§14复变函数的极限和连续 极限的定义 设函数为=f()在点在0的某空心 临域0<2-20<p内有定义。若彐A∈C, vE>0,彐S2(≤p),使当0<-=0|<δ 时,有 f(=)-A<E 则称为f()当趋于=0是的极限,记为 limf(=)=A或者∫(=)→>A(z→>z0 当2→=时,指z在平面上从任何方向, 任何路径 由定义可以得到 定理1.z→z0时 f(=)→>A台f(=)-A→>0 定理2若 f(z=u(x,y)+iv(x,),A=uo +i vo Z0=xo +lyo,2=x+ly, 则有
§1.4 复变函数的极限和连续 则称 为 当 趋于 是的极限，记为 时，有 ， （ ），使当 临域 内有定义。若 ， 设函数为 在点在 的某空心 极限的定义 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) A f z z z f z A z z z z A C w f z z − − − = ` ( ) ( ) 0 lim 0 0 任何路径 当 时，指 在平面上从任何方向， 或者 （ ） z z z f z A f z A z z z z → = → → → 由定义可以得到 ( ) ( ) 0 1. 0 → − → → f z A f z A 定理 z z 时， 定理 2 若 , , ( ) ( , ) ( , ), 0 0 0 0 0 z x iy z x iy f z u x y i v x y A u i v = + = + = + = + 则有
lim∫(=)=A分 lim u(x, y)=uo lim v(x,y)=vo x→x 由二元函数极限的运算性质,可得 定理31imf(=)=A,limg(z)=B, 贝 (1)lim[f(x)±g(x)=A±B (2)li[f(z)·g(z)]=AB 3)当B≠O时,1im 22Lg()」B 举例证明lim-不存在 0 证令z=x+1,沿直线y=mx→>0时 Re X Z→>0 0x+以y1+ 上式随m不同而异,故lm不存在 z→>0
0 0 ( , ) ( , ) ( ) lim lim lim 0 0 0 0 0 u x y u v x y v f z A y y x x y y x x z z = = = → → → → → 由二元函数极限的运算性质，可得 定理 3 f z A g z B， z z y y = = → → ( ) , ( ) lim lim 0 0 则 B A g z f z B f z g z A B f z g z A B z z z z z z = = = → → → ( ) ( ) (3) 0 (2) ( ) ( ) (1) ( ) ( ) lim lim lim 0 0 0 当 时， 上式随 不同而异，故 不存在。 证 令 沿直线 时 举例 证明 不存在 z z m x iy im x z z z x iy z y mx z z Re 1 Re 1 , 0 Re lim lim lim lim z 0 z 0 x 0 z 0 → → → → + = + = = + = →
复变函数的连续性 定义:w=f(二)在z0的某个邻域内有定义, 若当→>时有f(=)→>f(=0.则 称f(=)在z0处连续 若f(=)在区域D处处连续,则称f()在D连续。 由定理2得 定理4,w=f(=)=l(x,y)+tv(x,y)在点 0=xo+lvo连续兮(x,y)和v(x,y)在 都连续 由定义及定理3得 定理5在同一区域内,连续函数的和, 差,积,商(分母不为0)仍连续,连续 函数的复合函数也是连续函数。 由定理4和5得,多项式 =p()=a0+a12+…+an2 在Z平面上处处连续,有理函数 p(2)(p(=,y(-)为多项式) g(=)
复变函数的连续性 称 在 处连续。 若当 时有 则 定义： 在 的某个邻域内有定义， 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ) f z z z z f z f z w f z z → → = 若f (z)在区域D处处连续，则称f (z)在D连续。 由定理 2 得 由定义及定理 得 （ ）都连续。 连续 和 在 定理 ， 在点 3 , ( , ) ( , ) 4 ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 x y z x iy u x y v x y w f z u x y iv x y = + = = + 函数的复合函数也是连续函数。 差，积，商（分母不为 ）仍连续，连续 定理 在同一区域内，连续函数的和， 0 5 为多项式） 在 平面上处处连续，有理函数 由定理 和 得，多项式 ( ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 0 1 p z q z q z p z w Z w p z a a z a z n n = = = + ++
在除去分母为0的点外都连续 由定理4可以得 定理6=f()在有界闭域D上处处连续, 则f(-)在D上也连续,且彐M>0,使 f(-)sMz∈ 证明:由定理4f()=(x,y)+iv(x,y) 在D上处处连续,则函数(x,y),v(x,y)在D 上也是处处连续,从而f(z)=2+y2在D 上连续,由二元连续函数在D上处处连续必 有界,即得。 0z=0 举例:f(=)={m ≠0 +z 问f(z)在原点是否连续? Im 解 l+x223/<1→0(=→>0) 故,⑩m5=0=f(0)f(-)在原点连续 2→>01+2
由定理 可以得 在除去分母为 的点外都连续 4 0 f z M z D f z D M w f z D = ( ) ( ) 0 6 ( ) 则 在 上也连续，且 ，使 定理 在有界闭域 上处处连续， 有界，即得。 上连续，由二元连续函数在 上处处连续必 上也是处处连续，从而 在 在 上处处连续，则函数 在 证明：由定理 D f z u v D D u x y v x y D f z u x y iv x y 2 2 ( ) ( , ), ( , ) 4 ( ) ( , ) ( , ) = + = + ( ) ? 0 1 Im 0 0 ( ) 问 在原点是否连续 举例： f z z z z z f z + = = 故 在原点连续 解： 0 (0), ( ) 1 Im 0 ( 0) 1 1 Im lim 0 2 2 f f z z z y z y z z z x y = = + → → + + = + →
举例f(=) )(二≠0) 2二 试证f(z)在原点无极限,从而不连续 即使补充定义) 证明:令z=r(cosO+ i sine,则 2 f(=) (二+2)(二-2) 2iz 2 27 2,22 rcos 0·2 rsin 6 sin 20 从而limf(z)=0(沿正实轴O=0 limf(x)=1(沿arg=) 0 4 故f(=)在原点无极限
( ) ( ) ( ) ( 0) 2 1 ( ) 即使补充定义 试证 在原点无极限，从而不连续 举例 f z z z z z z i f z = − 故 在原点无极限。 沿 ） 从而 沿正实轴 ） 证明： 令 则 ( ) 4 ( ) 1( arg ( ) 0( 0 sin 2 2 cos 2 sin 2 1 ( )( ) 2 1 2 1 ( ) (cos sin ), lim lim 0 0 2 2 2 2 f z f z f z r r ir z z z z i z z i f z z r i z z r z z = = = = = = + − = − = = + → →