当o=0,v0≠0,O=0时,物体内任意一点都沿y方向移动相同的距离,可 见v0代表物体在y方向上的刚体平移。 日 当4=0,0=0.O≠0时,可以假定O>0,如图所示,此时的物体内任意 点P(x,y)的位移分量为u=-y,v=an 合成位移为,√x2+y2=0、x2+y2=O 其中r为P点到z轴的距离。 设合成位移与y轴的夹角为a,径向线PO与x轴的夹角为 oy) =1g6 ox x 合成位移的方向与径向线PO垂直,大小与PO的距离成正比,可见代表物体 绕z轴的刚体转动。 21.5物理方程 弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到 1)平面应力问题的物理方程 (2-3) 2(1+) E 平面应力问题有, 2)平面应变问题的物理方程 1--1a
当 u0 = 0,v0 0, = 0 时，物体内任意一点都沿 y 方向移动相同的距离，可 见 0 v 代表物体在 y 方向上的刚体平移。 当 u0 = 0,v0 = 0, 0 时，可以假定 0 ，如图所示，此时的物体内任意一 点 P（x，y）的位移分量为 u = −y, v =x 合成位移为， u + v = x + y = r 2 2 2 2 ， 其中 r 为 P 点到 z 轴的距离。 设合成位移与 y 轴的夹角为 ，径向线 PO 与 x 轴的夹角为 ， tg x y x y tg = − = = 合成位移的方向与径向线 PO 垂直，大小与 PO 的距离成正比，可见 代表物体 绕 z 轴的刚体转动。 2.1.5 物理方程 弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到。 1）平面应力问题的物理方程 ( ) x x y E = − 1 ( ) y y x E = − 1 （2-3） xy xy E 2(1+ ) = 平面应力问题有， z = 0 ( ) z x y E = − + 2）平面应变问题的物理方程 − − − x = x y E 1 1 2
(2-4) E 2(1+p) E 平面应变问题有, 0 在平面应力问题的物理方程中,将E替换为 1-2替换为P,可以 得到平面应变问题的物理方程;在平面应变问题的物理方程中,将E替换为 a+2、换为,可以得到面应力向题的物理方程 图25弹性力学平面问题示意 求解弹性力学平面问题,可以归结为在任意形状的平面区域Ω内已知控制方 程、在位移边界S上约束已知、在应力边界S。上受力条件已知的边值问题。然 后以应力分量为基本未知量求解,或以位移作为基本未知量求解。 如果以位移作为未知量求解,求出位移后,由几何方程可以计算出应变分量, 得到物体的变形情况;再由物理方程计算出应力分量,得到物体的内力分布,就 完成了对弹性力学平面问题的分析。 22单元位移函数 根据有限元法的基本思路,将弹性体离散成有限个单元体的组合,以结点的 位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块 近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示,这个函数称为单元
− − − y = y x E 1 1 2 （2-4） xy xy E 2(1+ ) = 平面应变问题有， z = 0 ( ) z = x + y 在平面应力问题的物理方程中，将 E 替换为 2 1− E 、 替换为 1− ，可以 得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将 E 替换为 2 (1 ) (1 2 ) + E + 、 替换为 1+ ，可以得到平面应力问题的物理方程。 图 2.5 弹性力学平面问题示意 求解弹性力学平面问题，可以归结为在任意形状的平面区域 内已知控制方 程、在位移边界 u S 上约束已知、在应力边界 S 上受力条件已知的边值问题。然 后以应力分量为基本未知量求解，或以位移作为基本未知量求解。 如果以位移作为未知量求解，求出位移后，由几何方程可以计算出应变分量， 得到物体的变形情况；再由物理方程计算出应力分量，得到物体的内力分布，就 完成了对弹性力学平面问题的分析。 2.2 单元位移函数 根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的 位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块 近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元
位移函数、或单元位移模式。 对于弹性力学平面问题,单元位移函数可以用多项式表示, u=a1+a2xta3y+a4r +asxyta6y+ v=b,+b2x+b3y+b4x+boxy+by4+ (2-5) 多项式中包含的项数越多,就越接近实际的位移分布,越精确。具体取多项, 由单元形式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数。 M (x1,y3) 图26三节点三角形单元 如图26所示的3结点三角形单元,结点I、J、M的坐标分别为(x,y)、 (x,y)、(xm,ym),结点位移分别为u;、v、m、v、um、Vm六个节点位移 只能确定六个多项式的系数,所以3结点三角形单元的位移函数如下, u= a, t axt a (2-6) v=a4 tasxta5y 将3个结点上的坐标和位移分量代入公式(2-6)就可以将六个待定系数用 结点坐标和位移分量表示出来。 将水平位移分量和结点坐标代入(2-6)中的第一式, u=a, +a,x +,, a, tax ta 写成矩阵形式, y xi yi 令 y,=团r y
位移函数、或单元位移模式。 对于弹性力学平面问题，单元位移函数可以用多项式表示， ... 2 5 6 2 u = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a x y + a y + ... 2 5 6 2 v = b1 + b2 x + b3 y + b4 x + b x y + b y + （2-5） 多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。具体取多项， 由单元形式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数。 图 2.6 三节点三角形单元 如图 2.6 所示的 3 结点三角形单元，结点 I、J、M 的坐标分别为 ( , ) i i x y 、 ( , ) j j x y 、( , ) m m x y ，结点位移分别为 i u 、 i v 、 j u 、 j v 、 m u 、vm 。六个节点位移 只能确定六个多项式的系数，所以 3 结点三角形单元的位移函数如下， = + + = + + a a x a y u a a x a y 4 5 6 1 2 3 v （2-6） 将 3 个结点上的坐标和位移分量代入公式（2-6）就可以将六个待定系数用 结点坐标和位移分量表示出来。 将水平位移分量和结点坐标代入（2-6）中的第一式， m m m j j j i i i u a a x a y u a a x a y u a a x a y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + = + + = + + 写成矩阵形式， = 3 2 1 1 1 1 a a a x y x y x y u u u m m j j i i m j i （2-7） 令 T 1 1 1 = m m j j i i x y x y x y
则有 =2A,A为三角形单元的面积 的伴随矩阵为 ym xmy yim =x-xnym一男x一x (2-9) MiVi-xivi yi-y a. a. a 令团=a,bc1=bb,b (2-10) a b i C 则 b, b, bm ru (2-11) 同样,将垂直位移分量与结点坐标代入公式(2-6)中的第二式,可得, b, b, b (2-12) 将(2-11)、(2-12)代回(2-6)整理后可得, (a+bx+cy)u+(a,+b, x+c, y)u +(a+bm x+cm y)um] (a,+bx+cyv+(a,+ x+c yv +(am+b,x+c] 令N2=( )(下标i,j,m轮换) N:0N:0N0 可得 (2-13) 0N.0 0 N
则有 = − m j i u u u a a a 1 3 2 1 T （2-8） T [T] [T] * 1 = − T = 2A ，A 为三角形单元的面积。 [T]的伴随矩阵为， T * T − − − − − − − − − = i j j i i j j i m i i m m i i m j m m j j m m j x y x y y y x x x y x y y y x x x y x y y y x x （2-9） 令 = = i j m i j m i j m m m m j j j i i i c c c b b b a a a a b c a b c a b c T * [T] （2-10） 则 = m j i i j m i j m i j m u u u c c c b b b a a a A a a a 2 1 3 2 1 （2-11） 同样，将垂直位移分量与结点坐标代入公式（2-6）中的第二式，可得， = m j i i j m i j m i j m v v v c c c b b b a a a A a a a 2 1 6 5 4 （2-12） 将（2-11）、（2-12）代回（2-6）整理后可得， [( ) ( ) ( ) ] 2 1 i i i i j j j j m m m um a b x c y u a b x c y u a b x c y A u = + + + + + + + + [( ) ( ) ( ) ] 2 1 i i i i j j j j m m m m a b x c y v a b x c y v a b x c y v A v = + + + + + + + + 令 ( ) 2 1 a b x c y A Ni = i + i + i （下标 i，j，m 轮换） 可得 = m m j j i i i j m i j m v u v u v u N N N N N N v u 0 0 0 0 0 0 （2-13）
单元内的位移记为 单元的结点位移记为6}={8}= 单元内的位移函数可以简写成, U/}=[N]G (2-14) 把N]称为形态矩阵,N称为形态函数 选择单元位移函数应满足以下条件: 1)反映单元的刚体位移与常量应变,称为完备性条件。 2)相邻单元在公共边界上的位移连续,单元之间不能重叠,也不能脱离。即位 移函数在单元之间连续,称为协调性条件。 单元位移函数满足以上两个条件,就满足收敛性要求 由(26)可以将单元位移表示成以下的形式, u= a,+ a,x v=a,+ 反映了刚体位移和常应变 单元位移函数是线性插值函数,因此单元边界上各点的位移可以由两个结点 的位移完全确定。两个单元的边界共用两个结点,所以边界上的位移连续 形态函数N1具有以下性质: 1)在单元结点上形态函数的值为1或为0。 2)在单元中的任意一点上,三个形态函数之和等于1 用来计算三角形面积时,要注意单元结点的排列顺序,当三个结点i,j m取逆时针顺序时,A=>0;当三个结点i,j,m取顺时针顺序时, A 三角形单元的形态函数N1具有明确的几何含义
单元内的位移记为 = v u f 单元的结点位移记为 = = m m j j i i m j i e v u v u v u 单元内的位移函数可以简写成， e f = N （2-14） 把[N]称为形态矩阵，Ni 称为形态函数。 选择单元位移函数应满足以下条件： 1） 反映单元的刚体位移与常量应变，称为完备性条件。 2）相邻单元在公共边界上的位移连续，单元之间不能重叠，也不能脱离。即位 移函数在单元之间连续，称为协调性条件。 单元位移函数满足以上两个条件，就满足收敛性要求。 由（2-6）可以将单元位移表示成以下的形式， y a a y a a u a a x 2 2 5 3 5 3 1 2 + + − = + − x a a x a a v a a y 2 2 5 3 5 3 4 6 + + − = + + 反映了刚体位移和常应变。 单元位移函数是线性插值函数，因此单元边界上各点的位移可以由两个结点 的位移完全确定。两个单元的边界共用两个结点，所以边界上的位移连续。 形态函数 Ni 具有以下性质： 1） 在单元结点上形态函数的值为 1 或为 0。 2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于 1。 用 T 来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，当三个结点 i，j， m 取逆时针顺序时， T 0 2 1 A = ；当三个结点 i，j，m 取顺时针顺序时， T 0 2 1 A = 。 三角形单元的形态函数 Ni 具有明确的几何含义