式中，8，(t,)是系统在t时刻对j第个输入端施加单位脉 冲函数，而其他输入端的输入均为零时，第个输出端 在t时刻的响应，即第个j输入端与第个输出端之间 的单位脉冲响应。 1.2.3线性定常系统的输入输出描述 1、定常系统：如果一个系统的特性不随时间变化就是 定常系统或时不变系统 定常系统的数学表示： 一个松弛系统，对任意输入及任意实数，当且仅当 HO u=OHu (1-29) 系统就是定常系统，否则为时变系统。 式中，Q.是位移算子，Q.的作用是将输入延迟时间后输出。 例如，u=Q.u,则(t)=u(t-o)或(t+a)=u(t) 21
21 式中， 是系统在 时刻对 第个输入端施加单位脉 冲函数，而其他输入端的输入均为零时，第 个输出端 在 时刻的响应，即第个 输入端与第 个输出端之间 的单位脉冲响应。 g (t, ) ij j i t j i 1.2.3 线性定常系统的输入输出描述 1、定常系统：如果一个系统的特性不随时间变化就是 定常系统或时不变系统 定常系统的数学表示： 一个松弛系统，对任意输入u及任意 实数，当且仅当 HQu QHu 系统就是定常系统，否则为时变系统。 式中，Q是位移算子，Q的作用是将输入延迟时间后输出。 例如，u Qu，则u (t) u(t ) 或 u (t ) u(t) （1－29）
2、单变量线性松弛定常系统的单位脉冲响应 如果u=6(t-t)则y=g(t,t) 如果u=Q.6(t-t)=6(t-(r+)则y=Q.8(t,t)=g(t,t+) 这说明，g(t,t+)的波形与延迟了a秒的gt,t)波形是 一致的。由此 g(tt+)=8(t-a,t) 换句话说，对任意的t,t, 8(t,t)=8(t+0,t+) (1-30) 若选t=-,有 g(1,)=g(1-1,0)Ag(t-t) (1-31) 3、多变量线性松弛定常系统的单位脉冲响应 G(t,t)=G(t-7,0)AG(t-t) (1-32) 22
22 2、单变量线性松弛定常系统的单位脉冲响应 如果u (t ) 则 y g(t, ) 如果 u Q (t ) (t ( ))则 ( , ) ( , ) y Q g t g t 这说明， 的波形与延迟了 秒的 波形是 一致的 。由此 g(t, ) g(t, ) g(t, ) g(t , ) 换句话说，对任意的 t, , g(t, ) g(t , ) 若选 ，有 g(t, ) g(t ,0) g(t ) 3、多变量线性松弛定常系统的单位脉冲响应 G(t, ) G(t ,0) G(t ) （1－30） （1－31） （1－32）
4、在t。时刻松弛的线性定常系统的输出响应 y(t)=G(t-t)u(t)dt, t≥to (1-33) 不失一般性，选择1。=0，上式可写成 y(t)=[G(t-7)u(r)dr=G(r)u(t-7)dt, t≥0 (1-34) 上式的积分叫做卷积积分。 1.2.4线性定常系统的传递函数阵 对式(1-34)作拉氏变换 y(s)=(G(t-t)u(r)dt)e-"di =(G(t-T)esdt)u(t)e-"dr =G(v)e dv u(t)e "dr △G(s)u(S) (1-35) 23
23 4、在 t 0时刻松弛的线性定常系统的输出响应 0 ( ) ( ) ( ) , 0 t t d t t t t y G u 不失一般性，选择t 0 0 ，上式可写成 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 t t d t d t t t y G u G u 上式的积分叫做卷积积分 。 1.2.4 线性定常系统的传递函数阵 对式（1－34）作拉氏变换 0 0 (s) ( (t ) ( )d )e dt st y G u 0 0 ( ) ( ( ) ) ( ) t e dt e d s t s G u 0 0 ( ) ( ) e d e d s s G u G(s)u(s) （1－33） （1－34） （1－35）
式中 G(s)=G(t)e "dt 在以上推导中，改变了积分上限，这考虑到>t时， G(t-t)=0。 G(s)是单位脉冲响应阵G(t)的拉氏变换，称为系统的 传递函数阵 单变量系统的传递函数g(s) 8(s)= (s) u(s) (1-36) 以上结果在系统是松弛的条件下推得的，因此满足零 初始条件。 24
24 式中 0 (s) (t)e dt st G G 在以上推导中，改变了积分上限，这考虑到 时， 。 t G(t ) 0 是单位脉冲响应阵 的拉氏变换，称为系统的 传递函数阵 G(s) G(t) g(s) ( ) ( ) ( ) u s y s g s 以上结果在系统是松弛的条件下推得的，因此满足零 初始条件。 单变量系统的传递函数 （1－36）
例1-1RLC电路 32 E 图1-5 如果电阻R、电感L和电容C的数值是恒定的，它是一个线 性定常系统。其传递函数是 8(s)= 02 22 u(s) (s+1)(s+2)s+1s+2 (1-37) 其单位脉冲响应是 8(t)=2e--2e-2t (1-38) 25
25 例1-1 RLC电路 ~ u 3 y 1H 0.5F 如果电阻 、电感 和电容 的数值是恒定的，它是一个线 性定常系统。其传递函数是 2 2 1 2 ( 1)( 2) 2 ( ) ( ) ( ) u s s s s s y s g s 其单位脉冲响应是 t t g t e e 2 ( ) 2 2 R L C 图1－5 （1－37） （1－38）