《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第9章 多变量函数的微分学（6/8）

中值定理引理Taylor公式极值条件极值Lagrange乘数法设f（c1，，an）是n元函数，有各种偏导数，且各种混合偏导数都连续,此时与最，可相加和相乘，加法和乘法有交换律.对于多重指标arα=(α1,…,an)和微分算子 D=(最，最，…·，最),记alalalalfD=D"f=Ocai...OranOaa1...Ocann定理3（Taylor公式）设UCRn是一个凸区域，f：U→R并且f E Cm+1(U). 再设 a= (a1, .·,an) 和 a+ h = (ai + hi,..·,an +hn) 是U 中两点. 则存在 θ E (0,1) 使得Df(a)f(a+h) =(9.2)h+RmQ!k=0 [α=k其中Daf(a + 0h)Zha(9.3)Rm =Q![α|=m+1返回全屏关闭退出6/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{  f(x1, · · · , xn) ´ n ¼ê, kˆ« ê, …ˆ«·Ü êÑ ëY, dž ∂ ∂xi † ∂ ∂xj Œƒ\ڃ¦, \{Ú¦{k†Æ. éuõ­I α = (α1, · · · , αn) ڇ©Žf D = ( ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 , · · · , ∂ ∂xn ), P Dα = ∂ |α| ∂xα1 1 · · · ∂xαn n , Dαf = ∂ |α|f ∂xα1 1 · · · ∂xαn n . ½n 3 (Taylor úª)  U ⊂ Rn ´‡à«, f : U → R ¿… f ∈ Cm+1(U). 2 a = (a1, · · · , an) Ú a + h = (a1 + h1, · · · , an + hn) ´ U ¥ü:. K3 θ ∈ (0, 1) ¦ f(a + h) = X m k=0 X |α|=k Dαf(a) α! h α + Rm, (9.2) Ù¥ Rm = X |α|=m+1 Dαf(a + θh) α! h α . (9.3) 6/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法证明将f限制到a与a+h的连线上，即令p(t) = f(a + th), t E [0, 1].这是[0,1]上有m+1阶连续导数的一元函数根据一元函数Taylor公式，得() =1(m+1)0(m+(0), 0 (0,1).(9.4)k!k=0显然 (1) = f(a + h), (0) = f(a). 根据求导的链式法则,有(t) = Jf(a + th)h = f(a + th)hi + .. + f(a + th)hnana= (+..+hn)f(a+th):=pi(a+th).(+..+ hn)作用到这说明对(t)=f(a+th）求导，就是将算符f(a+th)上,因此a&+...+hnoong"(t) =f(a+th),hiari一般地,有ap(k)(t) =(+..+hn)f(a + th).返回全屏关闭退出7/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ y² ò f › a † a + h ë‚þ, =- ϕ(t) = f(a + th), t ∈ [0, 1]. ù´ [0, 1] þk m + 1 ëYê¼ê. Šâ¼ê Taylor úª,  ϕ(1) = X m k=0 ϕ(k) (0) k! + 1 (m + 1)! ϕ (m+1)(θ), θ ∈ (0, 1). (9.4) w, ϕ(1) = f(a + h), ϕ(0) = f(a). Šâ¦óª{K, k ϕ 0 (t) = Jf(a + th)h = ∂f ∂x1 (a + th)h1 + · · · + ∂f ∂xn (a + th)hn =  h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn  f(a + th) := ϕ1(a + th). ù`²é ϕ(t) = f(a + th) ¦, Ò´òŽÎ  h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn  Š^ f(a + th) þ, Ïd ϕ 00(t) =  h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn 2 f(a + th), „/, k ϕ (k) (t) =  h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn k f(a + th). 7/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法根据引理1.有a8+hirlnaank!Fa001hs.Oaa1...OcanQ!a1+.+an=kk!Zh"D"α![a|=k因此k!g(k)(0) =,Daf(a)ha![α|=k将此代入（9.4）即得所证总之，多元函数的Taylor公式的证明就是将函数限制到直线上，然后利用一元函数的Taylor公式，以及偏导数算符的加法和乘法的可交换性得到多元函数的Taylor公式的形式也与一元函数情形的公式类似返回全屏关闭退出-8/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ ŠâÚn 1, k  h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn k = X α1+···+αn=k k! α1! · · · αn! h α1 1 · · · h αn n ∂ α1+···+αn ∂xα1 1 · · · ∂xαn n = X |α|=k k! α! h αDα . Ïd ϕ (k) (0) = X |α|=k k! α! Dαf(a)h α . òd\ (9.4) =¤y. oƒ, õ¼ê Taylor úªy²Ò´ò¼ê›†‚þ, ,￾| ^¼ê Taylor úª, ±9 êŽÎ\{Ú¦{Œ†5. õ¼ê Taylor úª/ª†¼êœ/úªaq. 8/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法特别重要的是Taylor公式中的前三项2(%(a)h +. + (a)hn)>f(a+h) = f(a) +(a)hihi +arroa2i,j=11= f(a) + Jf(a) h +=hHf(a)hT +.2其中f(a)a?fa(Drio(9.5)Hf(a) =:.a2faf(a)(a)Oa2Ocnoci是一个 n 阶对称方阵,称为 f 在 a 点的 Hessian.在原点展开的Taylor公式称为Maclaurin公式返回全屏关闭退出I4-9/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ AO­‡´ Taylor úª¥cn‘: f(a + h) = f(a) +  ∂f ∂x1 (a)h1 + · · · + ∂f ∂xn (a)hn  + 1 2 X n i,j=1 ∂ 2f ∂xi∂xj (a)hihj + · · · = f(a) + Jf(a) · h + 1 2 hHf(a)h T + · · · Ù¥ Hf(a) =   ∂ 2f ∂x2 1 (a) · · · ∂ 2f ∂x1∂xn (a) . . . . . . ∂ 2f ∂xn∂x1 (a) · · · ∂ 2f ∂x2 n (a)   (9.5) ´‡ n 顐 , ¡ f 3 a : Hessian. 3:Ðm Taylor úª¡Maclaurin úª. 9/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ