第五章 最小实现 1
1 第 五 章 最 小 实 现
5.1引言 ●建立系统系统的状态空间描述的方法： 机理建模：系统的物理机理、结构和参数→系统的状态 空间描述 模型转换：系统的传递函数阵→系统的状态空间描述 根据系统的传递函数阵求取系统的状态空间描述的问题称为 实现。 ·定常系统的实现问题 ： 已知传递函数阵G,如果存在一个有限维的状态空间描述 (t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) (5-1) 式（⑤一1）的模型简单表示为(4，B,C,D),满足 G(s)=C(sI-A)B+D 则称(A,B,C,D)是G(s)的一个实现。 2
2 5.1 引 言 建立系统系统的状态空间描述的方法： 机理建模：系统的物理机理、结构和参数 系统的状态 空间描述 模型转换：系统的传递函数阵 系统的状态空间描述 根据系统的传递函数阵求取系统的状态空间描述的问题称为 实现。 定常系统的实现问题： 已知传递函数阵G(s)，如果存在一个有限维的状态空间描述 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t y Cx Du x Ax Bu （5－1） 式(5—1)的模型简单表示为(A,B,C, D)，满足 G C I A B D 1 (s) (s ) 则称 (A,B,C, D)是G(s)的一个实现。
●实现研究的问题 1)G(s)可实现的条件 (2)G(s)实现的方法 ●最小实现 如果(A,B,C,D)是G(s)的一个实现，则其所有等价系统也都是其 实现。 G()可有不同维数的实现，其中维数最小的实现称为最小实现。 它描述了系统的既能控又能观的部分。通常要求的实现为最小 实现。 ●本章内容： G(s)可实现的条件 最小实现的方法：单变量系统的最小实现 多变量系统的最小实现 3
3 实现研究的问题 ⑴ G(s)可实现的条件 ⑵ G(s) 实现的方法 最小实现 如果 是 的一个实现，则其所有等价系统也都是其 实现 。 (A,B,C, D) G(s) 本章内容： 可实现的条件 最小实现的方法：单变量系统的最小实现 多变量系统的最小实现 G(s) 可有不同维数的实现，其中维数最小的实现称为最小实现。 它描述了系统的既能控又能观的部分。通常要求的实现为最小 实现。 G(s)
5.2实现和最小实现 5.2.1G(s)可实现的条件 定理5一1G(s)可实现的充分必要条件是：G(s)是正则有理函数。 证明 必要性：若(A,B,C,D)是G(s)的一个实现，则有 G(s)=C(sI-A)B+D det(sI-A) C[adj(sI-A)]B+D 若D是非零阵，G(s)是正则有理函数 若D是零阵，G(s)是严格正则有理函数（是前者的特例) 所以如果可实现，则G(s)必定是正则有理函数（含严格正则)。 充分性：即若G(s)是正则有理函数，则存在一个实现(4，B,C,D), 满足 G(s)=C(sI-A)B+D 4
4 5.2 实现和最小实现 5.2.1 G ( s )可实现的条件 定理5－1 G(s)可实现的充分必要条件是：G(s)是正则有理函数。 证明 必要性：若 (A,B,C, D)是 G(s)的一个实现，则有 G C I A B D 1 (s) (s ) C I A B D I A [ ( )] det( ) 1 adj s s 若 是非零阵， 是正则有理函数 若 是零阵， 是严格正则有理函数（是前者的特例） 所以如果可实现，则 必定是正则有理函数（含严格正则）。 D G(s) D G(s) G(s) 充分性：即若 是正则有理函数，则存在一个实现 ， 满足 G(s) G C I A B D 1 (s) (s ) (A,B,C, D)
设G(s是9×p有理函数阵，可写成 G(s)=Gm(s)+G(∞) (5-2) 式中，G(∞)是G(s)中的常数阵部分 Gs)是G(s)的严格正则部分，可写成 G,得高NN+NN】 (5-3) 式中，N与N,都是q×P有理函数阵 d(s)是G(s)中所有子式的首一最小公（倍）分母 ds)=S'+1s+…+a,-1S+a, (5-4) 可以证明以下方程(A,B,C,D)就是G(s)的一个实现 0 0 0 0 0 0 x= 0 x+ 0 0 0 (5-5) -,p--lp… …-lp N,- N x+G(co)u 5
5 设G(s)是 q p 有理函数阵，可写成 G(s) G (s) G() sp 式中， 是 中的常数阵部分 是 的严格正则部分，可写成 G() (s) Gsp G(s) G(s) [ ] ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 r r r r sp s s s d s d s s s N N N N N G 1 2 （5－2） （5－3） 式中， 与 都是 有理函数阵 d(s) (s) Gsp N Ni q p r r r r d s s s s 1 1 1 ( ) 是 中所有子式的首一最小公(倍)分母 可以证明以下方程 (A,B,C, D)就是G(s)的一个实现 y N N N x G u u I 0 0 x I I I 0 0 I 0 0 0 0 I 0 0 x ( ) 1 1 1 1 r r r p r p p p p p （5－4） （5－5）