第三章 系统的稳定性 1
1 第三章 系统的稳定性
(1)系统分析 ·定量分析：求解系统的状态状态方程 ●定性分析：系统的性质与系统结构参数之间的关系。包括 系统的稳定性 系统的能控性和能观性 (2)系统的稳定性 实际系统正常工作的前提是系统必须是稳定的 系统稳定性有两种 ·内部稳定性：对应于系统的内部描述 是系统的状态的稳定性 ●外部稳定性：对应于系统的外部部描述 是系统的输出的稳定性 两种稳定性既有区别，又有内在的联系 2
2 ⑴ 系统分析 定量分析：求解系统的状态状态方程 定性分析：系统的性质与系统结构参数之间的关系。包括 系统的稳定性 系统的能控性和能观性 实际系统正常工作的前提是系统必须是稳定的 系统稳定性有两种 内部稳定性：对应于系统的内部描述 是系统的状态的稳定性 外部稳定性：对应于系统的外部部描述 是系统的输出的稳定性 两种稳定性既有区别，又有内在的联系 ⑵ 系统的稳定性
(3)本章内容 ·稳定性：内部稳定性与外部稳定性，重点是内部稳定性 内部稳定性：渐近稳定性与李雅普诺夫程稳定性 内部稳定性常用判据：特征值稳定性判据 ·李雅普诺夫稳定性理论和方法 适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据 李雅普诺夫方程稳定性判据 3
3 ⑶ 本章内容 稳定性：内部稳定性与外部稳定性，重点是内部稳定性 内部稳定性：渐近稳定性与李雅普诺夫程稳定性 内部稳定性常用判据：特征值稳定性判据 李雅普诺夫稳定性理论和方法 适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据 李雅普诺夫方程稳定性判据
3.1线性系统的外部稳定性 线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系统 输入输出描述的稳定性。是有界输入有界输出稳定性，简称为 BBO稳定性。用系统的输入-输出描述判别。 定义考虑线性松弛的系统，如果由一个有界输入(t) u(t)≤un<o 对所有的1≥ 所产生的输出y0也是有界的，即 y(t)≤yn<o 对所有的t≥， 则称系统是BBO稳定的。 BBO稳定必须假定系统是松弛的，因为系统的输入输出 描述是在此假定下才有意义。 4
4 3.1 线性系统的外部稳定性 线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系统 输入输出描述的稳定性 。是有界输入有界输出稳定性，简称为 BIBO稳定性。用系统的输入-输出描述判别。 定义 考虑线性松弛的系统，如果由一个有界输入 u(t) u( ) m t u 0 t t 所产生的输出 y(t)也是有界的，即 y( ) m t y 对所有的 0 对所有的 t t 则称系统是BIBO稳定的。 BIBO稳定必须假定系统是松弛的，因为系统的输入输出 描述是在此假定下才有意义
3.1.1单变量线性系统的BBO稳定性判据 (1)脉冲响应函数判据 定理3一1线性系统的输入输出描述是 y④=ngt,r)ut-t)dr (3 1) 则系统是BIBO稳定的充分必要条件是 lg,xldr≤M<o 式中，M是一个有限常数。 证明充分性：由式(3-1)，有 (=g(.)u(i-t)dr(u(-)dr ≤umg(t,rldr≤umM 所以，系统的输出是有界的 必要性：如果g(1,不是绝对可积的，则系统不是BIBO稳定的。 5
5 3.1.1 单变量线性系统的BIBO稳定性判据 ⑴ 脉冲响应函数判据 定理3－1 线性系统的输入输出描述是 t t y t g t u t d 0 ( ) ( , ) ( ) 则系统是BIBO稳定的充分必要条件是 g t d M t t0 ( , ) 式中，M是一个有限常数。 证明 充分性：由式（3－1），有 t m t m t t t t u g t d u M y t g t u t d g t u t d 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 所以，系统的输出是有界的 必要性：如果 g（t,不) 是绝对可积的，则系统不是BIBO稳定的。 （3－1） （3－2）