12博弈论 121 8l (这里,表小集合g中的状态个数)注意到 f(1-0=(a 但是,通过反复应用客观替代性公理,得到 f(r i t) n ∑∑f(x1t)(n(x,t)be+(1 (101 2(Itlu(r,t)(p(t I S)an+ t∈nr∈X (1-p(t I S))a0)+(1-u(r, t))ao f(x i tu(r, tp(t I S) 1-2(x1)(x,)(t|s)/a)a Epu(f)Is)/ E2(a(f)S)/1a1)l 类似地有 (1/|)g+(1-(1/0)a (E(u(x)S)/ )a1+(1-E(u(g)s a )ac 因此,由传递性,fsg当且仅当 Ea(f)|S)/a)la1+(1-(E((f)s)/a (E,(u(8)1S)/0 )41+(1-E(u(g)Is1/a1)ao 但由单调性,这个最终偏好关系成立,当且仅当 E((f)S)≥E(a(g)S) 因为利害性公理和严格的主观替代性公理保证了a1>sa0,于是条件(1.5) 是可以满足的。 接着,让我们从公理系中推导出条件(1.4)。对任意事件R和S,由客 观替代性公理 R a0 R
第一章决策理论基础13 (k)2((1s1+01-p(r1s)l R p(R|S)a1+(1-p(R|S) R (R|是集合R中的状态数)那么,应用公理15A和1.5B,我们得到 bR-SP(rIS)a1+(1-p(ris))ao 由相关性公理和bs-sa1,且对于不在S中的任何r有:b,-sa0.因 此,上式(应用单调性和利害性公理)蕴含着,若r￠S,则p(r|S)=0和 p(S|S)=1。因此,如前面所定义的那样,p是条件概率函数。 现在假设R≌ST,再利用bs~sa1,我们得到 bR-SP(RIS)bs+(1-P(RIS))ao 另外,由于bR,bs和a。在S之外都给出相同的最差彩金,所以相关性公理 意味着 bR-TSP(r! S)bs+(1-p(riS))ao (这里,T\S={t|t∈T但t∈S})于是,由主观替代性公理和客观替代性公理 bR -TP(RIS)6s+(1-p(ris))ao r p(RIS)( P(SIT)a1+(1-p(SIT)an)+(1-p(RIS)ao P(RiSP(S T)a1+(1-P(R SP(SIT)lao 但b~rp(RT)a1+(1-p(RT)a,又a1>ra0,于是单调性公理蕴含着 p(RT)=p(R|S)p(S|T)。因此,贝叶斯公式(14)从公理系推出 如果在状态t下y是最好的彩金而z是最差的彩金,则y}-{aa1和 [z]~11a0,故由单调性公理知(y|t)=1和u(x|t)=0。因而取值条件 (1.3)也是被所构造的效用函数所满足。 如果又给定了状态中性公理,则我们在状态t确定a(x,t)时,决策者 所给出的答案与我们在任意另一个状态r下确定a(x,r)时所给出的答案将 是相同的(因为[x1~:3a1+(1-B)a0维含了[x]~r:Ba1+(1-B)a0, 且单调性公理和利害性公理保证了其答案的唯一性)。于是,公理18意味着 是状态独立的。 为了完成定理的证明,余下要证的是,满足定理中条件(1.3)~(1.5 的函数u和p的存在性,是足以让所有公理成立(只有对公理18的证明而 用到状态独立性)的充分条件。如果我们使用期望效用公式的基本数学性质, 验证这些公理是轻而易举的。作为说明,我们只给出主观替代性这一个公理的 证明,而将其余公理的证明留作读者的练习。 设fsg和f7g且S∩T=0,则由条件(1.5)得E(u(f)|s)
博弈论 E(n(g)1S)和E(n(f)T)≥E(a(g)1T)。但贝叶斯公式(1.4)给 E(n(f)SU=∑p(t|S∪T)f(x|t)(x,t) ∈suT∈ (tIS)p(sisu)f(lt)u(x,t ∑力(T)(TS∪T)f( P(sisU) E(u(fIs)+p(TISUT)E,u()ls) 和 E,(u(g)ISUr)=p(S SUT)E(u(g) S)+P(T SUT)E,(u(g)lS) 因此E(x(f)|SUT)≥E2((g)|SUT)且fs■ 1.5等价表示 当我们去掉取值条件(13)后,则可能存在不止一对的效用与条件概率 函数,它们在条件(1.5)的意义上都表示相同的决策者偏好。从决策理论的 性质来说,这样的等价表示是完全不可区别的,因此,对于任何一个要求在这 样的等价表示之间加以区别的经济行为理论,我们都应该表示怀疑。于是,能 否辨认这样的等价表示在理论上或许有其重要性。 给定任一主观事件S,当我们说一个效用函数v与一个条件概率函数g一 起表示( represent)了偏好序之s时,我们的意思是说,对每一对彩票∫和g, 当且仅当fsg时才有EQ(v()S)≥E(v(g)S) 定理1.2令三中的S是任一給定的主观事件。假设决策者的偏好满足公 理11AB-1.7,并且u和p是满足定理1.1中(1.3)~(1.5)式的效用函 数和条件概平函数,则v与q一赵表示偏好序之s的充分必要条件是:存在正 数A和函数B:S→R使得 q(t s)v(x, t)=Ap(t S)u(x, t)+B(t), VtES, VxEX 证明首先假设如定理所描述的A和B()存在,那么,由于∑ x∈x/(x t)=1,故对任一彩票f都有 E2((f)s)=∑∑f(x1t)q(ts)(x,t) ∑∑f(x1t)(Ap(tS)n(x,t)+B(t) t∈5rEx =A2∑f(x|t)p(ttS)u(x,t)+∑B(t)∑f(x1t)
第一章决策理论基础15 AE2((f)|S)+∑B(t) 所以关于q的v-期望效用是关于p的u-期望效用的线性增函数,因为 A>0于是,E,(v(f)|S)≥E4(v(g)S),当且仅当E,(u()|s)≥E(a (g)|S),故而v与q一起表示了和n与p所表示的同一个彩票集上的偏好顺 序 相反,若v与q一起表示的偏好序和u与p一起所示的偏好序相同,则任19 取一个彩金x和一个状态t,令 E (u(. , )S)-E((ao)Is E((a1)|s)-E(v(a0)S 那么,按照期望值算子的线性特征,得到 E2(v(a0)|S) =E2(v(cx1)|S) 因此c:~ska1+(1-)a0。在定理110的证明中,我们已经构造了a和p使 Cr.su(x, t)biti+(1-u(r, t))a0 su(x, tp(tlS)ar +(1-p(tlS))ao +(1-u(x, t))ao sp(tlS)u(I, t)a1+(1-p(t!S)u(x,t))a0 单调性公理保让了a1与a0之间只有一个随机彩票与cx,:恰好一样好,因此 入=p(t|S)a(x,t) 但c与a0只在状态t有所不同,在状态t时,c2,给出彩金x而不是ao所给 出的最差彩金,于是 E (v(Gr. 因此,代回到λ的定义中,我们得到 q(tis)(u(r, t)-minv(z, t) P(tS)u(r,t) E(v(a1)|S)-E2((a0)|s) 现在令 A=E0(v(a1)|S)-E4(v(a0)s) Bn=q(tl s)min u(a,t 则有
16博弈沦 Ap(a S)u(x, t)+B(=g(u S)v(x, t) 注意,A是与x和t无关的函数,而B(t)又是与x无关的函数,而且由于 a1>sa0蕴含着E3(v(a1)S)>E(v(a0)S),故A>0 从定理1.2显而易见,给定某个事件S,能用来表示决策者信念的概率分 布不止一个。事实上,在定理1.2的方程式中,只要我们对v做与q互反的变 动,我们就能使概率分布q(·S)几乎为任意的,而保持该方程式的左边不 变。消除这种不定性的办法是假定有公理18,并要求效用函数为状态独立。 定理1.3令S为三中的任一主观事件。假设决策者的偏好满足公理1.1AB 1.8,且u和力分别是满足定理1.1中条件(1.3)~(1.5)的状态独 立的效用函数和条件概率函数。若v是一个状态独立的效用函数,q是条 件概率函数,且v与q一起表示了偏好序之s,则 q(t|S)=p(tS),Ht∈S 并且存在数A和(使得A>0且 x(x)=A(x)+C,Hx∈X (为简洁起见,这里用v(x)和u(x)分别代替了υ(x,t)和u(x,t),因为 v(x,t)与u(x,t)都是状态独立的函数。) 证明令A=E2(v(a1)|S)-E,(v(a0)S)和C= minEXU(z),则由定 理1.2的证明 Ap(t|Su(x)+q(t(S)C=q(tiS)v(x),h∈X,Ⅵ∈S 将这个方程式对S中所有的t求和,我们得到Ax(x)+C=v(x)。然后将此 式代回上一方程式,并令x是最好的彩金前有v(x)=1,则得到 Ap(tlS)+q(t S)C= Aq(ulS)+q(uls)c 由于A>0,所以p(tS)=q(t|S)■ 1.6贝叶斯条件概率系 我们定义有限集J的一个贝叶斯条件概率系( Bayesian conditionai-prc ability system)[或简称为条件概率系( conditional-probability system)]为.上 满足条件(1.4)(贝叶斯公式)的任何一个条件概率函数p。也就是说,如果 p是n上的一个贝叶斯条件概率系,则对的每一个非空子集S,p(·(S)