三次样条插值 用三弯矩阵构造三次样条插值函数 令(x)=M(=0,1,2,m)因为(x)在[x,2x:1上 是三次多项式,所以"x)在[x,x1上是一次多 项式,故有 s(x)=1-M Vx∈[x12x] i+1
三次样条插值 ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( ) ( 0,1,2,... ) ( ) [ , ] ! 1 1 1 1 + + + + + − − = = = i i i i i i i i i i i i x x x x x M M s x s x x x s x M i n s x x x 项式，故有 是三次多项式，所以 在 上是一次多 令 。因为 在 上 用三弯矩阵构造三次样条插值函数
三次样条插值 于是由Tayo展示有 x s(x)=S(x)+S(x)(x-x1)+ (x-x)2+(x-x) 21 y+S(x,)(x-x)+n1(x-x)2+ i+1 X-x 2 x x 令x=x1得 y+1=y2+S(x)(x1-x1)+-( 2x-x)2+21=M 解得sx)=y-y-(M1+2M)x1-x) i+1
三次样条插值 )( ) (1) 6 2 6 1 ( ) ( ( ) 3! ( ) 2! ( )( ) ( ) 3!( ) ( ) 2! ( )( ) ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 3 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i j i i i i i i i M M x x x x y y s x x x M M x x M y y s x x x x x x x x x M M x x M y s x x x x x s x x x s x s x s x s x x x Taylor − + − − − = − − = + − + − + = − − − = + − + − + − − + = + − + + + + + + + + + + + + + 解得 令 得 于是由 展示有
三次样条插值 同理在[x,1x上讨论得 s()少-y+(2M1+M1)x-x)(2) x 因为s(x)连续,所以(1)=(2)即 yiu-y-M, +2M, )(x, -x)=y-yi-1+(2M, +M x-x X:-x 记h=x-x1=、b h+1+h
三次样条插值 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i h h h h h h h x x M M x x x x y y M M x x x x y y s x M M x x x x y y s x x x + = − = + = − = + + − − − − + − = − − = + + − − − = + + + − − − − − + + + + − − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )( ) 6 1 6 2 )( ) ( 6 2 6 1 ( ( ) 1 2 )( ) (2) 6 1 6 2 ( ) ( [ , ] 记 因为 连续，所以（）（ ）即 同理在 上讨论得
三次样条插值 则上式为 f[x+12x1]-(M1+2M1)1=f[x,x1]+(2M1+M1h (2M1+M1)h2+(M1+2Mh+1=6(x1,x]-x12x1] 也就是 hM1+2(h1+h1)M1+h21M(1=6([x12x]-f[x2x1])
三次样条插值 2( ) 6( [ , ] [ , ]) 2 ) ( 2 ) 6( [ , ] [ , ]) (2 ) 6 1 ( 2 ) [ , ] 6 1 [ , ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + + + + − − + + + − + + + − − + + + = − + + + = − − + = + + i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i h M h h M h M f x x f x x M M h M M h f x x f x x f x x M M h f x x M M h 也就是 （ 即 则上式为
两边同除 (x1-x+x1-x1) 得 .,+2M.+ 即得 +2M1+M(1=6
2 6 [ , , ] 1,2,... 1 2 6 [ , , ] ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = = − = + + + + − = − + − = + − + − + + − + + − + + − + − + M M M f x x x i n M f x x x h h h M M h h h x x x x x x h h i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 即得 得 两边同除