例如当z=a>0,na的主值lna(arg=0) Lna=lna+2πik (k=0,±1，±2，…) 当z=-a(a>0)Ln(-a的主值ln(-a)=lna+πi Ln(-a)=lna+(2k+l)元i 特别a=-11n(-1)=1n1+a=ad Ln(-1)=(2k+1)a 注：w=Lnz不仅对正数有意义，对一切非零 复数都有意义.（负数也有对数) 注：在实变函数中，负数无对数，此例说明在复数范 围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的.因 此，复变数对数函数是实变数对数函数的拓广
Ln ln 2 i ( 0 1 2 ) 0 Ln ln (arg 0) a a k k , , , z a , a a z = + = 例如 当 = 的主值 = ( a ) a ( k ) i z a( a ) ( a ) ( a ) a i − = + + = − − − = + Ln ln 2 1 当 0 Ln 的主值ln ln Ln k i a i i ( 1) (2 1) 1 ln( 1) l n1 − = + 特别 = − − = + = .(负数也有对数 ) Lnz , 复数都有意义 注：w = 不仅对正数有意义 对一切非零 注：在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数范 围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的. 因 此, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广
对数函数的性质： (Ln()=Lnz+Lnz,Ln=Lnz-Lnz 22 注：这两个式子两端 都表示集合 等式L=nLnz,Ln√E=Lne.n>l)不成立. n (2)连续性： lnz在除去原点与负实轴外处处连续 因此Lnz的各个分支在复平面上除原点及 负实轴外处处连续
对数函数的性质： 注：这两个式子两端 都表示集合 1 2 2 1 (1) Ln( 1 2 ) Ln 1 Ln 2 Ln Lnz Lnz z z z z = z + z , = − ln . (2) : 在除去原点与负实轴外处处连续 连续性 z . z 负实轴外处处连续 因此Ln 的各个分支在复平面上除原点及 z. ( n ) . n z n z, z n n Ln 1 不成立 1 等式 Ln = Ln Ln =
(3)解析性 lnz在除去原点与负实轴 的平面内解析，且 dw dz dz 7 即- dw 由Lnz=lnz+i2km(k=0,±1，±2，…) 故Lnz的每个分支nz除了原点和负实轴外 均是解析的，且心人=】 今后我们应用对数函数Lnz时，指的都是它在除去原点及 负实轴的平面内的某一单值分支
e z dw dz dz dw w 1 1 1 = = = z z 1 即 (ln )'= 在除去原点与负实轴 的平面内解析 且 解析性 lnz , (3) . z ( z ) ' z ( z ) k k 1 ln Ln ln 均是解析的，且 = 故 的每个分支 除了原点和负实轴外 由Lnz = lnz +i2k ( k = 0，1， 2，) 今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去原点及 负实轴的平面内的某一单值分支
例1求下列各式的值： (1)Ln(-2+3i);(2)Ln(3-√3i)；(3)Ln(-3). 解()Ln(-2+3i) =ln-2+3i+iArg(-2+3i) t3arctanj rk) (k=0,±1，±2，) 9
9 例 1 (1)Ln( 2 3 ); (2)Ln(3 3 ); (3)Ln( 3). : − + i − i − 求下列各式的值 解 (1)Ln ( − 2 + 3 i ) = ln − 2 + 3i + iArg(−2 + 3i)2 . 23 ln13 arctan 21 = + i − + k (k = 0, 1, 2,)
(2)Ln(3-√3) =ln3-√3i+iArg(3-√3动) =h2+arng,2r） =n23+-8 (k=0,±1，士2， 3)Ln(-3)=ln-3+iArg(-3) =ln3+(2k+1)i.(k=0,±1，±2，…)
. 6 ln2 3 2 = + i k − (k = 0, 1, 2, ) (3)Ln(−3) = ln − 3 + iArg(−3) = ln3 + (2k + 1)i. (k = 0, 1, 2, ) (2)Ln(3 − 3i) = ln3 − 3i + iArg(3 − 3i) + − = + i 2k 3 3 ln2 3 arctan