第二章解析函数 25 例2.7求下列初等函数的反函数 (1)sinz的反函数arcsin z=？(2)tanz的反函数arctan之=？ 解(l)设w=arcsin z,则有 z=sinw= eiw-e-iw 2i 化简为 ei2w-2izeiw-1=0, 可解出 ew=2iz+V-2i那+4 =iz+v1-22 取对数即得 I(iz+v). (2)设w=arctan,则有 m世-品= e2iw-1 化简为 e- 取对数即得 w-牙n-卡 讨论利用本例题的方法可以求出其他三角函数和双曲函数的 反函数（可以自己证明)： arccos z In(+), aot&=h法 arcsinh z In(++), arccoshz In(+1). 思考题在这些反函数中的根式前取“一”号行不行？ 例2.8试求下列多值函数在规定条件下的函数值。 (1)对于函数0=z+√22-1，规定w(-2)=V3-2,若动点 z从z=-2出发，沿C,C2和C3的路径到达之=i,求三种情况下 w()的值（见图2.3）. 《②对T酒数四-ac一去子在如图24所示的刺线 下，规定割线左岸argi-)=π/2及argi+)=元/2，求w(1)的值
26 数学物理方法习题指导 解()=z+V22-=名+√2+)(2-可是双值函数，枝 点为之=±1（∞不是枝点）. 设当z=-2时，名-1=3e0,2+1=e8,则按规定有 w(-2)=-2+V3ea+)=V3-2. 这表示 a+3=4n元，n=0,±1，±2，. 图2.3 沿C到i,因子z一1辐角的变化值为 da-alu-al2- 因子z+1辐角的变化值为 a8=A-a=-37 因此，在z=i处函数值为 w1=i+V2ei(a+Aa).2 =i+V2eanπ-要-] =-i(2-1). 沿C2到i,因子z-1辐角的变化值为 Aa ale-l-als3 因子之+1辐角的变化值为 49=-L2=5 因此，在z=i处函数值为 w2=i+V2ela+Aa).)12
第二章解析函数 2 =i+V2e4nT-(r/4)+(5m/4/2 =i(√2+1) 沿C3到i,因子z-1辐角的变化值为 △a=al=i-al:=-2=4 因子之+1辐角的变化值为 △8=ali-l=-2=5T 4 因此，在之=i处函数值为 ws=i+V2ei(a+Aa).2(2 =i+V2e4nπ+(7π/4)+(5π/41/2 =-i(v2-1). 讨论1.因为C1和C2路径之间包含了枝点之=-1，所以从 这两条不同路径到达i时，函数值是不同的，而C1和C3路径之间 包含了有限远处所有的枝点之=1和之=-1，而∞点不是函数的 枝点，所以从这两条不同路径到达ⅰ时，函数值是相同的， 2.对于根式函数，多值性来源于宗量辐角的变化，而与宗量的 模无关 (2)多值函数 1一 w=arctan2=2元血i+2=2mi-2习-ln(i+训， 其枝点为z=±i,而o∞不是枝点.如图2.4作 割线，并规定在割线的左岸arg(1-z)=π/2 及arg(i+z)=π/2，这就规定了一个单值分 枝.在此单值分枝上，不管从何处出发经过 哪条路径到达z=1点，函数值w(1)都是一 样的.现在我们选两条路径：C从左岸的 点出发沿上半平面到达z=1点；和C2 从左岸的2点出发沿下半平面到达z=1 点（见图2.4). 2.4
28 数学物理方法习题指导 沿C1,宗量i-之辐角的变化值为 Aagi-动=-7 宗量i+z辐角的变化值为 △arg(i+刘=-开 因此，在之=1处函数值为 m=血+i(径-）-mv-i(经-) =-3 沿C2,宗量i一z辐角的变化值为 △argi-动=T, 宗量i+z辐角的变化值为 r(+) 因此，在之=1处函数值为 w0=va+(G+9-h5-(径+】 3π =- 4 分 题 1.判断下列函数在何处可导（并求出其导数），在何处解析： (1)l2; (2)2*； (3)zRez; (4)(x2+2y)+i(x2+y2); (5)3x2+2iy3: (6)(x-)2+2i(x+). 2.证明平面极坐标系(r,)下的柯西-黎曼方程： 架-瑞杂粥 u(r,)和v(r,)分别为复变函数的实部和虚部
第二章解析函数 39 3.利用平面极坐标系(？，)下的柯西-黎曼方程证明： f)=(+架)=（-) 4.设z=x+iy,已知解析函数f(z)=u(x,)+iw(x,)的实部 u(x,)如下，试求出解析函数f(z): (1)x2-y2+x; (②)2+g2 (3)ev cosx; (4)cosx coshy 5.设z=x+iy,已知解析函数f(z)=u(x,)+iw(x,)的实部 或虚部如下，试求'(z): (1)u=x+ (2)u sin x coshy 6.若f(z)=u(x,)+iw(x,)解析，且 u-v=(e-y)(x2+4xy+y2), 试求f(z) 7.解下列方程： (血8=+ (2)c0sz=4 (3)tanz=i; (4)2cosh2z -3 cosh+1=0. 8.判断下列函数是单值的还是多值的： (1)V22-1 (2)z+V2-1; (3)sin v2; (4)cosvz; (5)sin (7)Insin z; (8)sin (iln z). 9.找出下列多值函数的枝点，并讨论z绕一个枝点移动一周回 到原处后函数值的变化，如果同时绕两个、三个、乃至更多个枝点一 周，函数值又如何变化？ (1)V(z-a)(z-b,a≠b;(2)/(z-aj(z-万，a≠bg (3)V1-23; (4)1-23: (5)n(z2+1): (6)In cos z