福州大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第二章 复变函数的积分

证明：根据数学分析中的格林公式： ∮.[P(x,)+(x)]=八 dxdy 复函积分∮f(a)dk=∮[ud-vady]+ic[dk+ud] f.(k-v)=-八 dxdy au av au Ov axoy' ∮.（(k+dy=八 dxdy C-R条件 ∮。fz)b=0 格林公式要求， 容连续，即1连续。实际上， Ou Ov 若在G上解析，则@存在且连续，因此然， ax'Oy 也连续

6 ( , , ) ( ) C S Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y       + = −           证明：根据数学分析中的格林公式： 复函积分 ( )     C C C f z dz udx vdy i vdx udy = − + +    ( ) ( ) C S C S v u udx vdy dxdy x y u v vdx udy dxdy x y       − = − +              + = −             , u v u v x y y x     = = −     C-R条件 ( ) 0 C f z dz =  格林公式要求 , , , 连续，即 连续。实际上， u u v v x y x y         f z '( ) , , , u u v v x y x y         若f (z)在G上解析，则 存在且连续，因此 也连续。 f z '( )

推论：若fz在单连通区域G中解析，则复变积分J。f(z). 与路径无关 ∮fz)=0 →fet+nfet=0 →f,fek-fek=0→ft=,fet 奇点：若复函f(z)在某一点不解析，该点叫 作f)的奇点. 孤立奇点：若f(z)在某个奇点的有限小邻域内（不包括该奇 点)是解析函数，该点为孤立奇点.如a点为f=11(a-)的 孤立奇点. 讨论： 1、若f()为G内的连续函数，且是G内任意闭合围道，均 有∮。f(z):=0,则f(a)在G内解析

7 推论：若f(z)在单连通区域 中解析，则复变积分 与路径无关. ( ) C f z dz G  ( ) 0 C  = f z dz  2 l 1 l 2 l − 0 z z 1 2 ( ) ( ) 0 l l f z dz f z dz − + =   1 2 ( ) ( ) l l f z dz f z dz =   1 2 ( ) ( ) 0 l l f z dz f z dz − =   奇点：若复函f (z)在某一点不解析，该点叫 作f (z)的奇点. 孤立奇点：若f (z)在某个奇点的有限小邻域内（不包括该奇 点）是解析函数，该点为孤立奇点. 如a点为f (z)=1/(z-a)的 孤立奇点. 讨论： 1、若f (z)为G内的连续函数，且l是G内任意闭合围道，均 有 ( ) 0，则f (z)在G内解析. C f z dz = 