第七章应力状态和强度理论 7-1试从图示各构件中A点和B点处取出单元体并表明单元体各面上的应力。 -4F 解:(a)o=d = 4 πd 33 (b)t=16M3 w。πd3 = 16×8×103 M. =12 KN-m =8kN.m M, 4KN.m π×803×10-9 T=79.6MPa =79.6×10°Pa =79.6MPa (c)∑MA=0 12KN 0.8kN-m FB×1.20-0.8-2×0.4=0 FB=1.333kN M=F0.3=0.4knm 30 Fs=-1.3333kN 400400400 = 1.333×103 2KN TA=max2bh240×120×10 .8kN-m 6 B =0.417×10a=0.417Ma M 0.4×103 400400400 A B=140×1203×102×30×10 12 =41.7MPa =2.08×106Pa=2.08a S2=40×30×45×10-9=54×10-6m3 -TB=0.312MPa 40×120 2= 12×10-12=5.76×10-6m4 =2.08MPa FS1.333×103×54×10- TBb240×10-3×5.76×10 =0.312×10°Pa=.312MPa 6 M39.3 (d)== Wπ×20 32×10-9 =50.0×10°Pa=50.0MPa Am-8-393Nm N.m =78.6 Wπ×20×10-9 0.5m Im 16 =50.0×10Pa=50.0MPa 102
$ % D G ) V E S G 0 : 0 W u u u u 3D u 03D F ¦ 0 $ )% u u )% N1 0 )% u N1 P )6 N1 V $ 6 PD[ u u u u EK ) $ W W 3D 03D u u u u u u \ , 0 ] V % 3D 03D u P 6] u u u u P u u u , ] 3D 03D u u u u u u u ] % ] % E, ) 6 W G u u :] 0 V 3D 03D u S u u : 7 W 3D 03D u O $ ) ) ) G O O G ) V $ D D D 0 N1 P 0 N1 P 0 N1 P $ $ W 03D N1P N1 $ % R ] \ N1P N1 $ )$ % )% $ 03D $ W % 03D % W 03D V % $ 0 1P P P 0 1 P
7-2有一拉伸试样,横截面为40mm×5mm的矩形。在与轴线成a=45°角的面上切应力 τ=150MPa时,试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F的数值。 解:σ F A40×5×10 4=,sin2(45)=2×40×5×10 =150 MPa F=150×10°×2×40×5×10=60×103N=60kN 7-3一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。由于实用的原因,图中的a角限于0~60°范围内。作为 “假定计算”,对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。 现设胶合缝的许用切应力[以为许用拉应力的34,且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。为 了使杆能承受最大的荷载F,试问a角的值应取多大? 解:按正应力强度条件求得的荷载以F。表示: F cosa≤ F cos a 按切应力强度条件求得的荷载以F表示,则 F sin 2a A 2 [\E F sin 2a=Ta] 2A 15]4 当a=0时,F。={l]4,F=∞, a=20时,Fn=11l]4,F=2.3l4, a=45时,Fn=2{4,F1=1.54 a=60时,F=4]4,F=1732(]4 由F、F随a而变化的曲线图中得出,当a=60°时,杆件承受的荷载最大, [F]。=1.732g]4。 若按胶合缝的a达到的同时,x亦达到[刁的条件计算 F cOS ≤[] =- Sin a cosa≤ 则 sin a cosa= cos a tan a a=3653
PPu PP $ D W 03D ) V V u u ) $ ) 03D VLQ u u u $ ) $ V W 1 N1 u u u u u u ) PQ D $ a >W @ >V @ ) D )V V D > @ V V D d FRV $ ) > @ D V V FRV ) $ )W W D > @ W W D VLQ $ ) W D > @ V W D VLQ $ ) > @ D V W VLQ $ ) $ D )V >V @$ )W f $ D )V >V @$ )W >V @$ $ D )V >V @$ )W >V @$ $ D )V >V @$ )W >V @$ )V )W D $ D >)@PD[ >V @$ V D >V @ D W >W @ V D D d > @ V FRV $ ) W D D D > @ V VLQ FRV d $ ) D V D W VLQD FRVD $ ) D FRV $ ) WDQD c $ D P D ) Q ) )V )W )W D )V qc >V@$ >V@$
则 0n=c0(3653)=1=l=1564 0.64 故此时杆件承受的荷载,并不是杆能承受的最大荷载[F] 7-4若上题中拉杆胶合缝的许用应力[=0.5],而[]=7MPa,[=14MPa,则a值应取 多大?若杆的横截面面积为1000m2,试确定其最大许可荷载F。 cos2a≤G],F FF 上sn2a≤[=0 sin 2a 当a=0时,F=[14,F=∞ a=10°时,F=1.064F1=294] a=25时,F=1.2{4,F1=1.3]4 a=45时,Fn=2]4,F={]4 C度 a=60时,Fn=4{4,F1=1.16G]4 由F,F曲线图可知: =F=[F],即=1H cos a sin 2a 即2 sin a cosa=cos2a tana=-,a=26.6 = =1.25×14×10°×1000×10=175kN 26.6 7-5试根据相应的应力圆上的关系,写出图示单元4 体任一斜截面m-n上正应力及切应力的计算公式。 设截面m-n的法线与x轴成a角如图所示(作图时 设,>) 解:由应力圆可知: cos 2a 2 G.-0 Sin2a
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7-6某建筑物地基中的一单元体如图所示,σ,=-0.2MPa(压应力), G,=-0.05MPa(压应力)。试用应力圆求法线与x轴成顺时针60°夹角且垂 直于纸面的斜面上的正应力及切应力,并利用习题7-5中得到的公式进行核对。 解:由应力圆得:σ=-0.162MPa T=-0.065MPa 用σa及a的计算公式计算得 .+σ 0.05-0.2-0.05+0.2 cos(-120°) AT/MPa =-0.1625MPa 2a 120 0.05-(-0.2) sin(-120°) 2 -0.065MPa 7-7试用应力圆的儿何关系求图示悬臂梁距离自由端为 072m的截面上,在顶面以下40mm的一点处的最大及最小 主应力,并求最大主应力与x轴之间的夹角。 解:M4=10×0.72=72kNm F=10kN bh380×(160)3×102 27·3×10m S=80×40×60×10-=192×10°m MAy_72×103×40×10-3 27.3×10 =10.55×105N/m2=10.55MPa FS10×10×192×10 ,= 80×10-3×27.3×10 =0.88MPa 由应力圆员得G1=+1066MPa 3=-0.06MPa r3=-006MPao1=+1066MPa 4.75 7-8各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的儿何关系求: (1)指定截面上的应力 (2)主应力的数值 (3)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向
03D V \ 03D V [ [ $ 03D V D 03D D W V D D W V D D V V V V FRV [ \ [ \ FRV $ 03D D W D V V VLQ [ \ VLQ $ 03D P PP [ 0 $ u N1 P u u EK , ] P u P 6] u u u u u u u u ] $ $ , 0 \ V u 1P 03D 03D 6 u u u u u u ] ] $ E, ) 6 W 03D V 03D V $ D ) V \ V [ V \ V [ q V 03D W 03D q ] \ [ P P ) N1 V $ $ W $ V W $ $ V W D $ W 03D 03D V V & R
解:(a)σ,=25MPa 40MPa 26 MPa 0)o/MPa =20 MPa ,=-40MPa /MPa (b)=-26MPa S0ME F/MPa O,=30 MPa G,=0 0, =-30 MPa (c)O=-50 MPa 50MPa omPa F/MPa 50MP (d o=40MPa I=10 MPa 20MPa t/MPa o,=41MPa C=4IMPa G,=0 OMPa ) 39°3 O/MPa G3=-61MH an=39°35 50MPa 7-9各单元体如图所示。试利用应力圆的儿何关系求 (1)主应力的数值 (2)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 t/MPa 解:(a)a1=160.5MPa -30 0 /MPa 30.5MPa o=-23.56 70MPa (b)01=36.0MPa /MPa G,=0 丁3=-176MPa C1=65.6° 140MPa a/MPa ao gOMPa
D 03D V D 03D D W 03D V V 03D V E 03D V D 03D D W 03D V V 03D V F 03D V D W D V 03D V V G 03D V D 03D D W 03D V V 03D V c $ D D 03D V V 03D V $ D E 03D V V 03D V $ D 03D 03D q V 03D W 03D q VD & R 03D q 03D q V V V 03D W 03D q VD 03D q 03D V [ V \ W 03D R V 03D 03D q 03D 03D D qc 03D V 03D V V V D q VD W 03D V 03D 03D 03D 03D V V q D V 03D W 03D V D R V & 03D 03D 03D V [ V V q D V 03D V D V W 03D & R