如果系统在t时刻是松弛的，其输出响应为 y()=g(-tu()dr=(2e-2e2)u(r)dr t≥to (1-39) 如果系统在t,时刻不是松弛的，其输出响应为 y(t)）=ng(t-t)u(r)dx t≥-0 (1-40) 如果R、L、C是时间的函数，系统就是线性时变的，如在 时刻还是松弛的，则其输出响应为 y(t)=∫g(t,t)u(t)dh t≥to 如果电路参数是非线性的，例如电感是带有铁磁材料的线 圈，那麽，其输出响应只能表示为 y=Hu 26
26 如果系统在 0 t 时刻是松弛的，其输出响应为 t t t t t t y t g t u d e e u d 0 0 ( ) ( ) ( ) (2 2 ) ( ) ( ) 2( ) 0 t t 如果系统在 0 t 时刻不是松弛的，其输出响应为 t y(t) g(t )u( )d t 如果 、 、 是时间的函数，系统就是线性时变的，如在 时刻还是松弛的，则其输出响应为 t t y t g t,τ u τ dτ 0 ( ) ( ) ( ) 0 t t R L C 如果电路参数是非线性的，例如电感是带有铁磁材料的线 圈，那麽，其输出响应只能表示为 y Hu 0 t （1－39） （1－40）
1.3线性系统的状态空间描述 本节讨论状态空间描述的概念和建立方法： 建立系统状态及状态空间的概念； 求取系统状态空间描述的方法 1.3.1状态变量、状态向量和状态空间 状态变量：系统中能完全描述系统行为的最小的一组变 量，这些变量称为状态变量。它们在，时刻的信息和输 入4，o)一起，唯一地确定了系统在t≥t。的全部行为 。一般用X1,x2,…xn表示。 状态向量：将状态变量表为n×1的列向量x=[x1x2…xn] 就叫状态向量。 状态空间：由状态向量所张成的线性空间，叫做状态空 间，用∑表示。 27
27 1.3 线性系统的状态空间描述 本节讨论状态空间描述的概念和建立方法： 建立系统状态及状态空间的概念； 求取系统状态空间描述的方法 1.3.1 状态变量、状态向量和状态空间 状态变量：系统中能完全描述系统行为的最小的一组变 量，这些变量称为状态变量。它们在 时刻的信息和输 入 一起，唯一地确定了系统在 的全部行为 。一般用 x1 , x2 ,x n表示。 0 t [ , ) t0 u 0 t t 状态向量：将状态变量表为 的列向量 就叫状态向量。 n1 T n [ x x x ] x 1 2 状态空间：由状态向量所张成的线性空间，叫做状态空 间，用 Σ 表示
例1-1的RLC电路，也可用下列方程描述 u=iR+L di dt 因 i=C duc dt 式中，i是流经电路的电流。如令x=i,x2=u。,y=4,经整理得 (1-41) 其中，x=[x1x2]=[i4]是此电路的状态向量，1=i和x2=4c 就是状态变量。 第一个方程是向量微分方程，如果系统在。不是松弛的 ,一旦给定系统的输入，四和初始状态x),便可求得方程 的唯一解x(t)。从而确定了系统的全部（(t)和))行为。 28
28 例1-1的RLC电路，也可用下列方程描述 dt du i C u dt di u iR L c c 式中，i 是流经电路的电流。如令 x1 i, x 2 uc , y uc，经整理得 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 2 0 3 1 x x y u x x x x 其中， 是此电路的状态向量， 和 就是状态变量。 T c T [x x ] [i u ] x 1 2 x i 1 c x u 2 第一个方程是向量微分方程，如果系统在 不是松弛的 ，一旦给定系统的输入 和初始状态 ，便可求得方程 的唯一解 。从而确定了系统的全部（ 和 ）行为。 0 t [ , ) u t0 ( ) 0 x t x(t) x(t) y(t) （1－41）
系统在to时刻不是松弛的(y(t)≠0)，可看成是系统在-o时刻 的未知输入4-∞o1,在to时刻产生的初始值。则0可写成 y(t)=(-)ud(-t)u.dy()+v2() ■ y(t)=g(t-7)u(r)dr=2ee'u()dr-2ee"u(r)dr A2ec-2e 2c2 t≤to (1-42) 式中 ce'ur)dr c2△fne2ru(r)dr 于是 y(to)=2e-%o c-2e-20c2 (1-43) 及 (to)=-2e-c +4e 2c2 (1-44) 29
29 系统在 时刻不是松弛的 ，可看成是系统在 时刻 的未知输入 ，在 时刻产生的初始值。则 可写成 0 t ( ( ) 0) y t0 0 t ( , ] 0 t u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ] [ , ) 1 2 0 0 0 0 y t g t u d g t u d y t y t t t t t t y(t) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 1 t t t t t y t g t u d e e u d e e u d 2 2 2e c1 2e c t t 0 t t 0 ( ) 1 t c e u d 式中 0 ( ) 2 2 t c e u d 2 2 1 0 1 0 0 y (t ) 2e c 2e c t t 于是 2 2 1 0 1 0 0 y (t ) 2e c 4e c t t 及 （1－42） （1－43） （1－44）
显然，它们就是系统在。时刻的初始条件 y(to)=y(to) (t)=少(to) 可解得 c1=0.5e0(2y(t)+(t) c2=0.5e2o(y(t)+(t) y()=(2to)+t)e--o’-(yt)+to)e-2-o) 则系统的输出 )=(2yto)+t)e--o}-(y(t)+t)e2-o) +g(i-t)u(t)dr t≥to (1-45) 在本例，初始y(t)和to条件实际上是系统的内部变量c 和i。(y=u,少=)在to时刻的数值。 30
30 可解得 0.5 ( ( ) ( )) 0.5 (2 ( ) ( )) 0 0 2 2 1 0 0 0 0 c e y t y t c e y t y t t t 2( ) 0 0 ( ) 1 0 0 0 0 ( ) (2 ( ) ( )) ( ( ) ( )) t t t t y t y t y t e y t y t e t t t t t t g t u d t t y t y t y t e y t y t e 0 0 0 0 2( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) (2 ( ) ( )) ( ( ) ( )) 则系统的输出 ( ) ( ) 0 1 0 y t y t ( ) ( ) 0 1 0 y t y t 显然，它们就是系统在t0 时刻的初始条件 在本例，初始 和 条件实际上是系统的内部变量 和 在 时刻的数值。 ( ) 0 y t ( ) 0 y t ( , ) c uc y u y uc uc 0 t （1－45）