续并且 展开的唯一性给它 唯5确 由于幂级数在收敛圆内绝对收敛,故级数相乘是合法的,乘积在两收敛圆的公共区域内仍绝对收 敛 待定系数法 例51求tanz在z=0的 Taylor展开 解由于tanz是奇函数,故其在z=0的 Taylor展开应只有奇次幂 a2k+122k+1_SIn2 k=0 COS 2 2k+1 SIn 2= cOs 2 比较系数,即得 所以 a1=1; 241-2 a5 因此,有 2 15 从tanz的奇点可以判断,级数的收敛半径应为/2 应用待定糸数法,能得到亲数之间的递推关糸,原则上可以逐个求出展开糸数,但一般 不容易求出级数的通项公式(即展开糸数αn的解析表达式) 如果只需要求出级数中的某一项或某几项糸数,也可以釆用待定糸数法 ★多值函数的 Taylor展开对于多值函数,在适当规定了单值分枝后,即可像单值函数那样 作 Taylor展开 例52求多值函数(1+2)在z=0的 Taylor展开,规定z=0时(1+z)°=1
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 5 ✍ ✔◆❚❯❄❅t✉ ❈❋❴▼t✉❑✖❯❄➧❭ ♦❵ ✩❊❑❭❣❅✏t✉ ❈❊✐✳qr ❋❛❴▼t ✉✸ F ❜④÷❄✩✸ ❝ 5.1 ➻ tan z ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲✸ ❞ ✔◆ tan z ♦ ➶❃❄❑✖ ❬ ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲❡⑩♠➶❢❚❑ tan z = X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 = sin z cos z , sin z = cos z · X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 , X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n+1 = X∞ l=0 (−) l (2l)! z 2l · X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 = X∞ n=0 Xn k=0 (−) n−k (2n − 2k)!a2k+1! z 2n+1 . ✭✮÷❄❑❷✛ Xn k=0 (−) k (2n − 2k)!a2k+1 = 1 (2k + 1)!. ❣ ❆ n = 0 : a1 = 1; n = 1 : 1 2 a1 − a3 = 1 6 , a3 = 1 3 ; n = 2 : 1 24 a1 − 1 2 a3 + a5 = 1 120 , a5 = 2 15 ; . . . ✈ ♣ ❑♠ tan z = z + 1 3 z 3 + 2 15 z 5 + 17 315 z 7 + · · · . ❱ tan z ❊➶◗ ❘❆❤✐❑❯❄❊t✉➬➮❡❇ π/2 ✸ ❥❦❧➓ ♠✬♥❑Û♦♣ ♠✬q r✯st ✉♠ ❑ ✈Þ➞→ ➣✇✩① ②ÏÐ ♠✬❑③★Ù ×④ ⑤① ②✾✬✯⑥⑦⑧⑨ (⑩ÏÐ ♠✬ an ✯✶✷✵❶⑨) ✸ ✹❷ ❸❹❺① ②✾✬ ❻✯ ❼★⑦Ñ ❼❽⑦ ♠✬❑Ú→ ➣❾❦❧➓ ♠✬♥✸ F ❿➀➁➂✞ Taylor ✆✝ ▼◆➃➄❃❄❑❅ ➅➆➇④➷❘➄❤➈➉ ❑❷❘➊❘➄❃❄➋➌ ➍ Taylor ❱❲✸ ❝ 5.2 ➻➃➄❃❄ (1 + z) α ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲❑➇④ z = 0 ❴ (1 + z) α = 1 ✸
52 Taylor级数求法举例 第6页 解可直接求出函数(1+2)°在2=0点的各阶导数值 f(0)=1 f(0)=a(1+2)0 f"0)=a(a-1)(1+2)0-2l2 f(n)(0)=a(a-1)(a-2)…(a-n+1)(1+2) (a-1)…(a-n+1) 因此 (1+2)=1+a2+-1)3x 2 2 其中 a(a-1)…(a-n+1) 称为普遍的二项式展开系数 级数的收敛区域,还要视割线的作法而定.收敛半径等于z=0到割线的最短距离,所以 最大可能的收敛区域是||<1,R=1 例5.3求多值函数m(1+2)在2=0的Tyor展开,规定m(1+2)2=0=0 解在上述规定下,函数l(1+2)可表示为定积分,因此 ,+== n=0 (-)nn+1 收敛区域也要看割线怎么作.收敛半径等于z=0到割线的最短距离,最大可能的收敛区域是 2<1,R=1 在无穷远点的 Taylor展开如果函数f(x)在z=∞点解析,则也可以在z=∞点展开成 Taylor级数
§5.2 Taylor ✸ ✝✹✺✻✼ ✌ 6 ✍ ❞ ❘✶ ✷ ➻❩❃❄ (1 + z) α ❅ z = 0 ◗ ❊➎➫➭❄➄❑ f(0) = 1, f 0 (0) = α (1 + z) α−1 z=0 = α, f 00(0) = α(α − 1) (1 + z) α−2 z=0 = α(α − 1), . . . f (n) (0) = α(α − 1)(α − 2)· · ·(α − n + 1) (1 + z) α−n z=0 = α(α − 1)· · ·(α − n + 1), . . . ✈ ♣ (1 + z) α = 1 + αz + α(α − 1) 2 z 2 + · · · + α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! z n + · · · = X∞ n=0 α n z n , ❬ ❭ α 0 = 1 ➤ α n = α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! ➏ ❇❈➐❊➑①❥❱❲÷❄✸ ❯❄❊t✉qr❑➲ ❶➒➓➔❊ ➍ ✩ î ④✸t✉➬➮✬◆ z = 0 ✑➓➔❊ ✃→➣➱ ❑ ❣ ❆❑ ✃↔ ❘✵❊t✉qr♦ |z| < 1, R = 1 ✸ ❝ 5.3 ➻➃➄❃❄ ln(1 + z) ❅ z = 0 ❊ Taylor ❱❲❑➇④ ln(1 + z) z=0 = 0 ✸ ❞ ❅❍↕➇④➙❑❃❄ ln(1 + z) ❘❙❚❇④❣❤❑✈♣ ln(1 + z) = Z z 0 1 1 + z dz = Z z 0 X∞ n=0 (−) n z ndz = X∞ n=0 (−) n Z z 0 z ndz = X∞ n=0 (−) n n + 1 z n+1 = X∞ n=1 (−) n−1 n z n . t✉qr✴ ❶➛➓➔➜★➍✸t✉➬➮✬◆ z = 0 ✑➓➔❊ ✃→➣➱❑✃↔ ❘✵❊t✉qr♦ |z| < 1 ❑ R = 1 ✸ F ➝➞➟➠➡✞ Taylor ✆✝ ✜✫❃❄ f(z) ❅ z = ∞ ◗ ■❏❑▲✴ ❘❆❅ z = ∞ ◗ ❱❲❯ Taylor ❯❄✸
所谓∫(z)在∞点展开成 Taylor级数,就是作变换z=1/t,而将∫(1/t)在t=0点展 开成 Taylor级数,因为∫(1/t)在t=0点解析,故 < f(2)=a0+ z 注意:f(z)在∞点的 Taylor级数中只有常数项及负幂项,没有正幂项,而收敛范围为 l|>1/r,也就是说,级数在以∝为圆心的某个圆内收敛
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 7 ✍ ➢➤ f(z) ✭ ∞ ßÏÐ✽ Taylor ✾✬❑ Ô➟➙➥➦ z = 1/t ❑â➧ f(1/t) ✭ t = 0 ßÏ Ð✽ Taylor ✾✬✸á↔ f(1/t) ✭ t = 0 ß✶✷❑➨ f 1 t = a0 + a1t + a2t 2 + · · · + ant n + · · · , |t| < r; f(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n + · · · , |z| > 1 r . ➩➫③ f(z) ✭ ∞ ß✯ Taylor ✾✬ ❻❸➭➯✬⑦➝ ➲✪⑦❑➳➭➵✪⑦❑â✰✱ ➸➜↔ |z| > 1/r ❑ÚÔ➟Ó❑✾✬✭ ➣ ∞ ↔ ✲↕✯ ❼✩ ✲✳✰✱✸
53解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 §53 如继告诉我零点孤立性和如继告诉我唯一性 ★介绍解析函数的两个重要性质,它们具有非常重要的理论价值 定义如果f(z)在α点及其邻域内解析,f(a)=0,则称z=a为f(2)的零点 设∫(x)在z=a点及其邻域内解析,则当|z-a充分小时, f(2)=∑an(2-a)n, 故若z=a为零点,则必有 此时,称z=a点为f(2)的m阶零点,相应地 f(a)=f(a)=…=f(m-1)(a)=0,f(m(a)≠0 零点的阶数都是确定的正整数——一在函数的解析区域内,不可能有分数次的零点 直接果等零点必么法重要性质是较必孤立性 定理52若f(2)不恒等于零,且在包含z=a在内的区域内解析,则必能找到圆|z-a= (p>0),使在圆内除了z=a可能为零点外,f(2)无其他零点 这法定理称为直接果等必零点孤立性定理.根据这法定理,可以推出直物果等零 必下面两法重要性质 推论1设f(z)在G:|z-叫<R内解析.若在G内存在∫(z)的无穷多个零点{zn},且 但zn≠a,则f(2)在G内恒为0 推论1中必条件limn=a可以减弱为序列{n}必么法极限点为a 推论2设f(2)在G:|z-叫<R内解析.若在G内存在过a点的一段弧l或含有a点的 个子区域g,在l上或g内f(2)≡0,则在整个区域G内f(2)≡0 推论2必成立范围是以z=a点为使心必使城,但是很容易推广到么般形状必区域 推论3设f(z)在G内解析·若在G内存在一点z=a及过a点的一段弧l或含有a点的 个子区域g,在l上或g内f(2)≡0,则在整个区域G内f(2)≡0
§5.3 ✄☎✆✝✞➺➻➼➽✡➾✄☎✆✝✞➚➪✡ ✌ 8 ✍ §5.3 ✜✢✣✤✥➶➹➘➴➷➬✜✢✣✤✥➮➱➷ F ❅❆■❏❃❄❊✏ü✃❶òó❑☞✦❐♠❒❊✃❶❊⑤ú❮➄✸ ❀❰ ✜✫ f(z) ❅ a ◗ ● ❬Ï r ❋■❏❑ f(a) = 0 ❑▲➏ z = a ❇ f(z) ❊Ð ◗✸ ❂ f(z) ❅ z = a ◗ ● ❬Ï r ❋■❏❑▲➆ |z − a| Ñ❤Ò❴❑ f(z) = X∞ n=0 an(z − a) n , ✖Ó z = a ❇Ð ◗ ❑▲✯♠ a0 = a1 = · · · = am−1 = 0, am 6= 0. ♣ ❴❑➏ z = a ◗ ❇ f(z) ❊ m ➫Ð ◗ ❑➧❡❨❑ f(a) = f 0 (a) = · · · = f (m−1)(a) = 0, f(m) (a) 6= 0. Ð ◗ ❊➫❄þ♦✍ ④❊Ôû❄ ❅❃❄❊■❏qr ❋❑➩❘✵♠❤❄❢❊Ð ◗✸ ✶✷✫✬Õß✯★✩Ö❺×Ø➟✮✯ÙÚ× ❀❁ 5.2 Ó f(z) ➩Û✬◆Ð❑ ✄ ❅ÜÝ z = a ❅ ❋❊qr ❋■❏❑▲✯✵Þ✑ ❈ |z − a| = ρ (ρ > 0) ❑✲❅ ❈❋ß➷ z = a ❘✵❇Ð ◗à ❑ f(z) á ❬■ Ð ◗✸ ➎✩➓âã↔✶✷✫✬✯ÕßÙÚ×➓â✸äå➎✩➓â ❑ → ➣t ②✶✷✫✬Õß ✯æ çè✩Ö❺×Ø③ éê 1 ❂ f(z) ❅ G : |z − a| < R ❋■❏✸Ó❅ G ❋➯❅ f(z) ❊áë➃üÐ ◗ {zn} ❑ ✄ limn→∞ zn = a, ♥ zn 6= a ❑▲ f(z) ❅ G ❋Û❇ 0 ✸ tì 1 ❻✯íî limn→∞ zn = a → ➣ïð↔ñò {zn} ✯★✩óôß↔ a ✸ éê 2 ❂ f(z) ❅ G : |z − a| < R ❋■❏✸Ó❅ G ❋➯❅õ a ◗ ❊❧ö÷ l ❳Ý♠ a ◗ ❊❧ üøqr g ❑❅ l ❍❳ g ❋ f(z) ≡ 0 ❑▲❅ûüqr G ❋ f(z) ≡ 0 ✸ tì 2 ✯✽Ú ➸➜➟ ➣ z = a ß↔ ✲↕✯ ✲ù ❑③➟ú④ ⑤t û♣★Ùüý✯ þù✸ éê 3 ❂ f(z) ❅ G ❋■❏✸Ó❅ G ❋➯❅❧◗ z = a ●õ a ◗ ❊❧ö÷ l ❳Ý♠ a ◗ ❊❧ üøqr g ❑❅ l ❍❳ g ❋ f(z) ≡ 0 ❑▲❅ûüqr G ❋ f(z) ≡ 0 ✸