪力F和轴 力FN的影响,EI为已知
$ D D (, ) O 9 $ (, )O ) 9 $\ w w ' $ ) G @ G > [ T[ [ ) TO[ )[ [ TO[ (, 9 O O ³ ³ $ w w $\ ) ) 9 ' G @ G > ³ ³ O O [ [ TO[ [ [ TO[ T[ (, (, TO F $ ) G @ G > ³ ³ O O )[ T[ [ )O TO [ (, 9 w w $\ ) ) 9 ' (, TO T[ [ [ TO O [ (, O O G @ G > ³ ³ G $ G ($ ) O (, ) O 9 ($ )O (, )O ) 9 $ w w ' $ % )6 )1 (, $ % 0H D $ % O $ % , O $ % ) , , , , T ) ) O O ) O $ [ ($ O O ) $ T $ O [ [ ) T O $ [ ) O O