§3.3高阶导数公式 D=D+I,∫()在闭域D上解析。 D 计算[( 作圆周C。15-二0|=P位于D内, ()=(((复闭路定理) f∫(=) (假设lim与|可换) lim f() (由于∫(2)于D内连续) 2myf(二0)
§3.3 高阶导数公式 D = D + , f ( ) 在闭域 D 上解析。 D 计算 − d z f 0 ( ) 作圆周 C :| − z0 |= 位于 D 内， 0 z C 则 − = − C d z f d z f 0 0 ( ) ( ) （复闭路定理） − = − → C d z f d z f 0 0 0 ( ) lim ( ) （假设 lim 与 可换） − = → C d z f 0 0 lim ( ) （由于 f ( ) 于 D 内连续） − = C d z f z 0 0 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 0 0 if z d z f z C = − =
推测 f() d=2mf(二0) 定理(柯西积分公式) D是以简单闭路或复闭路r为边界的有界区 域,f(=)在D上解析,则z。∈D,有 d=2myf(=0) 证:因∫()在D内连续,故vE>0,3>0, 只要|--0Fp<6时,有 l∫()-f(-=0)k E 于 d5-2mf(=0) d f(二0) f()-f(=0) f(<)-f(=0 8 1 2 E 2丌 即lim f() (=0 dc= ln 2mf(=0) 当z在D内变动时, f() fo
推测 = − 2 ( ) ( ) 0 0 d if z z f 定理（柯西积分公式） D 是以简单闭路或复闭路 为边界的有界区 域， f ( ) 在 D 上解析，则 , z0 D 有 2 ( ) ( ) 0 0 d if z z f = − 证：因 ( ) 0, 0, f 在D内连续，故 只要 − = | | 0 z 时，有 2 | ( ) ( ) | f − f z0 由于 2 ( ) | ( ) | | | 0 0 0 − = − − z d if z z f | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | | 0 0 | | | | 0 0 0 0 0 0 − = − = − = − − = − − − = z z z d z f f z d z f z d z f = = − − − = − = 2 2 | | 1 2 | | | | | ( ) ( ) | | | | | 0 0 0 0 z z d d z f f z 即 → − = = − | | 0 0 0 0 2 ( ) ( ) lim z d if z z f 2 ( ) ( ) lim ( ) 0 | | 0 0 0 0 if z d z f d z f z = − = − → − = 当 z 在 D 内变动时， ( ) (*) ( ) 2 1 d f z z f i = −
当为圆周|2-二0=R时,参数方程为 5=0+Re",(0≤0≤2x),代入(*)得 (3)=+Re"Mo 若用此公式来求解,则计算量太大。 例计算 解sn二在|二k1上解析 2nisin o=0 例计算 1(2=+1)(z-2 iL- 由于f() 在闭圆|≤1上解析 例计算/-14- 解(1)I [],=2mi 则解法是错误的
当为圆周 | − z0 |= R 时，参数方程为 Re ,(0 2 ) 0 = + i z ，代入（*）得 = + 2 0 0 0 ( Re ) 2 1 f (z ) f z d i 若用此公式来求解，则计算量太大。 例 计算 | |=1 sin z dz z z 解 sin z 在 | z | 1 上解析， 2 sin 0 0 sin sin | | 1 | | 1 = = = = = i dz d z z z z 例 计算 = + − = | | 1 (2 1)( 2) z dz z z z I 解 = − − − = | | 1 2 1 ( ) 2( 2) z dz z z z I i z z z i 5 ] 2( 2) 2 [ 2 1 = − = − = 由于 2( 2) ( ) − = z z f z 在闭圆 | z | 1 上解析。 例 计算 = − = 2 3 | | ( 1) 1 z dz z z I 解（1） = − = 2 3 | | 1 ( 1) z z dz z I i z i z 2 1 2 [ ] 1 = = = 则解法是错误的
(2)正确解法 d- dz =2m-2m=0 高阶导数公式 由f(=)= f() 得f(=) f(dcy 2mir4-s (假设求导和积分可换) 2m/(1 5 继续求导,得 f"(=)=m〔f(5) d 定理设D是由r(简单闭路或复闭路)围成 的有界区域,f(=)在D上处处解析, 则f(二)在D内有各阶导数,且 f("(z) n!r f(s) 2m(-) nd5(z∈D) 证:用数学归纳法 n=1时,由柯西积分公式 f(=)=一 2m Jr c f(=+A)= ∫() dc 2mhg-(二+A-)
（2）正确解法 2 2 0 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 2 3 2 3 2 3 2 3 | | | | | | | | = − = − − − − = − = = = = i i dz z dz z dz z z dz z z z z z z 高阶导数公式 由 − = d z f i f z ( ) 2 1 ( ) 得 ] ( ) 2 1 ( ) [ − = d z f i f z （假设求导和积分可换） − = − = d z f i d z f i 2 ( ) ( ) 2 1 ] 1 ( ) [ 2 1 继续求导，得 + − = d z f i n f z n n 1 ( ) ( ) ( ) 2 ! ( ) 定理 设 D 是由 （简单闭路或复闭路）围成 的有界区域， f (z)在D 上处处解析， 则 f (z)在D 内有各阶导数，且 + − = ( ) ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 ( ) d z D z f i n f z n n 证：用数学归纳法 n=1 时，由柯西积分公式， − = d z f i f z ( ) 2 1 ( ) − + + = d z z f i f z z ( ) ( ) 2 1 ( )
f(=+△-)-f(=) f() d △22m-(z+△ 2m5-z f() d 要证 ∫() ()d 2i △/(2) 2m1(-x-A)2-z) 设在r上f()M(为有界闭曲线),d是 到上各点的最短距离,设△2,L为厂的长 5--d>0,|5-z-5-2|-|4x号 ∫(<) f(=) 2m(-z-A)2-z)2m △/(2) d 4-|ML →0(△>0) 可知n=1时成立 设n=k时成立,证明n=k+1时也成立,方法同n=1 时,较复杂些,不重复写 论 ∫(=)在〓解析→∫(=)在=任意阶可导,且解析 例:求
] ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 [ 1 ( ) ( ) − − − + = + − d z f i d z z f z i z f z z f z − − − = d z z z f i ( )( ) ( ) 2 1 要证 ( 0) | 0 ( )( ) ( ) 2 1 | | ( ) ( ) 2 1 ( )( ) ( ) 2 1 | 2 2 → → − − − = − − − − − z d z z z zf i d z f i d z z z f i 当 设在 上 | f ( ) | M （ 为有界闭曲线）， d 是 z 到 上各点的最短距离，设 2 d z ， L 为 的长 度，则 2 | | 0, | | | | | | d − z d − z − z − z − z 0 ( 0) 2 | | | | | ( ) | | | | | | ( ) | 2 1 | ( )( ) ( ) 2 1 | | ( ) ( ) 2 1 ( )( ) ( ) 2 1 | 2 2 2 2 2 → → = − + − − − − = − − − − − z d z ML d z z z z f d z z z zf i d z f i d z z z f i d 可知 n=1 时成立。 设 n=k 时成立，证明 n=k+1 时也成立,方法同 n=1 时,较复杂些，不重复写。 推论： f (z)在z0解析 f (z)在z0任意阶可导，且解析。 例：求 | − |=1 − 3 ( ) cos z i dz z i z