f(r) Spline models First-order spline ● Linear Spline models 分段线性插值 8 10x 节点处一阶导数不连续(不光滑) Second-order O Second-Order Spline models spline 在节点处一阶导数连续 每两个相邻节点组成的区间中推导 个二阶多项式 O Cubic spline models Cubic spline Interpolating cubic 节点处具有连续的一阶、二阶导数 每两个相邻节点组成的区间中推导 个三阶多项式 三阶导数和高阶导数可能不连续
Spline Models ⚫Linear Spline Models ⚫Second-Order Spline Models ⚫Cubic Spline Models • 分段线性插值 • 节点处一阶导数不连续（不光滑） • 在节点处一阶导数连续 • 每两个相邻节点组成的区间中推导 一个二阶多项式 • 节点处具有连续的一阶、二阶导数 • 每两个相邻节点组成的区间中推导 一个三阶多项式 • 三阶导数和高阶导数可能不连续
21.3三阶样条模型 定义 设(x)是区间[ab上的一个二次(m-1次)连续可微函数。在区间 上给定一组基点:a=x0.,=b,设函数 S(x),x∈[x0,x1] S(x)=1S(x),x∈[x1,x Sn(x),x∈xn-1,xn 满足条件: (1)S(x)在区间[ab]上存在二阶(m-1阶)的连续导数; (2)每个子区间[x1x上S()都是一个不高于3次(m次)的多项式; (3)满足插值条件S(x)=f(x),=0,,n。 则称Sax)为函数x)关于基点x、x1、…、xn的三次Ⅷm次)样条插值函数
2.1.3 三阶样条模型
21.3三阶样条模型 低阶多项式的缺点—可能在数据范围的某些地方拟合相当差 三阶样条插值—在连续的数据点间使用不同的三阶多项式,追 踪数据趋势,既保证基本关系的特征,又减少摆动的倾向和数据 变化的灵敏性 对于下面一组数据: 2 3 8 25 在区间x≤xsx2,x2≤x≤x3中分别定义样条函数 S =a,+6x+cx+dx 2=a2+b2x+c2x2+d2x3
2.1.3 三阶样条模型 低阶多项式的缺点——可能在数据范围的某些地方拟合相当差 三阶样条插值——在连续的数据点间使用不同的三阶多项式，追 踪数据趋势，既保证基本关系的特征，又减少摆动的倾向和数据 变化的灵敏性 xi 1 2 3 yi 5 8 25 对于下面一组数据： 在区间 x x x 1 2 , x x x 2 3 中分别定义样条函数 2 3 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 S a b x c x d x S a b x c x d x = + + + = + + +
则需要满足以下4个条件: 1、每一样条必须通过其定义区间的端点 S(x)通过(1)和(2,8)S2(x)通过(2,8)和(3,25),即 5=a1+1b+1c1+ld1 8=42+2b+2c2+23 和 8=a1+2b1+2c1+2d125=a2+3b2+3c2+3al2 2、在内部数据点处,邻接的一阶导数必须匹配保证光滑性 S(2)=S2(2)即b1+2c1x2+31x2=b2+2c2x2+3d2x2 3、每一内部数据点邻接的二阶导数必须匹配 S"(2)=S2(2)即2c1+6d1x2=2c2+6d2x2
1、每一样条必须通过其定义区间的端点 通过（1,5）和（2,8）； 通过（2,8）和（3,25），即 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 5 1 1 1 8 2 2 2 a b c d a b c d = + + + = + + + 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 8 2 2 2 25 3 3 3 a b c d a b c d = + + + = + + + 2 S x( ) 1 S x( ) 2、在内部数据点处，邻接的一阶导数必须匹配——保证光滑性 3、每一内部数据点邻接的二阶导数必须匹配 则需要满足以下4个条件： 和 1 2 S S (2) (2) = 即 1 2 S S (2) (2) = 即
4、端点处的二阶导数满足2种常用条件自然样条:为0; 强制样条:为给定的f(x) S()=S23)=0即2c1+61x1=0 2C2+6d2x3=0 整理上述8个方程组成的线性方程组,就可以求得唯一解 区间 模型 1≤x≤2S(x)=2+10x-10.5x2+35x 2≤x≤3S2(x)=58-74x+31.5x2-3.5x3 从而能够进行数据预测
区间 模型 1 2 S S (1) (3) 0 = = 4、端点处的二阶导数满足2种常用条件——自然样条：为0； 强制样条：为给定的f(x) 即 整理上述8个方程组成的线性方程组，就可以求得唯一解 从而能够进行数据预测 2 3 1 2 3 2 ( ) 2 10 10.5 3.5 ( ) 58 74 31.5 3.5 S x x x x S x x x x = + − + 2 3 x = − + − 1 2 x