高阶多项式的优缺点: 虽然通过已知的数据点,但是在端点处会有严重的摆动; 对于已有数据给出精确的拟合结果,但在端点出可能做出了有问题 的预测,如突升或者突降; 高阶多项式系数对数据微小变化的敏感性限制了它在建模中的应用。 y=-0.0138x6+0.5084x3-6.4279x4+348575x3-739916x2+64.3128x-18.0951 ■ Figure413 a Figure 4.14 Scatterplot of data The plot of 6th-order polynomial fit 4000 superimposed on the scatterplot 3000 00 00 1000 1000
高阶多项式的优缺点： ➢ 虽然通过已知的数据点，但是在端点处会有严重的摆动； ➢ 对于已有数据给出精确的拟合结果，但在端点出可能做出了有问题 的预测，如突升或者突降； ➢ 高阶多项式系数对数据微小变化的敏感性限制了它在建模中的应用
21.3低阶多项式模型 选择低阶多项式,保证数据点多于确定多项式所需系数,从而使得 低阶多项式虽不通过全部数据点,但是光滑化。 Section: Elapsed Time of a Tape recorder revisited 1、应该用多项式吗? 2、如果应该,几阶多项式合适? 引入均差概念 对于一个二次多项式,其二阶导数为常数,三阶导数为零,即 P(x)=a+bx+cx 有 P(x=b+2cx P"(x)=2C P"(x)=0
2.1.3 低阶多项式模型 选择低阶多项式，保证数据点多于确定多项式所需系数，从而使得 低阶多项式虽不通过全部数据点，但是光滑化。 Section: Elapsed Time of a Tape Recorder Revisited 1、应该用多项式吗？ 2、如果应该，几阶多项式合适？ 对于一个二次多项式，其二阶导数为常数，三阶导数为零，即 有 2 P x a bx cx ( ) = + + ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 P x b cx P x c P x = + = = 引入均差概念
利用导数定义 l x→>0△x △J 则可以利用均差 来估计导数 △x Table 4.16 The first and second divided differences estimate the first and second derivatives respectively First Second Data divided difference divided difference y1 y2 2-X1 y3-y2y2-y1 x3-x2x2-x1 x2 2 y3-y2 x3-x2 3 y3
利用导数定义： 则可以利用均差 来估计导数 0 lim x dy y dx x → = y x
带式录音机数据的均差表 Table 4.18 A divided difference table for the tape recorder data Data Divided differences x 本 本2 3 100 205 2.2500 200 0.0011 2.4700 0.0000 300 677 0.00l1 0.0000 2.6800 0.0000 400 945 0.0010 0.0000 2.8800 0.0000 500 1233 0.0011 0.0000 3.0900 0.0000 600 1542 0.00l1 0.0000 3.3000 0.0000 700 1872 0.0011 3.5200 800 2224 表中可以看出,数据基本是二次的,支持用二次多项式作为经验模型。 P(x=a+bx+cx 寻求一个二次式,极小化偏差平方和 Minimize s ∑ a+bc +dc
带式录音机数据的均差表 表中可以看出，数据基本是二次的，支持用二次多项式作为经验模型。 2 P x a bx cx ( ) = + + 寻求一个二次式，极小化偏差平方和 Minimize 2 2 1 [ ( )] m i i i i S t a bc dc = = − + +
minimize=∑-(a++t) as as aS 存在极小点的必要条件是 da ab ad 从而有方程 )b+ △)a+∑)+∑)=∑ c2)a+(c3)b+( C. t 得到P(c)=014286+1.94226c+000150多 其中m=8,C;表示计数器读数,即xi/100,表示对应的播放时间
Minimize 2 2 1 [ ( )] m i i i i S t a bc dc = = − + + 存在极小点的必要条件是： 从而有方程： 其中m=8， 表示计数器读数，即xi/100 ,ti表示对应的播放时间 得到 0 S S S a b d = = = 2 2 3 2 3 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i i ma c b c d t c a c b c d c t c a c b c d c t + + = + + = + + = i c 2 2 P c c (c) 0.14286 1.94226 0.00105 = + +