辽宁工业大学：《材料力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 应力状态分析强度理论

§7-2二向应力状态分析——解析法 正负号规则 正应力:拉为正;反之为负 xy a 切应力:使微元顺时针方向 X 转动为正;反之为负 a角:由x轴正向逆时针转 到斜截面外法线时为正;反 之为负

11 x y  x  y  yx  xy a 使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。 α角：由x 轴正向逆时针转 到斜截面外法线时为正；反 之为负。  y  a a   x y α n t  x yx  x §7—2 二向应力状态分析——解析法

§7-2二向应力状态分析——解析法 2.正应力极值和方向 确定正应力极值 (o +O,+(o-o,cos 2a-tm sin 2a a=(or-ousin 2a-2T, cos 2a y 设a=a0时,上式值为零,即 (o -osin 2do-2I coS 2a=0 sinz ao t Tx coSz ao 即a=ao时,切应力为零

12     (  ) cos 2  sin 2 2 1 ( ) 2 1  x  y  x  y  xy 确定正应力极值         ( x y )sin 2 2 xy cos2 d d     设α＝α0 时，上式值为零，即  ( x  y )sin 20  2 xy cos20  0 2. 正应力极值和方向 sin2α τ cos2α 2τ 0 2 (σ σ ) 2 0 xy 0 α0 x y            即α＝α0 时，切应力为零 §7—2 二向应力状态分析——解析法

§7-2二向应力状态分析——解析法 tan 2a 由上式可以确定出两个相互垂直的平面,分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以,最大和最小正应力分别为: max 2 2 x-o,)+4z2 ,+G,1 .)+4τ m 2 J 主应力按代数值排序:01≥a2≥03

13 x y xy        2 tan 2 0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：   2 2 max 4 2 1 2 x y xy x y              2 2 min 4 2 1 2 x y xy x y            主应力按代数值排序：σ1  σ2  σ3 §7—2 二向应力状态分析——解析法

§7-2二向应力状态分析——解析法 例题1:一点处的平面应力状态如图所示。 已知x=60 MPa Ix=-30MPa 40MPa.a=-30°。 40 30 试求(1)a斜面上的应力; (2)主应力、主平面; 60 (3)绘出主应力单元体

14 试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 例题1：一点处的平面应力状态如图所示。 40  60 30   30  。  60MPa  x  30MPa, xy   40MPa,  y 已知 §7—2 二向应力状态分析——解析法

§7-2二向应力状态分析——解析法 解:(1)a斜面上的应力 o.+0.O.-O coS 2a -T sinza 2 60-4060+40 人 2os(60)+30si in(-60°) a.=9.02MPa x sin 2a+t cos 2a 60+40 Sin(-60°)-30c0s(-60°) 2 =-58.3MPa

15 解：（1） 斜面上的应力          cos2 sin2 2 2 xy x y x y      cos( 60 ) 30sin( 60 ) 2 60 40 2 60 40           9.02MPa        sin 2 cos2 2 xy x y    sin( 60 ) 30cos( 60 ) 2 60 40         58.3MPa  y   x xy  §7—2 二向应力状态分析——解析法