1.2.2线性系统的单位脉冲响应阵 1、线性系统：一个松弛系统当且仅当对任意输入及任意实 数，满足 H(a u+au2)=a Hu +a Huz (1-20) 则称之为线性系统。否则，就称为非线性系统。 上式的条件也可表示为 H(u+u2)=Hu+Hu2 (1-21) H(a u)=aHu (1-22) 式中，Wu2为任意两个输入，为任意实数。第一个式子 叫做相加性，第二个式子则叫做齐次性。松弛系统满足这 两个条件，就满足叠加原理。 满足叠加原理是线性系统一个重要的基本特性。 16
16 1.2.2 线性系统的单位脉冲响应阵 1、线性系统：一个松弛系统当且仅当对任意输入及任意实 数，满足 则称之为线性系统。否则，就称为非线性系统。 上式的条件也可表示为 式中， 为任意两个输入， 为任意实数。第一个式子 叫做相加性，第二个式子则叫做齐次性。松弛系统满足这 两个条件，就满足叠加原理。 H 1u1 2u2 1Hu1 2Hu2 ( ) H u1 u2 Hu1 Hu2 ( ) H u1 Hu1 ( ) u1、u2 满足叠加原理是线性系统一个重要的基本特性。 （1－21） （1－22） （1－20）
2、线性松弛系统的输入输出描述 (1)单变量系统的输入输出描述 b 单变量松弛系统输入输出描述的一般表达式 y=Hu 假设，输入是分段连续函数，如下图所示 u(t)δ，(t-t)△ 0)=u,)A 图1一4用脉冲函数近似输入函数 17
17 2、线性松弛系统的输入输出描述 ⑴ 单变量系统的输入输出描述 单变量松弛系统输入输出描述的一般表达式 y Hu 假设，输入 u是分段连续函数，如下图所示 1 ( ) ( ) i i u t u t i t u(t i) (t t i) t 图1－4 用脉冲函数近似输入函数
它可以用一系列宽为N,高为)人△ 的脉冲函数来近似。 定义如下脉冲函数 0 t<t 1 δ(t-t)=f t,≤t<t,+△ △ t1+△≤t 对所有△，6、(t-t)的面积均为1。当△→0，其极限就是单 位脉冲函数6(t-t) 6t-4)△mdt-4） δ(t-t1)也称Dirac函数或函数或δ-函数 由图有 u≈∑，)δ(t-t,)A 18
18 它可以用一系列宽为 ，高为 的脉冲函数来近似。 1 ( )i u t t t t t t t t t t 1 1 1 1 1 0 1 0 ( ) 对所有 ， 的面积均为1。当 ，其极限就是单 位脉冲函数 ( ) 1 t t 0 ( ) 1 t t ( ) lim ( )1 0 1 t t t t (t t1 )也称Dirac 函数或函数或 函数 i i i u u(t ) (t t ) 定义如下脉冲函数 由图有
若系统是线性的，则有 y=Hu≈∑(H6,(t-t,)ut,)A (1-23) 当△趋于零时，上述和式变成积分，脉冲函数就趋向于 δ-函数，上式可写成 y=n(H6(t-t)》u(r)dr (1-24) Hδ(t-t)就是松弛系统在t时刻输入单位脉冲函数时的 输出响应 定义 g(,t)=H6(t-t) (1-25) (,)是系统对单位脉冲函数的响应，称为系统的单位 脉冲响应（函数） g(,T)中t是单位脉冲函数输入的时刻，·是观察输出响 应的时刻 19
19 若系统是线性的，则有 i i i y Hu (H (t t ))u(t ) 当 趋于零时，上述和式变成积分，脉冲函数就趋向于 函数，上式可写成 0 ( ( )) ( ) t y H t u d 就是松弛系统在 时刻输入单位脉冲函数时的 输出响应 H (t ) 定义 g( , ) H (t ) 是系统对单位脉冲函数的响应，称为系统的单位 脉冲响应（函数） g( , ) 中 是单位脉冲函数输入的时刻， 是观察输出响 应的时刻 g( , ) （1－23） （1－24） （1－25）
系统在t时刻的输出y(t)为 y(t)=g(t,tu()dr (1-26) 2)多变量系统的输入输出描述 若系统是具有p个输入9个输出的多变量松弛系统，则 系统的输入输出描述为 y(t)=G(i,u()dr (1-27) 式中，G(t,)是q×p阵，称为单位脉冲响应矩阵： g(t,t)gn(t,t).g(t,t) 821(t,t)g22(t,t)…82p(t,t) G(t,t)= (1-28) 81(t,t)82(t,T).8p(t,t) 20
20 系统在 t 时刻的输出 y(t)为 ⑵ 多变量系统的输入输出描述 若系统是具有 个输入 个输出的多变量松弛系统，则 系统的输入输出描述为 p q t t t t d 0 y( ) G( , )u( ) 式中，G(t, )是q p阵，称为单位脉冲响应矩阵 ： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 21 22 2 11 12 1 g t g t g t g t g t g t g t g t g t t q q qp p p G t t y t g t u d 0 ( ) ( , ) ( ) （1－26） （1－27） （1－28）